2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(六)　函数的奇偶性及周期性 5页

课时跟踪检测(六)　函数的奇偶性及周期性 一、选择题 ‎1．(2015·河南信阳二模)函数f(x)＝lg|sin x|是(　　)‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数 ‎2．(2015·大连测试)下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是(　　)‎ A．y＝－　　　　　　　　 B．y＝log2|x|‎ C．y＝1－x2 D．y＝x3－1‎ ‎3．(2015·唐山统考)f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)．则当x＜0时，f(x)＝(　　)‎ A．－x3－ln(1－x)　　　　 B．x3＋ln(1－x)‎ C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)‎ ‎4．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎5．(2015·甘肃天水一模)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2 014)的值为(　　)‎ A．2 B．0‎ C．－2 D．±2‎ ‎6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)‎ C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)‎ 二、填空题 ‎7．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.‎ ‎8．(2015·江苏南通二模)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.‎ ‎9．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是______________．‎ ‎10．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．‎ 三、解答题 ‎11．已知函数f(x)＝是奇函数．‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．‎ ‎12．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.‎ ‎(1)求f(π)的值；‎ ‎(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；‎ ‎(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．‎ 答案 ‎1．选C　易知函数的定义域为，关于原点对称，又f(－x)＝lg |sin(－x)|＝lg |－sin x|＝lg |sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sin x|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数．‎ ‎2．选C　函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C符合要求．‎ ‎3．选C　当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]，∴f(x)＝x3－ln(1－x)．‎ ‎4．选C　根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝，故选C.‎ ‎5．选A　∵g(－x)＝f(－x－1)，∴－g(x)＝f(x＋1)．‎ 又g(x)＝f(x－1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，‎ ‎∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，‎ 则f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 014)＝f(2)＝2.‎ ‎6.选C　∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.‎ ‎7．解析：法一：∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，‎ ‎∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.‎ 法二：由f(－1)＝f(1)，得|a－1|＝|a＋1|得a＝0.‎ 答案：0‎ ‎8．解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，‎ ‎∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f ‎＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f ‎＝f＋f(1)－f＋f(0)＋f ‎＝f＋f(1)＋f(0)‎ ‎＝2－1＋21－1＋20－1‎ ‎＝.‎ 答案： ‎9．解析：在f(x)－g(x)＝x中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.于是解得f(x)＝，g(x)＝－，于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，故f(1)>g(0)>g(－1)．‎ 答案：f(1)>g(0)>g(－1)‎ ‎10．解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f，从而＝－a＋1，即‎3a＋2b＝－2.①‎ 由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，即b＝－‎2a.②‎ 由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.‎ 答案：－10‎ ‎11．解：(1)设x<0，则－x>0，‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.‎ 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，‎ 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.‎ ‎(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，‎ 结合f(x)的图象知 所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．‎ ‎12．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，‎ ‎∴f(x)是以4为周期的周期函数．‎ ‎∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.‎ ‎(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，‎ 得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，‎ 即f(1＋x)＝f(1－x)．‎ 从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．‎ 又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．‎ 设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，‎ 则S＝4S△OAB＝4×＝4.‎ ‎(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，‎ 单调递减区间为[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．‎