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- 2021-06-10 发布
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【热身训练】
1．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则AC的取值范围是__________．
解析：由正弦定理得AC＝sin B＝2cos A，又因为锐角△ABC，可得即0；当C∈(θ，π)时，S′<0，所以，当cos C＝时，△ABC的面积最大，最大值为6.
(方法二)以AB直线所在直线为x轴，AB中垂线所在直线为y轴，建立直角坐标系，设A(－2a,0)，B(2a,0)，C(0,2b)，则中点D(a，b)，根据条件AD＝3，即9a2＋b2＝9，三角形ABC的面积为S＝×4a×2b＝4ab，由基本不等式得9＝9a2＋b2≥2＝6ab，即ab≤，当且仅当3a＝b时，即a＝，b＝取得等号，三角形ABC面积的最大值为6.
（三）与不等式相结合的三角问题
例3. 若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，求cos C的最小值．
解析：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由正弦定理得a＋b＝2c，所以cos C＝＝＝≥＝，当且仅当a2＝b2时，即＝时等号成立，所以cos C的最小值为.
变式1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asin Asin B＋bcos2A＝2a，则角A的取值范围是__________．
变式2 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos B＝2a＋b，若△ABC的面积S＝c，求ab的最小值．
解析：因为2ccos B＝2a＋b，由正弦定理可得：2sin Ccos B＝2sin A＋sin B，可得2sin Ccos B＝2sin(B＋C)＋sin B，即2sin Bcos C＝－sin B，因为在△ABC中，sin B≠0，可得cos C＝－，在△ABC中可得C＝，所以S△ABC＝absin C＝ab＝c，可得c＝3ab，所以cos C＝－＝＝≥，即ab(3ab－1)≥0，可得ab≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，即ab的最小值是.
【乘热打铁】
1．如图，在△ABC中，满足AB＝2，AC⊥BC，△ACD和△BCE为等边三角形，则线段DE的最大值为__________．
解析：设∠BAC＝α，则AC＝2cos α，BC＝2sin α.
所以在△CDE中，∠DCE＝，CD＝2cos α，CE＝2sin α.
由余弦定理可得DE2＝CD2＋CE2－2CD·CEcos∠DCE，
即DE2＝4＋4sin 2α≤4＋4，当且仅当α＝时等号成立，
所以线段DE的最大值为.
2．在△ABC中，B＝，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝__________.
解析：在△ABD中，由正弦定理可得＝，即＝，可得sin∠ADB＝，又因为∠ADB∈(0，)，可得∠ADB＝，所以∠BAD＝，可得∠BAC＝，所以在△ABC中，C＝，由正弦定理可得＝，即＝，所以AC＝.
3．已知在△ABC中，AB＋AC＝6，BC＝4，D为BC的中点，当AD最小时，△ABC的面积为__________．
解析：设角A，B，C的对边为a，b，c，则根据题意可得c＋b＝6，a＝4，根据余弦定理可得b2＝AD2＋22－4ADcos∠ADC，因为∠ADB＝π－∠ADC，所以可得b2＋(6－b)2＝2AD2＋8，即AD2＝＝，当b＝2时，AD最小值为，根据余弦定理可求得cos∠ACB＝，所以sin∠ACB＝，则△ABC的面积S＝×4×2×＝.
4．(2017·全国第三次大联考)已知平面四边形ABCD为凸四边形，且AB＝2，BC＝4，CD＝5，DA＝3，则平面四边形ABCD面积的最大值为__________．
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