高考数学 17-18版 附加题部分 第6章 第72课 课时分层训练16 4页

课时分层训练(十六)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．(2017·镇江模拟)在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ的圆心到直线2ρsin＝1的距离. 【导学号：62172376】‎ ‎[解]　将圆ρ＝2cos θ化为普通方程为x2＋y2－2x＝0，‎ 圆心为(1,0)，‎ 又2ρsin＝1，即2ρ＝1，‎ 所以直线的普通方程为x＋y－1＝0，‎ 故所求的圆心到直线的距离d＝.‎ ‎2．(2017·南通调研一)在极坐标系中，已知点A，圆C的方程为ρ＝4sin θ(圆心为点C)，求直线AC的极坐标方程．‎ ‎[解]　以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.‎ 圆C的平面直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝8，圆心C(0,2)．‎ A的直角坐标为(，)．‎ 直线AC的斜率kAC＝＝－1‎ 所以，直线AC的直角坐标方程为y＝－x＋2，极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝2，即ρsin(θ＋)＝2.‎ ‎3．(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．‎ ‎(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程. ‎ ‎【导学号：62172377】‎ ‎[解]　(1)将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入x2＋y2－2x＝0，得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ.‎ ‎(2)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于x轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2.‎ ‎4．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ ‎[解]　在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．如图所示，因为圆C经过点P，所以圆C的半径 PC＝＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ ‎[解]　(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，‎ 即x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由得 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎2．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin＝1，圆C 的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)求直线l被圆C所截得的弦长．‎ ‎[解]　(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，‎ OA＝ODcos或OA＝ODcos，‎ ‎∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.‎ ‎(2)由ρsin＝1，得ρ(sin θ＋cos θ)＝1，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x＋y－＝0，‎ 又圆心C的直角坐标为，满足直线l的方程，‎ ‎∴直线l过圆C的圆心，‎ 故直线被圆所截得的弦长为直径2.‎ ‎3．在极坐标系中，P是曲线C1：ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线C2：ρ＝12cos上的动点，求PQ的最大值．‎ ‎[解]　对曲线C1的极坐标方程进行转化：‎ ‎∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x2＋y2－12y＝0，‎ 即x2＋(y－6)2＝36.‎ 对曲线C2的极坐标方程进行转化：‎ ‎∵ρ＝12cos，‎ ‎∴ρ2＝12ρ ‎∴x2＋y2－6x－6y＝0，‎ ‎∴(x－3)2＋(y－3)2＝36，‎ ‎∴PQmax＝6＋6＋＋32＝18.‎ ‎4．在直角坐标系xOy中，以O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ ‎[解]　(1)由ρcos＝1 ‎ 得ρ＝1.‎ 从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2.‎ 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．‎ 当θ＝时，ρ＝，‎ 所以N.‎ ‎(2)M点的直角坐标为(2,0)．‎ N点的直角坐标为.‎ 所以P点的直角坐标为.‎ 则P点的极坐标为 所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎