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- 2021-06-10 发布
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第十章 算法、统计与概率
第1课时 算 法
① 算法初步是高中数学新课程标准中新添加的内容,高考对本章的考查主要以填空题的形式出现,单独命题以考查考生对流程图的识别能力为主,对算法语言的阅读理解能力次之,考查用自然语言叙述算法思想的可能性不大.
② 算法可结合在任何试题中进行隐性考查,因为算法思想在其他数学知识中的渗透是课标的基本要求,常见的与其他知识的结合有分段函数、方程、不等式、数列、统计等知识综合,以算法为载体,以算法的语言呈现,实质考查其他知识.
① 了解算法的含义、算法的思想.
② 理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、选择、循环.
③ 理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.
1. (必修3P37测试1改编)如图所示的流程图中,输出的x= ,y= W.
答案:4 5
解析:S1 先把1赋给x;
S2 把3赋给y;
S3 把y+1赋给x,即将3+1赋给x;
∴ x现在的值是4,它将x原来的值x=1覆盖了.
S4 把x+1赋给y,即4+1赋给y,
∴ y现在的值是5,它将y原来值y=3覆盖了.
∴ 输出x=4,y=5.
2. (必修3P37测试2改编)运行如图所示的流程图.若输入值x∈[-2,2],则输出值y的取值范围是 W.
答案:[-1,4]
解析:实际上是求函数y=的值域,作出函数的图象(图略)得到y的取值范围是[-1,4] .
3. (原创)根据下面流程图,当输入x为6时,输出的y= W.
答案:10
解析:该流程图运行如下:x=6-3=3>0,x=3-3=0,x=0-3=-3<0,y=(-3)2+1=10.
4. (必修3P37测试3改编)根据下列算法语句,当输入x为60时,输出y的值为 W.
Read x
If x≤50 Then
y←0.5x
Else
y←25+0.6 (x-50)
End If
Print y
答案:31
解析:算法语言给出的是分段函数y=
输入x=60时,y=25+0.6(60-50)=31.
5. (必修3P37测试5改编)运行如图所示的伪代码表示的算法,其输出值为 W.
i←1
S←0
While i<8
i←i+3
S←2×i+S
End While
Print S
答案:42
解析:由题设可知,循环体执行3次,从而有S=0+8+14+20=42.
1. 流程图是由一些图框和流程线组成的,其中图框表示各种操作的类型,图框中的文字和符号表示操作的内容,流程线表示操作的先后次序.
2. 常见的图框、流程线及功能
图形符号
名称
功能
起止框
表示算法的开始或结束,一般画成圆角矩形
输入、
输出框
表示输入、输出操作,一般画成平行四边形
处理框
表示赋值或计算,一般画成矩形
判断框
根据条件决定执行两条路径中的某一条,一般画成菱形
流程线
表示执行步骤的路径,可用箭头线表示
3. 基本的算法结构
算法都可以由顺序结构、选择结构、循环结构组成.
名称内容
顺序结构
选择结构
循环结构
定义
由若干个依次执行的步骤组成,这是任何一个算法都离不开的基本结构
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向,条件结构就是处理这种过程的结构
从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤的情况,反复执行的步骤称为循环体
流程图
4. 赋值语句
用符号“x←y”表示将y的值赋给x,其中x是一个变量,y是一个与x同类型的变量或表达式W.
5. 输入语句、输出语句
(1) 输入语句:“Read a,b”表示输入的数据依次送给a,bW.
(2) 输出语句:“Print x”表示输出运算结果xW.
6. 条件语句
条件语句的一般形式是
If A Then
B
Else
C
End If
其中A表示判断的条件,B表示满足条件时执行的操作内容,C表示不满足条件时执行的操作内容,End If表示条件语句结束W.
7. 循环语句
循环语句一般有三种:“While循环”“Do循环”“For循环”.
(1) 当型循环一般采用“While循环”描述循环结构.
格式:
功能:先判断条件是否成立,当条件成立时,执行循环体,遇到End While语句时,就返回继续判断条件,若仍成立,则重复上述过程,若不成立,则退出循环.
当型语句的特点是先判断,后执行.
(2) 直到型循环可采用“Do循环”描述循环结构.
格式:
功能:先执行循环体部分,然后再判断所给条件是否成立.如果条件不成立,那么再次执行循环体部分,如此反复,直到所给条件成立时退出循环.
直到型语句的特点是先执行,后判断.
(3) 当循环的次数已经确定,可用“For”语句表示.
格式:For I From “初值”To“终值” Step“步长”
循环体
End For
功能:根据For语句中所给定的初值、终值和步长来确定循环次数,反复执行循环体内各语句.
通过For语句进入循环,将初值赋给变量I,当循环变量的值不超过终值时,则顺序执行循环体内的各个语句,遇到End For,将循环变量增加一个步长的值,再与终值比较,如果仍不超过终值范围,则再次执行循环体.这样重复执行,直到循环变量的值超过终值,则跳出循环.
, 1 选择结构的算法功能)
, 1) (2017·江苏卷)如图是一个算法流程图.若输入x的值为,则输出y的值是 W.
答案:-2
解析:因为输入x的值为,不满足x≥1,所以y=2+log2=-2.
变式训练
(2017·南京三模)执行如图所示的伪代码,若输出y的值为1,则输入x的值为 W.
Read x
If x≥0 Then
y←2x+1
Else
y←2-x2
End If
Print y
答案:-1
解析:若x≥0,则2x+1=1,解得x=-1(舍去);若x<0,则2-x2=1,解得x=±1,所以x=-1.综上所述,输入x的值为-1.
, 2 循环结构的算法功能)
, 2) 根据如图所示的伪代码,最后输出的S的值为 W.
S←0
For I From 1 To 28 Step 3
S←S+I
End For
Print S
答案:145
解析:由算法伪代码知,此算法为计算首项为1,公差为3的等差数列的前10项的和,所以S=1+4+…+28==145.
变式训练
根据如图所示的伪代码,可以输出的结果S为 W.
I←1
Do
I←I+2
S←2I+3
Until I≥8
End Do
Print S
答案:21
解析:I=1,第一次循环,I=3,S=9;第二次循环,I=5,S=13;第三次循环,I=7,S=17;第四次循环,I=9,S=21;退出循环,故输出的结果为21.
, 3 算法的综合运用)
, 3) 执行如图所示的算法流程图,则输出的结果是 W.
答案:-1
解析:由流程图知循环体执行8次,第1次循环S=,n=2;第2次循环S=-1,n=3;第3次循环S=2,n=4,…,第8次循环S=-1,n=9.
变式训练
(2017·苏锡常镇二模)下图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图,若输入x的值为1,则输出S的值为 W.
答案:14
解析:模拟执行程序,可得,输入x的值为1, S=1, 不满足条件S>5,x=2,S=5;不满足条件S>5,x=3,S=14;满足条件S>5,退出循环,输出S的值为14.
1. (2017·扬州期末)如图是一个求函数值的算法流程图,若输入的x的值为5,则输出的y的值为 W.
答案:-15
解析:由题意,y=当x=5时,y=5-4×5=-15,所以输出的y的值为-15.
2. (2017·南京、盐城一模)如图是一个算法流程图,则输出的x的值是 W.
答案:9
解析:由题意,x=1,y=9,x<y,第1次循环,x=5,y=7,x<y;第2次循环,x=9,y=5,x>y,退出循环,输出9.
3. (2017·苏州期末)阅读下面的流程图,如果输出的函数f(x)的值在区间内,那么输入的实数x的取值范围是 W.
答案:[-2,-1]
解析:由题意,f(x)=当f(x)∈时,所以所以输入的实数x的取值范围是[-2,-1].
4. (2017·南通、泰州一调)如图是一个算法的流程图,则输出的n的值为 W.
答案:5
解析:由题意,n=1,a=1,第1次循环,a=5,n=3,满足a<16,第2次循环,a=17,n=5,不满足a<16,退出循环,输出的n的值为5.
5. (2017·苏北四市期末)根据如图所示的伪代码,则输出S的值为 W.
S←0
I←1
While I≤5
I←I+1
S←S+I
End While
Print S
答案:20
解析:第一次I=1,满足条件I≤5,I=1+1=2,S=0+2=2;
第二次I=2,满足条件I≤5,I=2+1=3,S=2+3=5;
第三次I=3,满足条件I≤5,I=3+1=4,S=5+4=9;
第四次I=4,满足条件I≤5,I=4+1=5,S=9+5=14;
第五次I=5,满足条件I≤5,I=5+1=6,S=14+6=20;
第六次I=6,不满足条件I≤5,循环终止,输出S=20.
1. 运行如图所示的伪代码,其结果为 W.
S←1
For I From 1 To 7 Step 2
S←S+I
End For
Print S
答案:17
解析:题设伪代码的循环体执行如下:S=1+1+3+5+7=17.
2. (2017·无锡期末)根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为 W.
i←1
S←-2
While i<8
i←i+2
S←3i+S
End While
Print S
答案:70
解析:第一次i=1,满足条件i<8,i=1+2=3,S=3×3-2=7;
第二次i=3,满足条件i<8,i=3+2=5,S=3×5+7=22;
第三次i=5,满足条件i<8,i=5+2=7,S=3×7+22=43;
第四次i=7,满足条件i<8,i=7+2=9,S=3×9+43=70;
第五次i=9,不满足条件i<8,循环终止,输出S=70.
3. (2017·北京卷)执行如图所示的程序框图,输出s的值为 W.
答案:
解析: =0,s=1,满足 <3; =1,s==2,满足 <3; =2,s==,满足 <3; =3,s==,不满足 <3,故输出s的值为.
4. (2017·全国卷Ⅰ)下面程序框图是为了求出满足3n-2n>1 000的最小偶数n,那么在两个空白框中,可以分别填入 W.(填序号)
① A>1 000和n←n+1;
② A>1 000和n←n+2;
③ A≤1 000和n←n+1;
④ A≤1 000和n←n+2.
答案:④
解析:根据程序框图可知,判断框中如果满足条件则再次进入循环,不满足则结束循环,所以不能填“A>1 000”,只能填“A≤1 000”.由于要求解的是最小偶数n,而n的初始值为0,所以处理框中应填“n←n+2”.
1. 求解伪代码问题的基本思路
关键是理解基本算法语言.在一个赋值语句中,只能给一个变量赋值,同一个变量的多次赋值的结果以算法顺序的最后一次为准.对于条件语句要注意准确判断和语句格式的完整性理解.对于循环语句,要注意是当型循环,还是直到型循环,弄清何时退出循环.
2. 注意算法与其他知识的综合交汇,特别是用流程图来设计数列的求和是高考的常考题型.数列的求和计算问题是典型的算法问题,要求能看懂流程图和伪代码,能把流程图或伪代码转化为数列问题,体现了化归的思想方法.
[备课札记]