高考数学 17-18版 附加题部分 第5章 第71课 课时分层训练15 4页

课时分层训练(十五)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．已知矩阵A＝，B＝，向量α＝，若Aα＝Bα，求实数x，y的值．‎ ‎[解]　Aα＝，Bα＝，‎ 由Aα＝Bα得解得x＝－，y＝4.‎ ‎2．(2017·如皋中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点P(x,5)在矩阵M＝对应的变换下得到点Q(y－2，y)，求M－1. 【导学号：62172372】‎ ‎[解]　依题意，＝，即解得，由逆矩阵公式知，矩阵M＝的逆矩阵M－1＝，‎ 所以M－1＝＝.‎ ‎3．(2017·泰州二中月考)若点A(2,2)在矩阵M＝对应变换的作用下得到的点为B(－2,2)，求矩阵M的逆矩阵．‎ ‎[解]　由题意，得＝，‎ ‎∴ ‎∴sin α＝1，cos α＝0，‎ ‎∴M＝.‎ ‎∴＝1≠0，∴M－1＝.‎ ‎4．已知矩阵A＝，其中a∈R，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－3)．‎ ‎(1)求实数a的值；‎ ‎(2)求矩阵A的特征值及特征向量. 【导学号：62172373】‎ ‎[解]　(1)由＝，得a＋1＝－3，∴a＝－4.‎ ‎(2)由(1)知A＝，‎ 则矩阵A的特征多项式为 f(x)＝＝(λ－1)2－4＝λ2－2λ－3，‎ 令f(λ)＝0，得矩阵A的特征值为－1或3.‎ 当λ＝－1时二元一次方程⇒y＝2x.‎ ‎∴矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为.‎ 当λ＝3时，二元一次方程⇒2x＋y＝0.‎ ‎∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·苏州市期中)已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M将点(－1,3)变换为(0,8)．‎ ‎(1)求矩阵M；‎ ‎(2)求曲线x＋3y－2＝0在M的作用下的新曲线方程．‎ ‎[解]　(1)设M＝，由＝8及＝，‎ 得解得∴M＝.‎ ‎(2)设原曲线上任一点P(x，y)在M作用下对应点P′(x′，y′)，则＝，即解得 代入x＋3y－2＝0得x′－2y′＋4＝0，‎ 即曲线x＋3y－2＝0在M的作用下的新曲线方程为x－2y＋4＝0.‎ ‎2．(2016·南京盐城一模)设矩阵M＝的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M变换下的方程为x2＋y2＝1，求曲线C的方程．‎ ‎[解]　由题意，矩阵M的特征多项式f(λ)＝(λ－a)(λ－1)，‎ 因矩阵M有一个特征值为2，f(2)＝0，所以a＝2.‎ 所以M＝＝＝，即 代入方程x2＋y2＝1，得(2x)2＋(2x＋y)2＝1，即曲线C的方程为8x2＋4xy＋y2＝1.‎ ‎3．(2016·苏北三市三模)已知矩阵A＝，向量α＝，计算A5α.‎ ‎[解]　因为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6 ，由f(λ)＝0，得λ＝2或λ＝3.‎ 当λ＝2时，对应的一个特征向量为α1＝；‎ 当λ＝3时，对应的一个特征向量为α2＝.‎ 设＝m＋n，解得 所以A5α＝2×25＋1×35＝.‎ ‎4．已知矩阵A＝，B＝ ‎(1)求矩阵A的逆矩阵；‎ ‎(2)求直线x＋y－1＝0在矩阵A－1B对应的线性变换作用下所得的曲线的方程．‎ ‎[解]　(1)设A－1＝，‎ ‎∵A·A－1＝·＝，‎ ‎∴ ‎∴∴A－1＝.‎ ‎(2)A－1B＝＝，‎ 设直线x＋y－1＝0上任意一点P(x，y)在矩阵A－1B对应的线性变换作用下得P′(x′，y′)，‎ 则＝，‎ ‎∴即 代入x＋y－1＝0得x′＋3y′＋(－y′)－1＝0，‎ 可化为：x′＋2y′－1＝0，‎ 即x＋2y－1＝0为所求的曲线方程．‎