湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期月考试卷（一）理科数学试题答案 6页

书书书 理科数学参考答案!雅礼版"!"!!!! 雅礼中学#$#$届高三月考试卷!一" 数学!理科"参考答案 一#选择题 题!号 " # % & ' ( ) * + "$ "" "# 答!案 , - . . / , . / / - - - "!, #!- %!.!$解析%由!"##"#0 "##"$"! "##$#1$"##$#$#&得!"##"#0 "##"$"!!"##"#! "##"$"1$"##$#$#& 即$"##"#$#!$"##"$$#1$"##$#$#%$"##"#$#1$"##"$$#0$"##$#$#&2$1+$3! 故&$"#一定是直角三角形&故选.! &!.!$解析%设"0 " "0 " "0" 1%&则"0" %1%&即%#!%!"1$&解得%1 槡"0 ' # !%1 槡"! ' #! "舍 故"0 " "0 " "0" 1 槡"0 ' # &故选.! '!/!$解析%!.% (!.& (1!%'!选 /! (!,!$解析%两点在平面异侧时!不成立'"正确'可过两条异面直线各作一个平面&使它们平行&当点在这两 个平面中的某一个时&#不成立!故选,! )!.!$解析%由&1$&'1$满足条件&则'1#&&1 " #&满足条件''1&&&1 " # 0 " & 1 % &&满足条件''1(&&1 % &0" (1"" "#&满足条件''1*&&1"" "#0" *1#' #&&不满足条件&输出'1*&所以应填(&'"" "#)*&故选.! *!/!$解析%因为(%$) " #&+ ,# &使得#%# $!!%$0"*$成立是假命题&所以+%) " #&+ ,# &#%#!!%0",$恒 成立是真命题&即+%) " #&+ ,# &!'#%0" % 恒成立是真命题&令(!%"1#%0" %&则()!%"1#!" %# &当%) " #&槡#+ "# 时&()!%"*$&当%) 槡# #&! ,# 时&()!%"-$&所以(!%",( 槡#! "# 槡1# #&则!' 槡# #&故选 /! +!/!$解析%设轴截面的中心角为#"&由条件可知- $ &'"*$ #&456"1* + 1* #,槡# #%*,槡#! #1#$* + , 槡# #$ # 槡1 #$%槡#$'#*#$&选 /! 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"%!%!-1$ "&!$ (!$解析%过 3 作准线的垂线&垂足是0&则有03134&2031槡% #53&.3541.530! 又894.5301槡% #&2.5301$ (&即.3541$ (! "'!($ '!$解析%由函数(!%"1#456 $%!$! "( 0"!%)!"的图象的一条对称轴为%1$&可得$$!$ (1'$0$ #& ')"&2$1'0# %&又$)!"&#"&2$1' %&2得函数(!%"的最小正周期为#$ ' % 1($ '! "(!!"#% $解析%令(!%"1!%!,"!%!6"!%!1"&则(!%"1%%!(%#0+%!,61!()!%"1%!%!""!%!%"&(极小值 1 (!%"1!,611(!$"& (!%"极大值 1(!""1&!,611(!&"&结合-1(!%"的图象&可知序号为!&"&#的命题是真命题! 由条件可知6011(!,&611+!,!(!,"1!,!%"#&因此- !6!'"!1!'"161!'!601"0#'1!,!%"#!'!(!,"0#'1,#!,0&1 ,!! "" # # 0"' &,"' &! 故序号是%的命题也是真命题! 三#解答题 ")!$解析%!"",/1! "" # /!" 1 " #/!"&7/1 "!! "" # / "!" # 1#! " #/!"& !&分"!!!!!!!!!!!!!!!!! 7/&+ *&,/!"成等差数列%#! " #/!"0 # #/!"1+ &&故/1%! !(分"!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#"证明-#,'0" 7'7'0" 1#!7'0"!7'" 7'7'0" 1# 7' ! # 7'0" !'1"&#&%&""& !+分"!!!!!!!!!!!!!!!! 7/0"1#/0"!" #/ & 故#,# 7"7# 0#,% 7#7% 0"0#,/0" 7/7/0" 1# 7" ! # 7/0" 1#! #/0" #/0"!"1"! " #/0"!"*"! " #/0"! !"#分"!!!!!!! 法#-数学归纳法 理科数学参考答案!雅礼版"!%!!!! "*!$解析%解法一-!""连接8""&"#"& :9&4 分别是8"8&"8 的中点& 294/8""&且941" #8""! 又:8"#"0平面"#"& 28"" 在平面"#" 上的射影为"#"! :"#"0""#&由三垂线定理知""#08""! 2940""#! !(分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#"取8#的中点5&连接45&则4508#! 过 5 做5309:于3 点&连接43! 由三垂线定理可证4309:! 2.534 的邻补角为二面角4#9:##" 的平面角! !+分"!!!!!!!!! 设正方体的棱长为&&则451#& 在 ;<&98:中&&98:1&53:& 25315:!98 9: 1"=# 槡"% 1 槡# "% "% ! 在 ;<&453 中&.4531+$3& 2<>6.534145 53 槡1 "%&894.5341 槡"& "& ! 2二面角4#9:##" 的大小的余弦为! 槡"& "& ! !"#分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 解法二-如图建立空间直角坐标系;#%-<& 设正方体的棱长为&&则9!$&$&#"&4!#&#&$"& #!$&&&$"&"!&&&&$"&#"!$&&&&"&""!&&&&&"&:!$&%&$" !#分"!!!!!!!! !"""##941!#&#&!#"&"""## #1!!&&$&!&"& 2 "##94!"""## #1#=!!&"0#=$0!!#"=!!&"1$! 2 "##940"""## #!2940""#! !(分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#"平面8"8##" 的法向量为 "##"#1!!&&$&$"& 设平面94:的法向量为!1!% &- &<"& 2 !! "##941$& !! "##4:1$. ! 即 %0-!<1$& !#%0-1$. ! 令%1"&则-1#&<1%! 可取!1!"&#&%"! !+分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2894/!&"##"#01 !! "##"# ! ! "##"# 1 !& 槡 槡"&= "( 1! 槡"& "& ! 2二面角4#9:##" 的大小余弦为! 槡"& "& ! !"#分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! "+!$解析%!""设随机抽取的#人中&去年的消费金额超过&$$$元的消费者有= 人& 则= 的可能值为($&"&#*& !"分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 20!=,""1+0!=1""00!=1#",1." *." & .# "# 0.# & .# "# 1"( %%0% %%1"+ %%! !%分"!!!!!!!!!!!!! 或者0!=,""1"!0!=1$"1"!.# * .# "# 1"+ %%! !%分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#"方案"-按分层抽样从普通会员&银卡会员&金卡会员中总共抽取#'位(幸运之星*&则(幸运之星*中的普 通会员&银卡会员&金卡会员的人数分别为- #* "$$=#'1)&($ "$$=#'1"'&"# "$$=#'1%& !&分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 理科数学参考答案!雅礼版"!&!!!! 2按照方案"奖励的总金额为- %"1)='$$0"'=($$0%=*$$1"&+$$元! !'分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 方案#-设&表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金& 则&的可能值为($&#$$&%$$*& !(分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 每次摸球摸到红球的概率-01." # ." ' 1# '& 20!&1$"1.$ %! "# ' $! "% ' % 0." %! "# ' "! "% ' # 1*" "#'& 0!&1#$$"1.# %! "# ' #! "% ' " 1%( "#'& 01!&1%$$"1.% %! "# ' % 1 * "#'& !*分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2&的分布列为 & $ #$$ %$$ 0 *" "#' %( "#' * "#' 29&1$=*" "#'0#$$=%( "#'0%$$= * "#'1)(!*元& !"$分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2按照方案#奖励的总金额为- %#1!#*0#=($0%="#"=)(!*1"&"%"!#元& !""分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2方案"奖励的总金额%" 多于方案#奖励的总金额%#& 2预计方案#投资较少! !"#分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! #$!$解析%!""7&$04 7&$>4 1$40$ $4>$1' %&作>30%轴于3& 则$>3$1% '6&$43$1% '1& 因此> 的坐标为 * '1&!% '! "6 & !#分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 把> 代入椭圆#&有(&1# #',#0+ #'1"&故,1#1&6 槡1 %1! &$04 的面积为 槡% % # %!,01"6 槡1% %%%1!槡%1 槡1% %%11"&故,1#&6 槡1 %! 所以椭圆#的方程为%# &0-# %1"! !'分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#"设0!%"&-""&>!%#&-#"&5!.&$"! 当+不与% 轴垂直时&可设+--1'!%!""&代入%# &0-# %1"有- !%0&'#"%#!*'#%0&!'#!%"1$&故 %"0%#1 *'# %0&'#&%"%#1&!'#!%" %0&'# ! !)分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! "##50! "##5>1!%"!.&-""!!%#!.&-#"1!%"!."!%#!."0'#!%"!""!%#!"" 1!'#0""%"%#!!'#0."!%"0%#"0'#0.# 1&!'#0""!'#!%" %0&'# !*!'#0."'# %0&'# 0'#0.# 1.#!"#0!'0*."'# %0&'# ! !+分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! "##50! "##5>为定值%'0*. "# 1& %%.1"" *&此时 "##50! "##5>1!"%' (&! !""分"!!!!!!!!!!!!!! 理科数学参考答案!雅礼版"!'!!!! 当+0%轴时&可设0 "&! "% # &> "&!! "% # &此时 "##50! "##5>1% *=% *!% #=% #1!"%' (&! 故%轴上存在一定点5 "" *&! "$ &当+变化时&"##50! "##5>为定值!"%' (&! !"#分"!!!!!!!!!!!! #"!$解析%!""证明-()!%"1! ?6 %0"! ", %# 0 " %0, %0" , 1 ,%!?6 %0"! ", %# ! !#分"!!!!!!!!!!!!! 令?!%"1,%!?6 %0"! ", !%-$"&则?)!%"1,! , ,%0"1 ,#% ,%0"-$& 因此函数?!%"为增函数& !&分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ?!%"-?!$"1?6,,$& 故()!%"1?!%" %# -$&因此函数(!%"是增函数! !'分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#"取%1"&可知'-$! (!%"'' %0"! ", 2?6 %0"! ", ''% , 2'% , !?6 %0"! ", ,$! !(分"!!!!!!!!!!!!!!!! 令?!%"1'% , !?6 %0"! ", !%-$"& ?)!%"1' , ! , ,%0"1,'%!,#0' ,!,%0""!由于?)!%$"1$2%$1,#!' ,' & !)分"!!!!!!!!!!!!!! !"3"当$*'*,# 时& %) $&%! "$ 时&?)!%"*$&?!%"在区间!$&%$"上为减函数& %) %$&0@! 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