- 520.50 KB
- 2021-06-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年广东省清远三中高二(下)第一次月考数学试卷(理科)
一、选择题(60分,每题5分)
1.如果方程表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(﹣∞,﹣1) C.(﹣∞,﹣1)∪(2,∞) D.(﹣2,﹣1)∪(2,+∞)
2.已知点M是抛物线x2=4y上的一动点,F为抛物线的焦点,A是圆C:(x﹣1)2+(y﹣4)2=1上一动点,则|MA|+|MF|的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.已知椭圆的左、右焦点分别是F1,F2,过F2作倾斜角为23°的直线l交椭圆于A,B两点,则的△AF1B的周长是( )
A.20 B.16 C.8 D.6
4.已知定点F1(﹣2,0)与F2(2,0),动点M满足|MF1|﹣|MF2|=4,则点M的轨迹方程是( )
A. B.
C.y=0(|x|≥2) D.y=0(x≥2)
5.已知向量=(1,1,0),=(﹣1,0,2),且与互相垂直,则k的值是( )
A.1 B. C. D.
6.抛物线的准线方程是,则其标准方程是( )
A.y2=2x B.x2=﹣2y C.y2=﹣x D.x2=﹣y
7.直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B 两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
8.设Sn是等差数列{an}的前项和,若S4≠0,且S8=3S4,设S12=λS8,则λ=( )
A. B. C.2 D.3
9.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若2(a2+c2)﹣ac=2b2,则sinB=( )
A. B. C. D.
10.方程表示的曲线是( )
A.一条直线和一个圆 B.一条直线和半个圆
C.两条射线和一个圆 D.一条线段和半个圆
11.命题“∀x>0,x2+x>0”的否定是( )
A.∀x>0,x2+x≤0 B.∀x≤0,x2+x>0
C.∃x0>0,x02+x0≤0 D.∃x0≤0,x02+x0>0
12.已知△ABC中,a=1,,A=30°,则B等于( )
A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
二、填空题(20分,每题5分)
13.若命题“∃x0∈R,ax02﹣ax0﹣2≥0”是假命题,则实数a的取值范围是 .
14.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且函数f(x)=x2+ax•f′(1)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为﹣2,则a= .
15.已知抛物线C1:y2=4x的焦点到双曲线C2: =1(a>0,b>0)的渐近线的距离为,则双曲线C2的离心率为 .
16.已知是椭圆C: =1上的任一点,Q是与椭圆C共焦点且实轴长为1的双曲线上的任一点,已知焦点F1、F2,从焦点F1引∠F1QF2的角平分线的垂线,垂足为M,则P,M两点间的最大距离为 .
三、解答题
17.已知(+)n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.
(Ⅰ)求n的值;
(Ⅱ)此展开式中是否有常数项?为什么?
18.已知△ABC中,A(1,3),BC边所在的直线方程为y﹣1=0,AB边上的中线所在的直线方程为x﹣3y+4=0.
(Ⅰ)求B,C点的坐标;
(Ⅱ)求△ABC的外接圆方程.
19.某网站对“爱飞客”飞行大会的日关注量x(万人)与日点赞量y(万次)进行了统计对比,得到表格如下:
x
3
5
6
7
9
y
2
3
3
4
5
由散点图象知,可以用回归直线方程=x+来近似刻画它们之间的关系.
(Ⅰ)求出y关于x的回归直线方程,并预测日关注量为10万人时的日点赞量;
(Ⅱ)一个三口之家参加“爱飞客”亲子游戏,游戏规定:三人依次从装有3个白球和2个红球的箱子中不放回地各摸出一个球,大人摸出每个红球得奖金10元,小孩摸出1个红球得奖金50元.求该三口之家所得奖金总额不低于50元的概率.
参考公式:b=; 参考数据: xi2=200, xiyi=112.
20.已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4.
(Ⅰ) 若直线l过点A(2,3)且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程;
(Ⅱ) 若直线l过点B(1,0)与圆C相交于P,Q两点,求△CPQ的面积的最大值,并求此时直线l的方程.
21.为了研究某学科成绩是否与学生性别有关,采用分层抽样的方法,从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩,得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图,规定80分以上为优分(含80分).
(Ⅰ)(i)请根据图示,将2×2列联表补充完整;
优分
非优分
总计
男生
女生
总计
50
(ii)据列联表判断,能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“学科成绩与性别有关”?
(Ⅱ)将频率视作概率,从高二年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩,求成绩为优分人数X的分布列与数学期望.
参考公式:K2=(n=a+b+c+d).
参考数据:
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
22.已知长为2的线段A B两端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,线段AB的中点M的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)点P(x,y)是曲线C上的动点,求3x﹣4y的取值范围;
(Ⅲ)已知定点Q(0,),探究是否存在定点T(0,t)(t)和常数λ满足:对曲线C上任意一点S,都有|ST|=λ|SQ|成立?若存在,求出t和λ;若不存在,请说明理由.
2016-2017学年广东省清远三中高二(下)第一次月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(60分,每题5分)
1.如果方程表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(﹣∞,﹣1) C.(﹣∞,﹣1)∪(2,∞) D.(﹣2,﹣1)∪(2,+∞)
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】方程表示焦点在x轴上的椭圆,可得m2>m+2>0,解出即可得出.
【解答】解:∵方程表示焦点在x轴上的椭圆,
∴m2>m+2>0,
解得m>2或﹣2<m<﹣1.
∴m的取值范围是(﹣2,﹣1)∪(2,+∞).
故选:D.
2.已知点M是抛物线x2=4y上的一动点,F为抛物线的焦点,A是圆C:(x﹣1)2+(y﹣4)2=1上一动点,则|MA|+|MF|的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置,然后根据三点共线求出相应的点的坐标,进一步求出最小值.
【解答】解:如图所示,利用抛物线的定义知:MP=MF
当M、A、P三点共线时,|MA|+|MF|的值最小
即:CM⊥x轴
CM所在的直线方程为:x=1与x2=4y建立方程组解得:
M(1,)
|CM|=4﹣,
点M到圆C的最小距离为:|CM|﹣|AC|=3
抛物线的准线方程:y=﹣1
则|MA|+|MF|的值最小值为3+1=4.
故选B.
3.已知椭圆的左、右焦点分别是F1,F2,过F2作倾斜角为23°的直线l交椭圆于A,B两点,则的△AF1B的周长是( )
A.20 B.16 C.8 D.6
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】利用椭圆的定义及其标准方程即可得出.
【解答】解:∵椭圆,可得a=4.
过右焦点F2作倾斜角为23°的直线l交椭圆于A,B两点,
则的△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16.
故选:B.
4.已知定点F1(﹣2,0)与F2(2,0),动点M满足|MF1|﹣|MF2|=4,则点M的轨迹方程是( )
A. B.
C.y=0(|x|≥2) D.y=0(x≥2)
【考点】轨迹方程.
【分析】设出M的坐标,利用两点间的距离公式和题设等式建立方程,平方后化简整理求得y=0,同时|MF1|>|MF2|,可推断出 动点M的轨迹,是一条射线,起点是(2,0),方向同x轴正方向.
【解答】解:假设M(x,y),根据|MF1|﹣|MF2|=2,可以得到:﹣=2,
两边平方,化简可以得到y=0,又因为|F1F2|=2,且|MF1|>|MF2|,
所以:动点M的轨迹,是一条射线,起点是(2,0),方向同x轴正方向.
故选D
5.已知向量=(1,1,0),=(﹣1,0,2),且与互相垂直,则k的值是( )
A.1 B. C. D.
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【分析】根据题意,易得k+,2﹣的坐标,结合向量垂直的性质,可得3(k﹣1)+2k﹣2×2=0,解可得k的值,即可得答案.
【解答】解:根据题意,易得k+=k(1,1,0)+(﹣1,0,2)=(k﹣1,k,2),
2﹣=2(1,1,0)﹣(﹣1,0,2)=(3,2,﹣2).
∵两向量垂直,
∴3(k﹣1)+2k﹣2×2=0.
∴k=,
故选D.
6.抛物线的准线方程是,则其标准方程是( )
A.y2=2x B.x2=﹣2y C.y2=﹣x D.x2=﹣y
【考点】抛物线的标准方程.
【分析】根据准线方程,可知抛物线的焦点在y轴的负半轴,再设抛物线的标准形式为x2=﹣2py,根据准线方程求出p的值,代入即可得到答案.
【解答】解:由题意可知抛物线的焦点在y轴的负半轴,
设抛物线标准方程为:x2=﹣2py(p>0),
∵抛物线的准线方程为y=,
∴=,
∴p=1,
∴抛物线的标准方程为:x2=﹣2y.
故选B.
7.直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B 两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线与圆相交的性质.
【分析】根据直线和圆相交的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【解答】解:若直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B 两点,
则圆心到直线距离d=,|AB|=2,
若k=1,则|AB|=,d=,则△OAB的面积为×=成立,即充分性成立.
若△OAB的面积为,则S==×2×==,
即k2+1=2|k|,即k2﹣2|k|+1=0,
则(|k|﹣1)2=0,
即|k|=1,
解得k=±1,则k=1不成立,即必要性不成立.
故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件.
故选:A.
8.设Sn是等差数列{an}的前项和,若S4≠0,且S8=3S4,设S12=λS8,则λ=( )
A. B. C.2 D.3
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】由等差数列的性质得:S4,S8﹣S4,S12﹣S8成等差数列,由此能求出λ的值.
【解答】解:∵Sn是等差数列{an}的前项和,若S4≠0,且S8=3S4,S12=λS8,
∴由等差数列的性质得:S4,S8﹣S4,S12﹣S8成等差数列,
∴2(S8﹣S4)=S4+(S12﹣S8),
∴2(3S4﹣S4)=S4+(λ•3S4﹣3S4),
解得λ=2.
故选:C.
9.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若2(a2+c2)﹣ac=2b2,则sinB=( )
A. B. C. D.
【考点】余弦定理.
【分析】利用余弦定理,结合条件,两边除以ac,求出cosB,即可求出sinB的值.
【解答】解:在△ABC中,由余弦定理得:a2+c2﹣b2=2accosB,
代入已知等式得:2accosB=ac,即cosB=,
∴sinB==,
故选:C.
10.方程表示的曲线是( )
A.一条直线和一个圆 B.一条直线和半个圆
C.两条射线和一个圆 D.一条线段和半个圆
【考点】曲线与方程.
【分析】将方程等价变形,即可得出结论.
【解答】解:由题意方程可化为=0或x+y﹣2=0(x2+y2﹣9≥0)
∴方程表示的曲线是两条射线和一个圆.
故选:C.
11.命题“∀x>0,x2+x>0”的否定是( )
A.∀x>0,x2+x≤0 B.∀x≤0,x2+x>0
C.∃x0>0,x02+x0≤0 D.∃x0≤0,x02+x0>0
【考点】命题的否定.
【分析】欲写出命题的否定,必须同时改变两个地方:①:“∀”;②:“>”即可,据此分析选项可得答案.
【解答】解:命题“∀x∈R,x2+x>0“的否定是:∃x0>0,x02+x0≤0,
故选:C
12.已知△ABC中,a=1,,A=30°,则B等于( )
A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
【考点】正弦定理.
【分析】根据题意和正弦定理求出sinB的值,由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B.
【解答】解:由题意得,△ABC中,a=1,,A=30°,
由得,sinB===,
又b>a,0°<B<180°,
则B=60°或B=120°,
故选:D.
二、填空题(20分,每题5分)
13.若命题“∃x0∈R,ax02﹣ax0﹣2≥0”是假命题,则实数a的取值范围是 (﹣8,0] .
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】命题“∃x0∈R,ax02﹣ax0﹣2≥0”是假命题,则“∀x0∈R,ax02﹣ax0﹣2<0”是真命题,即ax02﹣ax0﹣2<0恒成立
【解答】解:命题“∃x0∈R,ax02﹣ax0﹣2≥0”是假命题,则“∀x0∈R,ax02﹣ax0﹣2<0”是真命题,
即ax02﹣ax0﹣2<0恒成立,当a=0时,成立;当a≠0时, ⇒﹣8<a<0
综上实数a的取值范围是(﹣8,0]
故答案为:(﹣8,0]
14.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且函数f(x)=x2+ax•f′(1)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为﹣2,则a= 2 .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出f(x)的导数,再令x=1,可得切线的斜率,由已知条件,可得a的方程,解方程可得a的值.
【解答】解:函数f(x)=x2+ax•f′(1)
导数为f′(x)=2x+af′(1),
可得f′(1)=2+af′(1),
由图象在点(1,f(1))处的切线斜率为﹣2,
可得f′(1)=﹣2,
即有﹣2=2﹣2a,
解得a=2.
故答案为:2.
15.已知抛物线C1:y2=4x的焦点到双曲线C2: =1(a>0,b>0)的渐近线的距离为,则双曲线C2的离心率为 .
【考点】圆锥曲线的综合.
【分析】求出抛物线的焦点坐标,双曲线的渐近线方程,由点到直线的距离公式,可得a,b的关系,再由离心率公式,计算即可得到.
【解答】解:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),
双曲线C2: =1(a>0,b>0)的一条渐近线为bx+ay=0,
则焦点到渐近线的距离d=,
即有b2=a2,
则c2=a2,
即有双曲线的离心率为:.
故答案为:.
16.已知是椭圆C: =1上的任一点,Q是与椭圆C共焦点且实轴长为1的双曲线上的任一点,已知焦点F1、F2,从焦点F1引∠F1QF2的角平分线的垂线,垂足为M,则P,M两点间的最大距离为 .
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】点F1关于∠F1QF2的角平分线QM的对称点N在直线F2Q上,故
|F2N|=|QF2|+|QF1|=1,又OM是△F2F1N的中位线,故|OM|=,由此可以判断出点M的轨迹,进而可求P,M两点间的最大距离.
【解答】解:如图,由椭圆C: =1,得F1(﹣1,0),F2(1,0).
∴双曲线的焦点坐标也为F1(﹣1,0),F2(1,0).
点F1关于∠F1QF2的角平分线QM的对称点N在直线F2PQ上,
故|F2N|=|QF2|+|QF1|=1,
又OM是△F2F1N的中位线,故|OM|=,
∴点M的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,
∴P是椭圆长轴的一个端点时,P,M两点间的距离最大,最大值为+2=.
故答案为:.
三、解答题
17.已知(+)n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.
(Ⅰ)求n的值;
(Ⅱ)此展开式中是否有常数项?为什么?
【考点】二项式定理的应用.
【分析】(Ⅰ)先求得(+)n展开式中第二、三、四项的二项式系数,再根据这3个系数成等差数列,求得n的值.
(Ⅱ)在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于零,得到r的值不是非负整数,可得展开式无常数项.
【解答】解:(Ⅰ)由于(+)n展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为,,,
由题意可得:2=+,解得n=7.
(Ⅱ)展开式的通项公式为,
令,解得(舍去),故展开式无常数项.
18.已知△ABC中,A(1,3),BC边所在的直线方程为y﹣1=0,AB边上的中线所在的直线方程为x﹣3y+4=0.
(Ⅰ)求B,C点的坐标;
(Ⅱ)求△ABC的外接圆方程.
【考点】直线与圆相交的性质.
【分析】(Ⅰ)利用解方程组的方法,求B,C点的坐标;
(Ⅱ)法一:求出圆心与半径;法二:,利用圆的一般方程,即可求△ABC的外接圆方程.
【解答】解:(Ⅰ)由解得C(﹣1,1); …
设B(x0,1),则AB的中点,由点D在AB边的中线上得,解得B(3,1)…
(Ⅱ)法一:易知AB⊥AC,故△ABC的外接圆的直径为BC,圆心为BC的中点(1,1),
…
又半径,…
∴所求外接圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=4…
法二:设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0则将A(1,3),B(1,﹣1),C(﹣1,0)三点
的坐标代入可得…
解得D=E=F=﹣2,…
即△ABC的外接圆方程为x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0.…
19.某网站对“爱飞客”飞行大会的日关注量x(万人)与日点赞量y(万次)进行了统计对比,得到表格如下:
x
3
5
6
7
9
y
2
3
3
4
5
由散点图象知,可以用回归直线方程=x+来近似刻画它们之间的关系.
(Ⅰ)求出y关于x的回归直线方程,并预测日关注量为10万人时的日点赞量;
(Ⅱ)一个三口之家参加“爱飞客”亲子游戏,游戏规定:三人依次从装有3个白球和2个红球的箱子中不放回地各摸出一个球,大人摸出每个红球得奖金10元,小孩摸出1个红球得奖金50元.求该三口之家所得奖金总额不低于50元的概率.
参考公式:b=; 参考数据: xi2=200, xiyi=112.
【考点】线性回归方程.
【分析】(Ⅰ)结合所给的数据求出和的值,求出回归方程即可;(Ⅱ)分别求出P(ξ=50)和P(ξ=60)的概率,从而求出满足条件的答案即可.
【解答】(Ⅰ)由=6, =3.4,
得: =0.5, =0.4,
∴回归直线方程为y=0.5x+0.4,
当x=10时,,
即日关注量为10万人时的日点赞量5.4万次.
(Ⅱ)设奖金总额为ξ,
则,
,
∴奖金总额不低于50元的概率为.
20.已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4.
(Ⅰ) 若直线l过点A(2,3)且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程;
(Ⅱ) 若直线l过点B(1,0)与圆C相交于P,Q两点,求△CPQ的面积的最大值,并求此时直线l的方程.
【考点】圆方程的综合应用.
【分析】(Ⅰ)求出圆C的圆心坐标为C(3,4),半径R=2,推出圆心C到直线l的距离d=1,(1)当直线l的斜率不存在时,l:x=2,判断是否满足题意;(2)当直线l的斜率存在时,设l:y﹣3=k(x﹣2),利用点到直线的距离公式求解即可.
(Ⅱ)法一:设直线l方程:y=k(x﹣1),利用点到直线的距离公式以及三角形面积公式,通过二次函数的最值求解即可.
法二:设圆心C到直线l的距离为d,表示三角形的面积,利用基本不等式求解即可.
法三:S△CPQ=R•Rsin∠PCQ,利用三角函数的最值求解,圆心C到直线l的距离,然后转化求解即可.
【解答】解:(Ⅰ)圆C的圆心坐标为C(3,4),半径R=2,
∵直线l被圆E截得的弦长为2,∴圆心C到直线l的距离d=1 …
(1)当直线l的斜率不存在时,l:x=2,显然满足d=1; …
(2)当直线l的斜率存在时,设l:y﹣3=k(x﹣2),即kx﹣y+3﹣2k=0,
由圆心C到直线l的距离d=1得:,解得k=0,故l:y=3; …
综上所述,直线l的方程为x=2或y=3…
(Ⅱ)法一:∵直线与圆相交,∴l的斜率一定存在且不为0,设直线l方程:y=k(x﹣1),
即kx﹣y﹣k=0,则圆心C到直线l的距离为d=,…
又∵△CPQ的面积S==d==…
∴当时,S取最大值2.由d==,得k=1或k=7,
∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0或7x﹣y﹣7=0.…
法二:设圆心C到直线l的距离为d,
则(取等号时)
以下同法一.
法三:
取“=”时∠PCQ=90°,△CPQ为等腰直角三角形,则圆心C到直线l的距离,
以下同法一.
21.为了研究某学科成绩是否与学生性别有关,采用分层抽样的方法,从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩,得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图,规定80分以上为优分(含80分).
(Ⅰ)(i)请根据图示,将2×2列联表补充完整;
优分
非优分
总计
男生
女生
总计
50
(ii)据列联表判断,能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“学科成绩与性别有关”?
(Ⅱ)将频率视作概率,从高二年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩,求成绩为优分人数X的分布列与数学期望.
参考公式:K2=(n=a+b+c+d).
参考数据:
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【考点】独立性检验.
【分析】(Ⅰ)列出2×2列联表,计算k2的值,判断即可;(Ⅱ)根据优分人数X服从二项分布,求出E(x)即可.
【解答】解:(Ⅰ)根据图示,将2×2列联表补充完整如下:
优分
非优分
总计
男生
9
21
30
女生
11
9
20
总计
20
30
50
K2的观测值:,
所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关;
(Ⅱ)由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关,
因此可将男女生成绩的优分频率视作概率;
从高二年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中,
优分人数X服从二项分布,
P(X=k)=
X
0
1
2
…
3
p
X的分布列为:数学期望.
22.已知长为2的线段A B两端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,线段AB的中点M的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)点P(x,y)是曲线C上的动点,求3x﹣4y的取值范围;
(Ⅲ)已知定点Q(0,),探究是否存在定点T(0,t)(t)和常数λ满足:对曲线C上任意一点S,都有|ST|=λ|SQ|成立?若存在,求出t和λ;若不存在,请说明理由.
【考点】轨迹方程.
【分析】(Ⅰ)法一:设A(m,0),B(0,n),M(x,y),利用|AB|2=m2+n2,以及点M为线段AB的中点求解点M的轨迹曲线C的方程.
法二:设O为坐标原点,则,判断点M的轨迹曲线C是以原点O为圆心,半径等于1的圆,写出方程即可.
(Ⅱ)法一;通过x2+y2=1,令,转化三角函数求解最值即可.
法二:设t=3x﹣4y,利用直线3x﹣4y﹣t=0与圆C:x2+y2=1有公共点,列出不等式求解即可.
(Ⅲ)假设存在满足题意的t和λ,则设S(x,y),由|ST|=λ|SQ|得:,化简代入x2+y2=1,推出,推出,得到结果.
【解答】解:(Ⅰ)法一:设A(m,0),B(0,n),M(x,y),则|AB|2=m2+n2①
∵点M为线段AB的中点∴m=2x,n=2y;代入①式得4x2+4y2=4,
即点M的轨迹曲线C的方程为x2+y2=1. …
法二:设O为坐标原点,则,故点M的轨迹曲线C是以原点O为圆心,
半径等于1的圆,其方程为x2+y2=1. …
(Ⅱ)法一;∵x2+y2=1,∴可令,∴3x﹣4y=3cosθ﹣4sinθ=5sin(θ+φ)∈[﹣5,5].…
法二:设t=3x﹣4y,则由题直线3x﹣4y﹣t=0与圆C:x2+y2=1有公共点,
∴,解得t∈[﹣5,5]…
(Ⅲ)假设存在满足题意的t和λ,则设S(x,y),由|ST|=λ|SQ|得:,展开整理得:,又x2+y2=1,故有,…
由题意此式对满足x2+y2=1的任意的y都成立,
∴且,解得:(∵)
所以存在满足题意要求.…