专题9-1 直线的方程（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版） 9页

‎ ‎ ‎【考纲解读】‎ 内 容 要 求 备注 A　　‎ B　　‎ C　　‎ 平面解析几何初步　　‎ 直线的斜率和倾斜角　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．‎ ‎2．掌握确定直线位置的几何要素．‎ ‎3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．‎ 直线方程　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎【直击考点】‎ 题组一 常识题 ‎1． 已知直线l经过A(－cos θ，sin2θ)，B(0，1)不同的两点，直线l的斜率为____________，倾斜角的取值范围是____________．‎ ‎2． 直线l的倾斜角α＝60°，且过点(，1)，则直线l的方程为____________．‎ ‎【解析】因为α＝60°，所以k＝tan α＝.又直线l过点(，1)，所以直线l的方程为y－1＝(x－)，即y＝x－2. ‎ ‎3． 直线的斜率为2，在x轴上的截距为－1，则直线的斜截式方程为__________________．‎ ‎【解析】直线过点(－1，0)，斜率为2，由点斜式方程得y－0＝2(x＋1)，即y＝2x＋2.‎ 题组二　常错题 ‎4．当a＝3时，直线ax＋(a－3)y－1＝0的倾斜角为____________．‎ ‎【解析】当a＝3时，直线ax＋(a－3)y－1＝0可化为3x－1＝0，其倾斜角为90°.‎ ‎5．直线l经过点(5，10)，且原点到直线l的距离是5，则直线l的方程为__________________．‎ ‎【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝5；当直线l的斜率存在时，设其为k，则直线l的方程为y－10＝k(x－5)，由点到直线的距离公式可得k＝，故直线l的方程为3x－4y＋25＝0.‎ ‎6．过点P(－1，2)且在两轴上的截距相等的直线方程为____________________．‎ 题组三　常考题 ‎7．过A(1，2)，B(2，1)两点的直线的斜率为______________．‎ ‎【解析】kAB＝＝－1.‎ ‎8．过原点且斜率为的直线方程为______________．‎ ‎【解析】利用点斜式可得直线方程为y＝x.‎ ‎【知识清单】‎ 考点1 直线的倾斜角与斜率 ‎1．直线的倾斜角 ‎①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.‎ ‎②范围：倾斜角的范围为．‎ ‎2．直线的斜率 ‎①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时, , .‎ ‎②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.‎ ‎3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．‎ ‎4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系：‎ ‎（1）当时，越大，斜率越大；‎ ‎（2）当时，越大，斜率越大.‎ 考点2 直线的方程 ‎1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：‎ ‎.这个方程就叫做直线点斜式方程. ‎ 特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线 的斜截式方程.‎ ‎2.直线的两点式方程 直线过两点其中，则直线的方程为：‎ ‎.这个方程叫做直线的两点式方程.‎ 当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.‎ 特别地，若直线过两点，则直线的方程为：‎ ‎，这个方程叫做直线的截距式方程.‎ ‎3.直线的一般式方程 关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.‎ 由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距 ‎【考点深度剖析】‎ 直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识，二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 直线的倾斜角与斜率 ‎【1-1】经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝ .‎ ‎【答案】－3‎ ‎【解析】由＝，得.‎ ‎【1-2】经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜 率k和倾斜角的取值范围分别为________，________.‎ ‎【答案】 ，∪.‎ ‎【思想方法】‎ ‎1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tan x的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；‎ ‎2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y＝tan x的单调性求k的范围． ‎ ‎【温馨提醒】若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．‎ 考点2 直线的方程 ‎【2-1】三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程．‎ ‎【答案】，，‎ 整理得：.这就是直线的方程．‎ ‎【2-2】已知点A（-3，-1），B（1，5），直线过线段AB的中点，且在轴上的截距是它在轴上的截距的2倍.求直线的方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【2-3】(1) 直线恒过一定点，则此定点为 .‎ ‎ (2) 直线过点，且分别交轴，轴的正半轴于A ,B两点.求三角形OAB的面积最小值及此时直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）. ‎ ‎【解析】（1）法一、直线可变形为：.这是直线的点斜式方程，由这个方程可知．直线恒过点 .‎ 法二、直线可变形为：.若该方程对任意都成立，则，即，所以直线恒过点 .‎ 法三、在方程中，令得：即；令得：，将代入得.将代入得恒成立，所以直线恒过点.‎ ‎（2）由题设知，直线不可能与轴垂直，即直线的斜率必存在.设直线的斜率为，则其点斜式的方程为 ‎【思想方法】‎ 求直线方程的常用方法有 ‎1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．‎ ‎2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．‎ ‎3. 直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．‎ ‎【温馨提醒】涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 求直线方程忽视零截距致误 典例　(12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0 (a∈R)．‎ ‎(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；‎ ‎(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．‎ 易错分析　本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况．‎ 规范解答 解　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.[2分]‎ 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.‎ ‎∴＝a－2，即a＋1＝1.[4分]‎ ‎∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.‎ 综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.[6分]‎ ‎[失误与防范]‎ 与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：‎ ‎(1)明确直线方程各种形式的适用条件 点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线． ‎ ‎(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．‎ ‎(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．‎ ‎ ‎