2018-2019学年辽宁省鞍山市高一下学期期中考试数学试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年辽宁省鞍山市高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求解出集合，根据交集定义求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.‎ ‎2．若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据和的符号确定；利用同角三角函数的平方关系求出结果.‎ ‎【详解】‎ 且 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数值的求解问题，关键是需要确定三角函数的符号.‎ ‎3．已知命题，，则是（ ）‎ A．， B．，.‎ C．， D．，.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果.‎ ‎【详解】‎ 根据全称命题的否定为特称命题，可得，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.‎ ‎4．一个正方体的表面积等于，则该正方体的内切球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据正方体表面积求出棱长，从而得到内切球半径，代入球的体积公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 设正方体棱长为，则 ‎ 正方体内切球半径为棱长的一半，即 体积 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球的表面积公式和体积公式的应用，关键是明确正方体内切球半径为正方体棱长的一半.‎ ‎5．已知非零向量，，，那么“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别判断是否成立，从而得到结论.‎ ‎【详解】‎ 由得： ‎ 可知“”是“”的充分条件；‎ 当时，时， 不一定相等 可知“”是“”的不必要条件 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分条件、必要条件的判定，属于基础题.‎ ‎6．已知向量，向量，且，则实数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】用坐标表示出，利用向量平行的充要条件构造方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的坐标运算、向量平行的充要条件的应用，属于基础题.‎ ‎7．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先根据横坐标伸缩变换原则将变为原来的；再根据左右平移的方法得到结果.‎ ‎【详解】‎ 横坐标伸长倍变为：‎ 向右平移个单位变为：‎ 即所得函数解析式为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的伸缩变换和平移变换，关键是明确横坐标的伸缩变换和左右平移变换都作用于本身，属于基础题.‎ ‎8．函数（，）在上是减函数，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据复合函数单调性可判断出；根据定义域得到时，，从而得到，进而求得的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎ 在上单调递减 由复合函数单调性可知：在上单调递增 ‎ 由定义域可知：当时， ‎ 综上所述：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用对数型复合函数的定义域和单调性求解参数范围问题，易错点是容易忽略定义域的要求，需要注意的是求解时，临界值能否取得的问题.‎ ‎9．当时，不等式有解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将问题转变为，利用基本不等式求解出，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 不等式有解，即 ‎ ‎ 当且仅当，即时取等号 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够将问题转变为与的最小值之间的比较，并通过配凑的方式得到符合基本不等式的形式.‎ ‎10．已知函数的图象如图所示，则函数的图象为　　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数的图象，可得a，b的范围，结合指数函数的性质，即可得函数的图象.‎ ‎【详解】‎ 解：通过函数的图象可知：，当时，可得，即．函数是递增函数；排除C，D．当时，可得，，，．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题.‎ ‎11．已知平面向量，满足，，且，为的外心，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据向量垂直和模长关系可知为等腰直角三角形，从而得为中点，将利用线性运算和数量积运算化为，求出模长和夹角即可代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，又 为等腰直角三角形 为的外心 为中点 且 ‎ ‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积运算问题，关键是能够通过线性运算将问题转化成与相关的问题的求解.‎ ‎12．定义在R上的函数满足，当时，，则函数在上的零点个数是（ ）‎ A．504 B．505 C．1008 D．1009‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由得，所以，即是以8为周期的周期函数，当时，有两个零点2和4，当时，无零点，，因此在上函数有个零点，又，因此有上，有个零点．故选B．‎ ‎【考点】周期函数，函数的零点．‎ ‎【名师点睛】函数的周期性在解函数问题时有许多应用．如本题求在区间上的零点个数，如求值等涉及的区间较大，求函数值的个数较多等时，一般要考虑函数有没有周期性，如是周期函数，只要研究函数在一个周期内的情形就可得出结论．在解题时要注意所求区间的端点是否满足题意，否则易出错．‎ 二、填空题 ‎13．________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】根据对数运算法则化简求值即可.‎ ‎【详解】‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数运算的性质，属于基础题.‎ ‎14．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲不输的概率是，则甲赢的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据互斥事件的概率的运算，求解即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 记事件为两人下成和棋，则 事件为甲赢棋，则 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查互斥事件的概率运算问题，属于基础题.‎ ‎15．设，，表示不同的直线，，，表示不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若，且.则；‎ ‎②若，且.则；‎ ‎③若，，，则；‎ ‎④若，，且，则.‎ 其中正确命题的序号是________.‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】在正方体中可找到②③的反例，可知②③错误；根据线面垂直的判定定理可证得①正确；根据线面平行的性质定理可证得④正确.‎ ‎【详解】‎ ‎①，则内必有两条相交直线垂直于；又，则两条相交直线必垂直于，则 ‎，可知①正确；‎ ‎②在上图所示的正方体中，平面，，此时平面，可知②错误；‎ ‎③在上图所示的正方体中，平面平面，平面平面，平面平面，此时相交，可知③错误；‎ ‎④，，，则 又， ‎ 又， ，可知④正确.‎ 本题正确结果：①④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中直线、平面之间的位置关系，考查学生对平行和垂直定理的掌握，属于基础题.‎ ‎16．已如函数（其中），若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据奇偶性的定义判断出为奇函数；再利用单调性的性质结合奇函数的性质可知在上单调递增；利用奇偶性和单调性将问题转化为对任意恒成立，通过分离变量可知，求解最小值可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，‎ ‎，即 为上的奇函数 当时，单调递增，则单调递增，又单调递增 在上单调递增 由奇函数对称性可知，在上单调递增 可化为 即对任意恒成立 即对任意恒成立 当时， ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性、单调性的判断和综合应用，关键是能够利用函数性质将问题转化为自变量之间的关系，从而利用分离变量法解决恒成立问题.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数 的最小正周期为，且其图象关于直线对称.‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）,；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据周期求得；利用对称轴求得，，根据的范围得到结果；（2）将代入解析式可求得；利用诱导公式可得，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎， ，‎ 又 ‎ ‎（2）由（1）知： ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用周期和对称轴求解三角函数解析式、诱导公式化简求值问题，属于基础题.‎ ‎18．已知向量与向量的夹角为45°，其中，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】（1）利用，根据数量积的运算法则代入求解得到结果；（2）根据数量积符号与夹角的关系可得 ‎，利用数量积运算法则整理为：；且与不能同向共线，即，；解不等式得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎（2）与的夹角是锐角 ‎，且与不能同向共线 且， ‎ 或 ‎【点睛】‎ 本题考查向量模长的求解、向量数量积与夹角之间的关系，易错点是夹角为锐角时得到数量积大于零，但忽略了两向量同向共线的情况.‎ ‎19．如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）若，，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.‎ ‎【解析】（1）通过中位线证得，根据线面平行的判定定理证得结论；（2）由线面垂直性质得，再根据正方形得，根据线面垂直的判定定理证得结论；（3）利用体积桥可知，根据公式求解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接 为正方形，则为中点 在中，分别为中点 ∥‎ 又平面，平面 平面 ‎（2）平面，平面 ‎ 又为正方形 ‎ 又平面，平面，‎ 平面 ‎（3）由题意知：，又 ‎ 点到面的距离为 ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行关系、线面垂直关系的证明，三棱锥体积的求解，考查学生对于直线与平面位置关系涉及到的定理的掌握情况.求解三棱锥体积时，常采用体积桥的方式进行转化.‎ ‎20．已知某中学共有高一学生800人.在一次数学与地理的水平测试则试后，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样分析，先将800人按001，002，…，800进行编号.‎ ‎（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；‎ ‎（下面摘取了随机数表的第7行到第9行）‎ ‎84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76‎ ‎63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79‎ ‎33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54‎ ‎（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：‎ 人数 数学 优秀 良好 及格 地理 优秀 ‎7‎ ‎20‎ ‎5‎ 良好 ‎9‎ ‎18‎ ‎6‎ 及格 ‎4‎ 成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的人数共有.‎ ‎①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求，的值：‎ ‎②在地理成绩及格的学生中，已知，，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率.‎ ‎【答案】（1）785，667,199；（2）①，；②.‎ ‎【解析】（1）根据随机数表法抽取原则即可得到结果；（2）①数学优秀的频数可算出，列方程求出，再根据总人数为解出；②列出所有的基本事件，在其中找到符合题意的基本事件个数，利用古典概型求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）第行第列开始，每三个数字为一组，去除超过的编号，可得取出的三个编号为：，，‎ ‎（2）①数学成绩优秀率为 数学优秀的人为人 ‎，解得：‎ 又，解得：‎ ‎②设事件为“在地理成绩及格的学生中，数学成绩优秀的人数比及格的人数少”‎ 共个基本事件 事件包含，共个基本事件 ‎【点睛】‎ 本题考查简单随机抽样中的随机数表法、频数的求解、古典概型问题，属于基础题.‎ ‎21．已知向量，向量.‎ ‎（1）求向量在向量方向上正射影的数量：‎ ‎（2）设函数，‎ ‎①求的单调递增区间；‎ ‎②若关于的方程在上有两个不同解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）①单调递增区间为②.‎ ‎【解析】（1）利用正射影的数量公式直接求解即可；（2）将整理为；①将放入的单调递减区间中，可求得的范围，在中截取符合范围的即可；②根据单调性可求得函数的最值和区间端点值，从而找到符合题意的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：‎ ‎（2）‎ ‎①由，得，，‎ 当时，得，又因为 故的单调递增区间为 ‎②当时，的最小值为，‎ 由①知在上为减函数，在上为增函数，且，‎ 故当，即时，方程在上有两个不同解，‎ 即所求实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查向量射影数量的求解、正弦型函数单调区间的求解、根据方程解得数量求解参数范围问题.解决解的问题的常用方法是通过数形结合，即根据函数的单调性、最值、区间端点值找到符合题意的范围.‎ ‎22．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数 .‎ ‎（1）当，时，求函数的不动点；‎ ‎（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，，且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）－1、4为的不动点；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）根据不动点定义得到方程，解方程求得结果；（2）将问题转化为恒有两个不等实根，利用判别式得到满足的不等式，将其看做关于的二次函数，可知当时，函数取最小值，从而得到关于的不等式，求解得到结果；（3）利用已知得到，根据对号函数的性质求得最值即可得到所求范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知：‎ 设为不动点，因此 解得：或 所以、为的不动点.‎ ‎（2）因为恒有两个不动点 即恒有两个不等实根 整理为： 恒成立 即对于任意，恒成立 令，则 ‎，解得：‎ ‎（3）‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数问题中新定义问题，关键是能够充分理解不动点的定义，从而构造方程.在求解参数范围过程中，要根据不同的函数模型，利用二次函数、对号函数求解对应模型的最值，对于学生转化与化归的思想要求较高.‎