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  • 2021-06-10 发布

高考数学 17-18版 附加题部分 第5章 第71课 课时分层训练15

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课时分层训练(十五)‎ A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ ‎1.已知矩阵A=,B=,向量α=,若Aα=Bα,求实数x,y的值.‎ ‎[解] Aα=,Bα=,‎ 由Aα=Bα得解得x=-,y=4.‎ ‎2.(2017·如皋中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,设点P(x,5)在矩阵M=对应的变换下得到点Q(y-2,y),求M-1. 【导学号:62172372】‎ ‎[解] 依题意,=,即解得,由逆矩阵公式知,矩阵M=的逆矩阵M-1=,‎ 所以M-1==.‎ ‎3.(2017·泰州二中月考)若点A(2,2)在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B(-2,2),求矩阵M的逆矩阵.‎ ‎[解] 由题意,得=,‎ ‎∴ ‎∴sin α=1,cos α=0,‎ ‎∴M=.‎ ‎∴=1≠0,∴M-1=.‎ ‎4.已知矩阵A=,其中a∈R,若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P′(0,-3).‎ ‎(1)求实数a的值;‎ ‎(2)求矩阵A的特征值及特征向量. 【导学号:62172373】‎ ‎[解] (1)由=,得a+1=-3,∴a=-4.‎ ‎(2)由(1)知A=,‎ 则矩阵A的特征多项式为 f(x)==(λ-1)2-4=λ2-2λ-3,‎ 令f(λ)=0,得矩阵A的特征值为-1或3.‎ 当λ=-1时二元一次方程⇒y=2x.‎ ‎∴矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为.‎ 当λ=3时,二元一次方程⇒2x+y=0.‎ ‎∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.‎ B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.(2017·苏州市期中)已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1=,并且矩阵M将点(-1,3)变换为(0,8).‎ ‎(1)求矩阵M;‎ ‎(2)求曲线x+3y-2=0在M的作用下的新曲线方程.‎ ‎[解] (1)设M=,由=8及=,‎ 得解得∴M=.‎ ‎(2)设原曲线上任一点P(x,y)在M作用下对应点P′(x′,y′),则=,即解得 代入x+3y-2=0得x′-2y′+4=0,‎ 即曲线x+3y-2=0在M的作用下的新曲线方程为x-2y+4=0.‎ ‎2.(2016·南京盐城一模)设矩阵M=的一个特征值为2,若曲线C 在矩阵M变换下的方程为x2+y2=1,求曲线C的方程.‎ ‎[解] 由题意,矩阵M的特征多项式f(λ)=(λ-a)(λ-1),‎ 因矩阵M有一个特征值为2,f(2)=0,所以a=2.‎ 所以M===,即 代入方程x2+y2=1,得(2x)2+(2x+y)2=1,即曲线C的方程为8x2+4xy+y2=1.‎ ‎3.(2016·苏北三市三模)已知矩阵A=,向量α=,计算A5α.‎ ‎[解] 因为f(λ)==λ2-5λ+6 ,由f(λ)=0,得λ=2或λ=3.‎ 当λ=2时,对应的一个特征向量为α1=;‎ 当λ=3时,对应的一个特征向量为α2=.‎ 设=m+n,解得 所以A5α=2×25+1×35=.‎ ‎4.已知矩阵A=,B= ‎(1)求矩阵A的逆矩阵;‎ ‎(2)求直线x+y-1=0在矩阵A-1B对应的线性变换作用下所得的曲线的方程.‎ ‎[解] (1)设A-1=,‎ ‎∵A·A-1=·=,‎ ‎∴ ‎∴∴A-1=.‎ ‎(2)A-1B==,‎ 设直线x+y-1=0上任意一点P(x,y)在矩阵A-1B对应的线性变换作用下得P′(x′,y′),‎ 则=,‎ ‎∴即 代入x+y-1=0得x′+3y′+(-y′)-1=0,‎ 可化为:x′+2y′-1=0,‎ 即x+2y-1=0为所求的曲线方程.‎

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