【数学】2019届一轮复习人教A版第3章三角函数三角恒等变换及解三角形第8课时解三角形应用举例学案 9页

第8课时　解三角形应用举例(对应学生用书(文)、(理)67 69页)‎ ‎　　正余弦定理在应用题中的应用．‎ ‎　　能准确地建立数学模型，并能运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量学、力学、运动学及几何计算有关的实际问题．‎ ‎1. (必修5P10练习2改编)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝‎50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为____________m.‎ ‎ ‎ 答案：50 解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，所以AB＝＝＝50(m)．‎ ‎2. (必修5P20练习3改编)已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是a m，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________ m.‎ 答案：a 解析：由题图可知，∠ACB＝120°，则由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2·a·a·＝‎3a2，解得AB＝a( m)．‎ ‎3. 如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为‎60 m，则该建筑物的高度为__________m.‎ 答案：30＋30 解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，sin 15°＝sin(45°－30°)＝‎ sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝.由正弦定理，得＝，所以PB＝＝30(＋)．所以建筑物的高度为PBsin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)m.‎ ‎4. 某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________ m2.‎ 答案： 解析：如图，连结AC，由余弦定理可知AC＝＝，故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，＝，即AD＝＝＝，故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×1×＋××＝( m2)．‎ ‎5. (必修5P20练习4改编)如图，测量河岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，BD＝‎20 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝__________m.‎ 答案：10(3＋)‎ 解析：由题意可知在△BCD中，∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，‎ 由正弦定理可得BC＝＝＝10(＋)．‎ 又在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，‎ 所以AB＝BC·tan∠ACB＝10(＋)×＝10(3＋)(m)．‎ ‎1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题，计算面积问题、航海问题、物理问题等．‎ ‎2. 实际问题中的常用角 ‎(1) 仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．‎ ‎(2) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．‎ ‎(3) 方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．‎ ‎(4) 坡度＝，即坡角的正切值．‎ ‎[备课札记]‎ ‎,　　　　　　　　　1　测量距离问题)‎ ‎,　　　　　1)　如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，他在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，DC＝CE＝1(百米)．‎ ‎(1) 求△CDE的面积；‎ ‎(2) 求A，B两点之间的距离．‎ 解：(1) 在△CDE中，∠DCE＝360°－90°－15°－105°＝150°，S△ECD＝DC·CE·sin 150°＝×sin 30°＝×＝(平方百米)．‎ ‎(2) 依题意知，在Rt△ACD中，‎ AC＝DC·tan ∠ADC＝1×tan 60°＝.‎ 在△BCE中，∠CBE＝180°－∠BCE－∠CEB＝180°－105°－45°＝30°.‎ 由正弦定理＝，‎ 得BC＝·sin∠CEB＝×sin 45°＝.‎ 因为cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝.‎ 连结AB，在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BCcos∠ACB，‎ 可得AB2＝()2＋()2－2×××＝2－，所以AB＝＝(百米)．‎ 变式训练 如图，为了计算北江岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝10 m，AB＝14 m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C的距离(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236)‎ 解：在△ABD中，设BD＝x，‎ 则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，‎ 即142＝x2＋102－2×10x·cos 60°，整理得x2－10x－96＝0.‎ 解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．‎ 由正弦定理，得＝，‎ ‎∴ BC＝·sin 30°＝8≈11( m)．‎ ‎,　　　　　　　　　2　测量高度问题)‎ ‎,　　　　　2)　如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为‎10 m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°.‎ ‎(1) 求烟囱AB的高度；‎ ‎(2) 如果要在CE间修一条直路，求CE的长．‎ 解：(1) 设AB的高度为h m．在△CAB中，因为∠ACB＝45°，所以CB＝h.‎ 在△OAB和△ABE中，因为∠AOB＝30°，∠AEB＝60°，‎ 所以OB＝h，EB＝.‎ 由题意得h－＝10，解得h＝15.‎ 故烟囱AB的高度为‎15 m.‎ ‎(2) 在△OBC中，cos∠COB＝＝＝.‎ 所以在△OCE中，CE2＝OC2＋OE2－2OC·OE·cos∠COE＝300＋300－600×＝100(m)．‎ 故CE的长为‎10 m.‎ 如图，为测量河岸上塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走‎10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________m.‎ 答案：10 解析：在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BCtan 60°＝‎10 m.‎ ‎,　　　　　　　　　3　测量角度问题)‎ ‎,　　　　　3)　在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(－1)n mile 的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A为2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的 速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向航行能最快追上走私船？‎ 解： 如题图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.‎ 设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD＝10t，BD＝10t.在△ABC中，∵ AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，‎ ‎∴ 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×＝6，‎ ‎∴ BC＝.‎ ‎∵ cos∠CBA＝＝＝，‎ ‎∴ ∠CBA＝45°，即B在C正东方向．‎ ‎∵ ∠CBD＝90°＋30°＝120°，‎ 在△BCD中，由正弦定理得 sin∠BCD＝＝＝，‎ ‎∴ ∠BCD＝30°.‎ 即缉私船沿北偏东60°方向航行能最快追上走私船．‎ 变式训练 已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3 n mile 的B处有一艘缉私艇，岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h 的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5 h能截住该走私船？(参考数据：sin 38°＝，sin 22°＝)‎ 解：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x n mile，则BC＝0.5x n mile，AC＝5 n mile，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.‎ 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝38°.又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故缉私艇以每小时14 n mile的速度向正北方向行驶，恰好用0.5 h能截住该走私船．‎ ‎1. 在‎200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为________m.‎ 答案： 解析：如图，设AB表示山高，CD表示塔高，则∠DBC＝60°－30°＝30°，∠ABC＝90°－60°＝30°，连结AC.‎ 在Rt△BAC中，cos∠ABC＝，‎ ‎∴ BC＝＝＝.‎ ‎∵ ∠DCB＝90°－60°＝30°，‎ ‎∴ ∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB＝120°.‎ 由正弦定理得＝，‎ 故DC＝＝(m)．‎ ‎2. 如图，一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是________海里．‎ 答案：10 解析：易知，在△ABC中，AB＝‎20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．‎ ‎3. 张晓华同学骑电动自行车以24 m/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是__________ m.‎ 答案：3 解析：画出示意图如图，由条件知AB＝24×＝6.在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，所以BS＝＝3 m.‎ ‎4. (2017·南京、盐城二模)如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2.‎ ‎(1) 如图①，若AD⊥BC，求∠BAC的大小；‎ ‎(2) 如图②，若∠ABC＝，求△ADC的面积．‎ 解：(1) 设∠BAD＝α，∠DAC＝β.‎ 因为AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2，‎ 所以tan α＝，tan β＝，‎ 所以tan∠BAC＝tan(α＋β)＝＝＝1.‎ 又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝.‎ ‎(2) 设∠BAD＝α.‎ 在△ABD中，∠ABC＝，AD＝6，BD＝3.‎ 由正弦定理得＝，解得sin α＝.‎ 因为AD＞BD，所以α为锐角，‎ 从而cos α＝＝.‎ 因为sin∠ADC＝sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＝.‎ ‎△ADC的面积S＝×AD×DC×sin∠ADC＝×6×2×＝.‎ ‎1. 某人在C处测得A地和B地距离C地分别为‎20米和‎30米，且测得张角∠ACB＝120°，则A，B两地的距离为________(米)．‎ 答案：10 解析：由余弦定理得AB＝＝10(米)．‎ ‎2. 某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶．公路的走向是M站的北偏东40°.开始时，汽车到A的距离为31 m，汽车前进20 m后，到A的距离缩短了10 m.求此时汽车离汽车站的距离．‎ 解：由题设，画出示意图，设汽车前进20 m后到达B处．‎ 在△ABC中，AC＝31，BC＝20，AB＝21，由余弦定理，得 cos C＝＝，‎ 则sin‎2C ＝1－cos‎2C＝，sin C＝，‎ 所以sin∠MAC＝sin(120°－C)‎ ‎＝sin 120°cos C－cos 120°sin C＝.‎ 在△MAC中，由正弦定理，得 MC＝＝×＝35，‎ 从而有MB＝MC－BC＝15 m，‎ 故汽车离汽车站的距离是15 m.‎ ‎3. 如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，某课外小组的同学在岸边选取C，D两点，测得CD＝‎200 m，∠ADC＝105°，∠BDC＝15°，∠BCD＝120°，∠ACD＝30°，则A，B两点间的距离是__________．‎ 答案：‎‎200 m 解析：在△ACD中，由正弦定理有＝，解得AC＝100(＋‎ ‎1)．在△BCD中，由正弦定理解得BC＝100(－1)，∠BCA＝∠BCD－∠ACD＝90°，所以在Rt△ACB中，AB＝‎200 m.‎ ‎4. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？‎ 解：设∠AOB＝α，在△AOB中，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2×OA×OBcos ∠AOB＝12＋22－2×1×2×cos α＝5－4cos α，‎ 于是，四边形OACB的面积为 S＝S△AOB＋ S△ABC ‎＝OA·OBsin α＋AB2‎ ‎＝×2×1×sin α＋(5－4cos α)‎ ‎＝sin α－cos α＋＝2sin＋.‎ 因为0＜α＜π，所以当α－＝，α＝，即∠AOB＝时，四边形OACB面积最大．‎ ‎1. (1) 利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．‎ ‎(2) 利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．‎ ‎(3) 应用题要注意作答．‎ ‎2. (1) 测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念．‎ ‎(2) 分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形中应用正、余弦定理．‎ ‎(3) 注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形．‎ ‎[备课札记]‎