2018-2019学年广东省湛江第一中学高二上学期第二次大考试题 数学（理） Word版 9页

湛江一中2018-2019学年度第一学期“第2次大考”‎ 高二级数学理科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：袁珍琼 审题人：何佩锦 做题人：杨婷 一、 选择题（每小题5分，共12题60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）‎ ‎1．下列说法正确的是( )‎ A．‎∀x∈R,x‎2‎>0‎”的否定是‎∃x‎0‎∈R,x‎0‎‎2‎<0‎ B．命题“设a,b∈R，若a+b≠4‎，则a≠2‎或b≠2‎是一个假命题 C．“m＝1”是“函数f(x)=‎m‎2‎xm+2‎为幂函数”的充分不必要条件 D．向量a‎=(3,4),b=(0,1)‎，则a在b方向上的投影为5‎ ‎2．数列，…的一个通项公式为（ ）‎ A．an‎=‎-1‎n⋅‎‎2‎n‎+1‎‎2‎n B．‎an‎=‎-1‎n⋅‎‎2n+1‎‎2‎n C．an‎=‎-1‎n+1‎⋅‎‎2‎n‎+1‎‎2‎n D．‎an‎=‎-1‎n+1‎⋅‎‎2n+1‎‎2‎n ‎3．双曲线x‎2‎‎2‎‎-y‎2‎=-1‎的渐近线方程为（ ）‎ A． y=±2x B．y=±‎2‎x C．y=±‎1‎‎2‎x D．‎y=±‎2‎‎2‎x ‎4．等差数列‎{an}‎的前n项和为Sn，若a‎3‎‎+a‎11‎=4‎，则S‎13‎‎=‎（ ）‎ A．13 B．26 C．39 D．52‎ ‎5．已知线段PQ的中点为M(0, 4)‎，若点P在直线x+y-2=0‎上运动，则点Q的轨迹方程是( )‎ A．.x+y-6=0‎ B．x+y+6=0‎ C． x-y-2=0‎ D． ‎x-y+2=0‎ ‎6．下列结论正确的是（　　）‎ A．当x＞0且x≠1时， B．当x＞1时，‎ C．当x≥2时，有最小值2 D．当时，有最大值 ‎7．条件p：－21‎的最小值是 _____________．‎ ‎15．已知命题p:∀x∈R,x‎2‎+1>m；命题q:f(x)=‎‎(3-m)‎x是增函数.若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题，则实数m的取值范围为_______.‎ ‎16．已知数列an满足an‎=2an-1‎+1‎（n∈‎N‎*‎，n≥2‎），且a‎1‎‎=1‎，bn‎=an+1‎．‎ 则数列nbn的前n项和Tn为 ．‎ 三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）在锐角ΔABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且‎3‎a=2csinA.‎ ‎（1）确定角C的大小；‎ ‎（2）若c=‎‎7‎，且ΔABC的面积为‎3‎‎3‎‎2‎，求ΔABC的周长.‎ ‎18．（12分）已知正项数列‎{an}‎满足: ‎4Sn=an‎2‎+2an-3‎,其中Sn为数列‎{an}‎的前n项和.‎ ‎(1)求数列‎{an}‎的通项公式；‎ ‎(2)设bn‎=‎‎1‎an‎2‎‎-1‎,求数列‎{bn}‎的前n项和Tn.‎ ‎19．（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥‎底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，‎∠ABC=60°‎，PA=AB=BC，E是PC的中点．‎ ‎（1）求证：CD⊥AE；‎ ‎（2）求证：PD⊥‎面ABE；‎ ‎（3）求二面角E-AB-C的正切值．‎ ‎20．（12分）已知圆C:‎(x-1)‎‎2‎‎+‎(y-2)‎‎2‎=2‎,P点的坐标为(2,-1),过点P作圆C 的切线,切点分别为A,B.‎ ‎（1）求直线PA,PB的方程；‎ ‎（2）求过P点的圆的切线长.‎ ‎21．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线： ，直线 与抛物线交于A、B两点.‎ ‎（1）若直线OA，OB的斜率之积为，证明：直线过定点；‎ ‎（2）若线段AB的中点M在曲线： 上，求的最大值.‎ ‎22.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的离心率为‎5‎‎3‎，且椭圆C的短轴恰好是圆x‎2‎‎+y‎2‎=4‎的一条直径.‎ ‎(1)求椭圆C的方程 ‎(2)设A‎1‎‎,‎A‎2‎分别是椭圆C的左，右顶点，点P是椭圆C上不同于A‎1‎‎,‎A‎2‎的任意点，是否存在直线x=m，使直线A‎1‎P交直线x=m于点Q，且满足kPA‎2‎‎⋅kQA‎2‎=-1‎，若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由.‎ 湛江一中2018-2019学年度第一学期“第2次大考”‎ 高二级数学理科试卷参考答案 一． 选择题 题号 ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ 8‎ ‎ 9‎ ‎ 10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D D B A D B A A D B D 二． 填空题：‎ ‎13. ‎10(‎3‎+1)‎ 14.5 15．[1，2) 16．‎ ‎17．解：(1)‎∵‎3‎a=2csinA,由正弦定理得…………1分 又‎00‎，‎∴sinC=‎‎3‎‎2‎ …………3分 ‎ ‎ 又‎00‎，解得a‎1‎‎=3‎. …………1分 ‎ 当n≥2‎时，‎4Sn-4Sn-1‎=an‎2‎-an-1‎‎2‎+2an-2‎an-1‎，…………2分 即‎4an=an‎2‎-an-1‎‎2‎+2an-2‎an-1‎， ‎ 整理得‎(an+an-1‎)(an-an-1‎-2)=0‎，…………3分 ‎∵‎‎ an‎>0‎，‎∴an-an-1‎=2‎， …………4分 ‎ 所以数列‎{an}‎是首项为3，公差为2的等差数列，‎ 故an‎=3+(n-1)×2=2n+1‎. …………5分 即…………6分 ‎ ‎（2）由（1）知：…………8分 ‎ ‎∴Tn=b‎1‎+b‎2‎+⋯+‎bn‎ …………10分 ‎ ‎…………12分 ‎ ‎19．解：（1）证明：∵PA⊥‎底面ABCD，‎∴CD⊥PA…………1分 ‎ 又CD⊥AC，，故CD⊥‎面PAC…………2分 ‎ 面PAC，故CD⊥AE …………3分 ‎ ‎（2）证明：PA=AB=BC，‎∠ABC=60°‎，故 E是PC的中点，故AE⊥PC…………4分 ‎ 由（1）知CD⊥AE，，‎ 从而AE⊥‎面PCD，故AE⊥PD…………5分 ‎ 由三垂线定理得…………6分 ‎ ‎…………7分 ‎ ‎（3）过点E作EF⊥AC，垂足为F．过点F作FG⊥AB，垂足为G．连结EG…………8分 ‎ ‎∵PA⊥AC, ∴PA//EF ∴EF⊥底面ABCD且F是AC中点 ‎∴故是二面角E-AB-C的一个平面角．…………9分 ‎ 设，则，‎ 从而，…………10分 ‎ ．…………12分 ‎ ‎ 20．解:(1)由已知得过点P的圆的切线的斜率存在,设为k,…………1分 ‎ 设切线方程为y+1=k(x-2)‎,即kx-y-2k-1=0‎.…………2分 ‎ 则圆心C(1,2)‎到直线的距离为‎2‎,‎ 即‎-k-3‎‎1+‎k‎2‎‎=‎‎2‎,…………3分 ‎ ‎∴,∴k=7‎或k=-1‎.…………4分 ‎ ‎∴所求圆的切线方程为y+1=7(x-2)‎或y+1=-(x-2)‎,‎ 即‎7x-y-15=0‎或x+y-1=0‎.…………6分 ‎ ‎(2).,在Rt△PCA中,…………7分 ‎ ‎∵PC‎=‎2-1‎‎2‎‎+‎‎-1-2‎‎2‎=‎‎10‎,CA‎=‎‎2‎,…………9分 ‎ ‎∴‎PA‎|‎‎2‎=‎PC‎|‎‎2‎-|CA‎|‎‎2‎=8‎ ‎∴PA‎=2‎‎2‎（舍负）,…………11分 ‎ ‎∴过点P的圆C的切线长为‎2‎‎2‎.…………12分 ‎ ‎21．解：设， ，‎ 由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，…………1分 ‎ ‎（1）由，得： ，…………2分 ‎ ‎， ， ，…………3分 ‎ ‎ ，‎ 由已知： ，所以，…………4分 ‎ 此时,符合题意。‎ ‎∴直线的方程为，所以直线过定点.…………5分 ‎ ‎（2）设，则， ，…………6分 ‎ 将代入： 得：‎ ‎，∴.…………7分 ‎ ‎∵，∴，∴，‎ 又∵ ，∴，‎ 故的取值范围是： .…………8分 ‎ ‎ ，将代入得：‎ ‎ ，…………10分 ‎ 当且仅当，即时取等号，…………11分 ‎ 所以的最大值为.…………12分 ‎ ‎22．解：(1)由题可知, b=2‎.…………1分 ‎ 联立b=2‎ca‎=‎‎5‎‎3‎‎⇒‎ a‎2‎‎-c‎2‎=4,‎c‎2‎a‎2‎‎=‎‎5‎‎9‎‎⇒‎ a‎2‎‎=9,c‎2‎=5‎，…………3分 ‎ 故椭圆C的方程为x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎.…………4分 ‎ ‎(2)由题意知, A‎1‎‎(-3,0),A‎2‎(3,0)‎,设Px‎0‎‎,‎y‎0‎，‎ 则直线A‎1‎P的方程为y=y‎0‎x‎0‎‎+3‎(x+3)‎.…………5分 ‎ 设存在直线x=m满足条件,‎ 则当x=m时，y=y‎0‎x‎0‎‎+3‎(m+3)‎，‎ 所以Q(m,y‎0‎x‎0‎‎+3‎(m+3))‎.…………6分 ‎ 又点Px‎0‎‎,‎y‎0‎在椭圆C上,‎ 所以y‎0‎‎2‎‎=4(1-x‎0‎‎2‎‎9‎)‎，‎ 所以A‎2‎P‎=(x‎0‎-3,y‎0‎)‎，‎ A‎2‎Q‎=‎‎ ‎(m-3,y‎0‎x‎0‎‎+3‎(m+3))‎，…………7分 ‎ A‎2‎P‎⋅A‎2‎Q=(x‎0‎-3,y‎0‎)‎‎ ‎‎⋅(m-3,y‎0‎x‎0‎‎+3‎(m+3))‎ ‎=(x‎0‎-3)(m-3)+‎‎ ‎y‎0‎x‎0‎‎+3‎‎(m+3)‎ ‎=(x‎0‎-3)(m-3)+‎‎ ‎‎4(3-x‎0‎)(3+x‎0‎)‎‎9(x‎0‎+3)‎‎(m+3)‎ ‎=(x‎0‎-3)(m-3)+‎4(x‎0‎-3)‎‎9‎(m+3)‎ ‎=(x‎0‎-3)(‎5‎‎9‎m-‎13‎‎3‎)‎‎.…………10分 ‎ 因为kPA‎2‎‎⋅kQA‎2‎=-1‎，‎ 所以A‎2‎P‎⋅A‎2‎Q=0‎，‎ 即‎(x‎0‎-3)(‎5‎‎9‎m-‎13‎‎3‎)=0‎，…………11分 ‎ 又由题可知x‎0‎‎≠3‎，‎ 所以‎5‎‎9‎m-‎13‎‎3‎=0⇒m=‎‎39‎‎5‎，‎ 所以存在m=‎‎39‎‎5‎满足条件.…………12分 ‎