数学卷·2019届广东省中山市一中高二上学期第一次统测（2017-10） 7页

中山市第一中学 2017~2018 学年高二年级第一学期第一次统测 数 学 命题人: 审题人: 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1、在等差数列 na 中， 2 2a  ， 3 4a  ，则 10a  ( )． A．12 B．14 C．16 D．18 2、不等式 1 02 1 x x   的解集为 （ ） A． 1 ,12     B． 1 ,12     C．  1, 1,2        D．  1, 1,2        3、等差数列 na 中， 1 5 10a a  ， 4 7a  ，则数列 na 的公差为 ( ) A．1 B． 2 C．3 D． 4 4、已知 a 和b 均为非零实数，且 ba  ，则下面式子正确的是（ ） A. 22 ba  B. 22 abba  C. baab 22 11  D. b a a b  5、在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30 、60 ，则塔高为（ ） A． 3 400 米 B． 3 3400 米 C． 200 3 米 D． 200 米 6、已知等比数列前 n 项和为 nS ，若 42 S , 164 S ，则 8S （ ） A．160 B． 64 C． 64 D． 160 7、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增， 共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中 的 下 一 层 灯 数 是 上 一 层 灯 数 的 2 倍 ， 则 塔 的 顶 层 共 有 灯 ( ) A. 1盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏 8、已知在 ABC 中，sin :sin :sin 3:5:7A B C  ，那么这个三角形的最大角是( ) A．135 B．90 C．120 D．150 9、已知 na 是等差数列，其公差为非零常数 d ，前 n 项和为 nS ，设数列 nS n     的前 n 项和 为 nT ，当且仅当 6n  时， nT 有最大值，则 1a d 的取值范围是（ ） A. 5, 2      B.  3,  C. 53, 2      D.   5, 3 ,2         10、数列 }{ na 满足 1na        )12 1(,12 )2 10(,2 nn nn aa aa ，若 5 3 1 a ，则 2017a  （ ） A． 5 1 B． 5 2 C． 5 3 D． 5 4 11、边长为5,7,8 的三角形的最大角与最小角之和为 （ ） A．90 B．120 C．135 D．150 12、已知数列 1 2 1 2 3 1 2 3 41, , , , , , , , , ,2 1 3 2 1 4 3 2 1 ，则 5 6 是此数列中的( ) A．第 48 项 B．第 49 项 C．第50 项 D．第51项 第Ⅱ卷 （非选择题） 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上）. 13、不等式 2 6 7 0x x   的解集是 ; 14、已知等比数列 na 中， 1 3,a  1 3 5 21a a a   ，，则 3 5 7a a a   ； 15、．已知等差数列 na 中, 3 2 72,3 2 0,a a a   其前 n 项和为 nS .令 n n Sb n  ,则数列  nb 的前 20 项和为 . 16、设 ABC 的内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，若三边的长为连续的三个正整数，且 A B C  ， 3 20 cosb a A ，则 sin :sin :sinA B C 为 ． 三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本题满分为 10 分） 在锐角 ABC 中， , ,a b c 分别为角 , ,A B C 所对的边，且 3 2 sina c A . （1）确定角C 的大小； （2）若 7c  ，且 ABC 的面积为 3 3 2 ，求 a b 的值. 18、（本题满分为 12 分） 一支车队有15辆车，某天依次出发执行运输任务。第一辆车于下午 2 时出发，第二辆车于 下午 2 时10分出发，第三辆车于下午 2 时 20 分出发，以此类推。假设所有的司机都连续开 车，并都在下午 6 时停下来休息. （1） 到下午 6 时，最后一辆车行驶了多长时间？ （2） 如果每辆车的行驶速度都是 60 /km h ,这个车队当天一共行驶了多少 km ? 19、（本题满分为 12 分） 设 ABC 的内角 , ,A B C 所对边的长分别是 , ,a b c ，且 3, 1, 2b c A B   . （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）求sin 4A     的值. 20、（本题满分为 12 分） 已知等差数列{ }na 的公差不为零，且满足 1 6a  ， 2 6 14, ,a a a 成等比数列． （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）记   2 1n n b n a   ，求数列 nb 的前 n 项和 nS ． 21、（本题满分为 12 分） 设 ABC 的内角 , ,A B C 所对边的长分别是 , ,a b c ，已知向量 ( , )p a b c  ， ( , ),q b a c b   且 p q  . （Ⅰ）求角 A 的值； （Ⅱ）若 3a  ，设角 B 的大小为 x ， ABC 的周长为 y ，求  y f x 的最大值. 22、（本题满分为 12 分） 设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 2 nS n n  ，数列 nb 的通项公式为 1n nb x  ． （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）设 n n nc a b ，数列 nc 的前 n 项和为 nT ， ①求 nT ； ②若 2x  ，求数列 1 2 2{ }2 n n nT n T     的最小项的值． 2017 学年中山市第一中学高二年级第一次统测答案 数目 命题人: 审题人: 一.选择题: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A B C A A B C C B B C 二.填空题: 13.   , 1 7,   ; 14. 42 ; 15. 112 ; 16. 6:5: 4 17.解:(1) 由正弦定理,得: 3sin 2sin sinA C A , 0 180 ,A   sin 0A  , 3sin 2C  , 又 C 是锐角, 60C   .—————5 分 (2) 由余弦定理得: 2 2 2 cos60 7a b ab    , 即: 2 2 7a b ab   , 由正弦定理得: 1 3 3sin 602 2ab   , 即 6ab  , 2 2 13a b    2 2 2 2 13 12 25a b a b ab        , 因为 a b 是正数, 5a b   —————10 分 18、解：（1） 第15辆车在第一辆车后140分钟（ 2 小时 20 分钟）出发， 即 4 时 20 分出发，所以最后一辆车行驶了1小时 40 分钟。—————5 分 （2）15辆车行驶所用的时间数构成一个等差数列，所以行驶的 总的时间 215 4 1 853 2 2S       （小时），—————10 分 所以这个车队当天一共行驶了 8560 25502 km  —————12 分 答：（1）到下午 6 时，最后一辆车行驶了1小时 40 分钟； （2）这个车队当天一共行驶了 2550 km ? 19、解：（1）∵ 2A B ，∴sin sin 2 2sin cosA B B B  ， 由正弦定理得 2 2 2 2 2 a c ba b ac    ∵ 3, 1b c  ，∴ 2 12, 2 3a a  。——————6 分 （2）由余弦定理得 2 2 2 9 1 12 1cos 2 6 3 b c aA bc        ， 由于 0 A   ，∴ 2 21 2 2sin 1 cos 1 ( )3 3A A      ， 所以 2 2 2 1 2 4 2sin( ) sin cos cos sin ( )4 4 4 3 2 3 2 6A A A            ——12 分 20、解（1）由题意知 2 6 2 14a a a ， 所以 2 1 1 1( 5 ) ( )( 13 )a d a d a d    ， 化简得 2 1 3a d d ， 因为 1 6a  ， 0d  ，所以 2d  ， 所以 2 4na n  ．—————6 分 （2） 2 1 1 1 ( 1)(2 4) ( 1)( 2) 1 2nb n n n n n n          ， 所以 1 2n nS b b b   … 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 3 3 4 1 2n n         … 1 1 2 2 2( 2) n n n     ．——————12 分 21 解：（Ⅰ）在 ABC 中，由 2 2 2b c a bc   及余弦定理得 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc    则 3A  ；——————5 分 （Ⅱ）由 3, 3a A   及正弦定理得 3 2sin sin sin 3 2 b c a B C A     ， 而 2, 3B x C x   ，则 2 22sin , 2sin( )(0 )3 3b x c x x      于是 23 2sin 2sin( ) 2 3sin( ) 33 6y a b c x x x           ， 由 20 3x   得 5 6 6 6x     ， 当 6 2x    即 3x  时， max 3 3y  ，——————12 分 22、解： （1）由 na 与 nS 的关系得 1 1 ( 1){ ( 2)n n n S na S S n    ，又 2 nS n n  ，  2na n ；——————3 分 （2） 12 n nc nx  ，． 2 3 12 4 6 8 2 n nT x x x nx       ． ① 则 2 3 42 4 6 8 2 n nxT x x x x nx      ． ② 两式相减得：   2 11 2 2 2 2 2n n nx T x x x nx       ． 当 1x  时， 1 nx T  2 nx x   － nnx ． 所以 nT  ( ) ( ) n nn x nx x          ．——————6 分 当 1x  时， 22 4 6 8 2 2nT n n n        ．——————8 分 （3）当 2x  时，   12 1 2n nT n    ． 则 n n nT n T       ＝ ( ) n n    ．…………10 分 设     2 2 1 nf n n   ． 因为    1f n f n   ( ) ( ) n n     － ( ) n n    ＝ ( )( ) n n n n         0 ， …………11 分 所以函数  f n 在正整数上是单调增函数． 所以 1n  时，  f n 取到最小值   ， 即数列{ n n nT n T       }的最小项的值为   …………………12 分