2021高考数学大一轮复习考点规范练45直线的倾斜角与斜率直线的方程理新人教A版 5页

考点规范练45　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ‎　考点规范练A册第31页　 ‎ 基础巩固 ‎1.经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为‎3π‎4‎,则y=(　　)‎ A.-1 B.-3 C.0 D.2‎ 答案:B 解析:tan‎3π‎4‎‎=‎2y+1-(-3)‎‎4-2‎=‎‎2y+4‎‎2‎=y+2,因此y+2=-1,y=-3.‎ ‎2.已知直线l:ax+y-2+a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是(　　)‎ A.1 B.-1 C.2或1 D.-2或1‎ 答案:C 解析:当a=0时,直线方程为y=2,显然不符合题意,‎ 当a≠0时,令y=0,得到直线在x轴上的截距是‎2-aa,‎ 令x=0,得到直线在y轴上的截距为2-a,‎ 根据题意得‎2-aa=2-a,解得a=2或a=1,故选C.‎ ‎3.直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限,则a,b,c应满足(　　)‎ A.ab>0,bc<0 B.ab>0,bc>0‎ C.ab<0,bc>0 D.ab<0,bc<0‎ 答案:A 解析:因为直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限,所以直线存在斜率,将方程变形为y=-abx-cb,易知-ab<0且-cb>0,故ab>0,bc<0.‎ ‎4.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是(　　)‎ A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0‎ 5‎ C.2x-y-4=0 D.2x+y-7=0‎ 答案:A 解析:易知A(-1,0).‎ ‎∵|PA|=|PB|,∴P在AB的中垂线即x=2上.∴B(5,0).‎ ‎∵PA,PB关于直线x=2对称,∴kPB=-1.‎ ‎∴lPB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0.‎ ‎5.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为　　　　　. ‎ 答案:16‎ 解析:根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为xa‎+‎yb=1,又C(-2,-2)在该直线上,故‎-2‎a‎+‎‎-2‎b=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.‎ 根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4ab,从而ab‎≤‎0(舍去)或ab‎≥‎4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时取等号.即ab的最小值为16.‎ ‎6.一条直线经过点A(2,-‎3‎),并且它的倾斜角等于直线y=‎1‎‎3‎x的倾斜角的2倍,则这条直线的一般式方程是　　　　　　　　　　. ‎ 答案:‎3‎x-y-3‎3‎=0‎ 解析:因为直线y=‎1‎‎3‎x的倾斜角为30°,‎ 所以所求直线的倾斜角为60°,‎ 即斜率k=tan60°=‎‎3‎‎.‎ 又该直线过点A(2,-‎3‎),‎ 故所求直线为y-(-‎3‎)=‎3‎(x-2),‎ 即‎3‎x-y-3‎3‎=0.‎ ‎7.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.‎ ‎(1)直线l经过定点P(2,-1);‎ ‎(2)直线l在y轴上的截距为6;‎ ‎(3)直线l与y轴平行;‎ 5‎ ‎(4)直线l与y轴垂直.‎ 解:(1)由于点P在直线l上,即点P的坐标(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,‎ 把点P的坐标(2,-1)代入方程,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=‎‎1‎‎7‎‎.‎ ‎(2)令x=0,得y=‎2m-6‎‎2m‎2‎+m-1‎,‎ 根据题意可知‎2m-6‎‎2m‎2‎+m-1‎=6,‎ 解得m=-‎1‎‎3‎或m=0.‎ ‎(3)直线与y轴平行,则有m‎2‎‎-2m-3≠0,‎‎2m‎2‎+m-1=0,‎解得m=‎‎1‎‎2‎‎.‎ ‎(4)直线与y轴垂直,则有m‎2‎‎-2m-3=0,‎‎2m‎2‎+m-1≠0,‎解得m=3.‎ ‎8.已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的方程.‎ 解:∵点B在直线l2:2x+y-8=0上,∴可设点B的坐标为(a,8-2a).‎ ‎∵点P(0,1)是线段AB的中点,‎ ‎∴点A的坐标为(-a,2a-6).‎ 又点A在直线l1:x-3y+10=0上,‎ ‎∴将A(-a,2a-6)代入直线l1的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.‎ ‎∴点B的坐标是(4,0).‎ 因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的方程为x‎4‎‎+‎y‎1‎=1,即x+4y-4=0.‎ 能力提升 ‎9.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是(　　)‎ A‎.‎‎-1,‎‎1‎‎5‎ ‎ 5‎ B‎.‎-∞,‎‎1‎‎2‎∪‎(1,+∞)‎ C.(-∞,1)‎∪‎‎1‎‎5‎‎,+∞‎ ‎ D.(-∞,-1)‎‎∪‎‎1‎‎2‎‎,+∞‎ 答案:D 解析:设直线的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=‎1‎‎2‎,满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)‎‎∪‎1‎‎2‎‎,+∞‎.‎ ‎10.已知直线l过点P(3,2),且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当△AOB的面积取最小值时,直线l的方程为　　　　　　　　　　. ‎ 答案:2x+3y-12=0‎ 解析:方法1:易知直线l的斜率k存在且k<0,则直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0),则A‎3-‎2‎k,0‎,B(0,2-3k),所以S△AOB=‎1‎‎2‎(2-3k)‎3-‎‎2‎k‎=‎1‎‎2‎‎12+(-9k)+‎‎4‎‎-k≥‎1‎‎2‎‎12+2‎‎(-9k)·‎‎4‎‎-k=‎1‎‎2‎×‎(12+2×6)=12,‎ 当且仅当-9k=‎4‎‎-k,即k=-‎2‎‎3‎时等号成立.‎ 所以当k=-‎2‎‎3‎时,△AOB的面积最小,此时直线l的方程为y-2=-‎2‎‎3‎(x-3),即2x+3y-12=0.‎ 方法2:设直线l的方程为xa‎+‎yb=1(a>0,b>0),将点P(3,2)代入得‎3‎a‎+‎‎2‎b=1≥2‎6‎ab,即ab≥24,当且仅当‎3‎a‎=‎‎2‎b,即a=6,b=4时等号成立,又S△AOB=‎1‎‎2‎ab,‎ 所以当a=6,b=4时,△AOB的面积最小,此时直线l的方程为x‎6‎‎+‎y‎4‎=1,即2x+3y-12=0.‎ 5‎ ‎11.已知直线l过点M(1,1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.当|MA|2+|MB|2取得最小值时,求直线l的方程.‎ 解:直线l的斜率为k,则k<0,‎ 直线l的方程为y-1=k(x-1),‎ 则A‎1-‎1‎k,0‎,B(0,1-k),‎ 所以|MA|2+|MB|2=‎1-1+‎‎1‎k‎2‎+12+12+(1-1+k)2=2+k2+‎1‎k‎2‎‎≥‎2+2k‎2‎‎·‎‎1‎k‎2‎=4,‎ 当且仅当k2=‎1‎k‎2‎,即k=-1时,|MA|2+|MB|2取得最小值4,此时直线l的方程为x+y-2=0.‎ 高考预测 ‎12.过点A(1,4)引一条直线l,它与x轴、y轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0,b),当a+b取得最小值时,求直线l的方程.‎ 解:(方法一)由题意,设直线l:y-4=k(x-1),且k<0,‎ 则a=1-‎4‎k,b=4-k.‎ 故a+b=5+‎-‎4‎k-k‎≥‎5+4=9,‎ 当且仅当k=-2时等号成立.‎ 此时直线l的方程为y=-2x+6.‎ ‎(方法二)设l:xa‎+‎yb=1(a>0,b>0).‎ 由于l经过点A(1,4),故‎1‎a‎+‎‎4‎b=1,‎ 则a+b=(a+b)‎·‎‎1‎a‎+‎‎4‎b=5+‎4ab‎+ba≥‎9,‎ 当且仅当‎4ab‎=‎ba,即b=2a时等号成立,此时a=3,b=6.‎ 故所求直线l的方程为x‎3‎‎+‎y‎6‎=1,即y=-2x+6.‎ 5‎