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- 2021-06-10 发布
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2020-2021学年度第一学期南通市四校第二次联考
数学试题
一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上）
1. 已知集合A={a|a2-4a<5},B={a|<2}正确的是 ( )
A.-1,2∈A B. ∉B C.B⊆A D.A∪B={a|-50,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 已知f(x)=则f()+f(-)的值为 ( )
A. B.- C.-1 D.1
4. 已知函数f(x)=是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8)
5. 根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原
子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48) ( )
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
6. 已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可以是 ( )
A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)=-1 D.f(x)=x-
7. 已知函数f(x)=+k，若存在区间[a,b][-2,+∞)使得函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[a+2,b+2]，则实数k的取值范围为（ ）
A.( -1,+∞) B.(-,0] C. (-,+∞) D. ( -1,0]
8. 已知函数f(x)= ，若| f(x)|≥kx，则k的取值范围是（ ）
A. (-∞,0] B. (-∞,1] C.[-2,1] D. [-2,0]
二．多选题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上）
9. 给出下列命题:
A.∃a∈R,ln(a2+1)<0; B.∀a>2,a2>2a;
C.∀α,β∈R,sin(α-β)=sin α-sin β; D.a>b是2a>2b的充要条件.
其中假命题为 ( )
10. 对于函数f(x)=，下列判断正确的是（ ）
A. f(-x+1)+ f(x-1)=0 B. 当m∈(0,1)时，方程f(x)=m有唯一实数解
C. 函数f(x)的值域为(-∞, ∞) D. ∀x1≠x2，>0
11. 关于函数f(x)=+lnx，下列判断正确的是（ ）
A. x=2是f(x)的极大值点 B. 函数y=f(x)-x有且只有1个零点
C. 存在正实数k，使得f(x)>kx成立 D. 对任意两个正实数x1,x2，且x1>x2，若f(x1)= f(x2)，则x1+x2>4.
12. 定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x),且(x+1)f′(x)- f(x)5 B.若f(1)=2,x>1,则f(x)>x2+x+
C.f(3)-2f(1)<7 D.若f(1)=2,0x2+x+
三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填涂在答题卡相应的位置上）
13. 函数f(x)=()x -log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________.
14.下表给出了x与lgx的5组对应值：
x
3
5
8
9
15
lgx
2a-b
a+c
3-3a-3c
4a-2b
3a-b+c+1
假设在上表的各组对应值中，有且只有一个是错误的，则错误的对数值是 .
15. 已知f(x)=(ax-1)ex-2在点(2,f(2))处的切线过点(3,3),则f(x)的单调递增区间为 和a的值为 .
16. 已知函数f(x)=的定义域为D,对于任意的x∈D都有f(-1)≤f(x)≤f(1)成立，则bc+f(3)的值为 .
四．解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值.
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
18. （本小题满分12分）
已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值.
(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.
19. （本小题满分12分）
已知函数f(x)=(x-3)ex+a(x-2)2,其中e为自然对数的底数,a∈R.讨论f(x)的单调性.
20. （本小题满分12分）
假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知y对x呈线性相关关系，试求：
(1)线性回归方程＝bx＋a的回归系数a、b；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
(参考数据与公式：iyi＝112.3,b＝)
21. （本小题满分12分）
已知实数a,b,c满足++=0(m>0),f(x)=ax2+bx+c,求证：
(1)a≠0时a·f()<0
(2) a≠0时f(x)=0在(0,1)内有解.
22. （本小题满分12分）
设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,
(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数，且g(x)在(1,+∞)上有最小值，求a的取值范围，
(2) g(x)在(-1,+∞)是单调增函数，试求f(x)的零点的个数，并证明你的结论.
2020-2021学年度高三数学考试答题卡
一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上）
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
D
B
D
A
B
D
二．多选题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分）
9
10
11
12
BCD
ABD
BD
CD
三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.）
13
14
15
16
3
lg15
(0,+∞),1
6
17（本小题10分）
(1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,
所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x).
故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.
当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×(×2×1)=4.
四．解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.（本小题12分）
f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).
(1)由题意得f(0)=b=0,f′(x)=-a(a+2)=-3,解得b=0,a=-3或a=1.
(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,
所以关于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,
所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0，即4a2+4a+1>0,所以a≠-.
所以a的取值范围为(-∞,-)∪(-,+∞).
19.（本小题12分）
f′(x)=ex+(x-3)ex+2a(x-2)=(x-2)(ex+2a).
(1)当a≥0时,令f′(x)>0,得x>2,令f′(x)<0,得x<2,所以f(x)在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,2)上单调递减.
(2)当a<0时,由f′(x)=0得x=2或x=ln(-2a),
①当ln(-2a)<2,即a>-时,
当x∈(-∞,ln(-2a))时,f′(x)>0,
当x∈(ln(-2a),2)时,f′(x)<0,
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0.
所以f(x)在(-∞,ln(-2a))和(2,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),2)上单调递减.
②当ln(-2a)=2即a=-时,f′(x)≥0恒成立,f(x)在R上单调递增.
③当ln(-2a)>2即a<-时,
当x∈(-∞,2)时,f′(x)>0,
当x∈(2,ln(-2a))时,f′(x)<0,
当x∈(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0.
所以f(x)在(-∞,2)和(ln(-2a),+∞)上单调递增,在(2,ln(-2a))上单调递减.
20.（本小题12分）
(1)由条件知
＝(2＋3＋4＋5＋6)＝4，＝(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0)＝5，
＝22＋32＋42＋52＋62＝90，iyi＝2×2.2＋3×3.8＋4×5.5＋5×6.5＋6×7.0＝112.3.
由公式可得b＝＝＝＝1.23.
a＝－b＝5－1.23×4＝0.08.
(2)由(1)知回归直线方程为＝1.23x＋0.08，当x＝10时，＝1.23×10＋0.08＝12.3＋0.08＝12.38，即估计使用10年时，维修费用是12.38万元．
21.（本小题12分）
(1) a·f()=am(++=-<0;
(2)f(0)=c,f(1)=a+b+c
不妨设a>0,则f()<0,
若c>0,则f(x)在(0, )内有解
若c≤0,则f(1)=a+b+c=->0, 则f(x)在(,1)内有解
22.（本小题12分）
解：（1）f′(x)=x-1-a, g′(x)=ex-a
由题意：f′(x)≤0对x∈(1,+∞)恒成立,即a≥x-1对x∈(1,+∞)恒成立
∴a≥1
∵g(x)在(1,+∞)上有最小值
a≤0时g′(x)>0恒成立,g(x) (1,+∞)无最值. a>0时，有题意lna>1,a>e
综上：a的范围是：a>e
（2）g(x)在(-1,+∞)上单调递增， 可得a≤e-1.
a=0时，有唯一零点x=1;
a<0时，f′(x)>0恒成立，f(ea)<0(00, f(x)在(0,+∞)有唯一零点;
00,f(1)<0,f(e)<0, f(x)在(0,+∞)有两个零点.
综上所述，a≤0时，有唯一零点；0
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