数学理卷·2018届四川省新津中学高三下学期入学考试（2018 9页

新津中学高2015级高三下学期入学考试 数学(理科)‎ 命题人：邹志勇 一、选择题：每小题5分，共12小题 ‎1.已知复数，则下列说法正确的是（ ）‎ A．的虚部为 B. 的共轭复数为 C． D. 在复平面内对应的点在第二象限 ‎2.集合,则（ ）‎ A. B. ‎ 正视图 侧视图 C. D. ‎ ‎3. 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长 都是，该几何体的体积为 ( )‎ 俯视图 A． B. ‎ C. D. ‎ 否 开始 结束 输出 是 ‎4.函数的单调递减区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5．执行如图程序框图其输出结果是 （ ）‎ A． B．　　　　　 ‎ C．　　　　　　 D．‎ ‎6.变量满足条件，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．高一学习雷锋志愿小组共有人，其中一班、二班、三班、四班各人，现在从中任选 人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选人，不同的选取法的种数为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.下列命题中正确命题的个数是（ ）‎ ‎（1）是的充分必要条件 ‎（2）则最小正周期是 ‎（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后， 则样本的方差不变 ‎（4）设随机变量服从正态分布,若，则 A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎9.设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.若抛物线的焦点为，其准线经过双曲线的左焦点，点为这两条曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎11.在平行四边形中，, ,若将其沿折成直二面角,则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎12.已知函数，在区间上任取三个数均存在以，，为边长的三角形，则的取值范围是（ ）‎ A． B. C. D. ‎ 二、填空题：每小题5分，共20分 ‎13.在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于 ‎ ‎14. 为等腰直角三角形，,为斜边的高，点在射线上，则的最小值为 ‎ ‎15.椭圆的左焦点为，分别为其三个顶点. 直线与交于点，若椭圆的离心率，则= ‎ ‎16. 在中，内角的对边分别为，且，则的面积最大值为 ‎ 三、解答题：共70分 ‎17.已知数列的前项和为，且满足.‎ ‎ (1)求数列的通项公式;‎ ‎ (2)若,,且数列的前项和为,求的取值范围.‎ ‎18.为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试,统计数据如下表所示：‎ 优秀 非优秀 总计 男生 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 女生 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ ‎（Ⅰ）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；‎ ‎（Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量表示这3人中通过预选赛的人数，求的分布列与数学期望.‎ ‎ 附:＝‎ ‎0.500‎ ‎0.400‎ ‎0.100‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎2.706‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19.为等腰直角三角形，，，、分别是边和的中点，现将沿 折起，使面面，、分别是边和的中点，平面与、分别交于、两点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎20.已知椭圆的左，右顶点分别为，圆上有一动点,点在轴的上方，，直线交椭圆于点，连接.‎ ‎(1)若,求△的面积;‎ ‎(2)设直线的斜率存在且分别为,若,‎ 求的取值范围.‎ ‎21.设函数 ‎ (1)当时，求函数的最大值；‎ ‎(2)令，（）‎ 其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(3)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．‎ 选作题：考生在题（22）（23）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，若以该直角 坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为:‎ ‎（其中为常数）.‎ ‎（Ⅰ）若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，求曲线上的点与曲线上点的最小距离．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知实数满足，且.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）证明：.‎ 新津中学高三下期3月入学考试题参考答案（理科）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B A A B B D B C A C C D ‎13.-270 14. 15. 16. ‎ ‎17.(1)当时,,解得 当时,……① ……② ②-①得 即 ‎ 数列是以2为首项,2为公比的等比数列 (2) = ‎ ‎18. (I) ‎ 有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关.‎ ‎ (II)的可能取值为0,1,2,3 ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19. (Ⅰ)因为、分别是边和的中点，所以，因为平面，平面，所以平面因为平面，平面，平面平 面所以又因为，所以. ‎ ‎(Ⅱ) 如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，‎ ‎，，，，，，‎ ‎，，，，‎ 设平面的一个法向量为，则，，令，解得，，则设平面的一个法向量为，则 ‎，，令，解得，则 ‎，所以二面角的余弦值为 ‎ ‎20.（1）依题意，.设，则.由得, ,, 解得 ‎, . ‎ ‎(2)设, 动点在圆上, .‎ 又, , 即=‎ ‎===.又由题意可知,且,‎ 则问题可转化为求函数的值域.‎ 由导数可知函数在其定义域内为减函数, ‎ 函数的值域为 从而的取值范围为 ‎ ‎21解: （1）依题意，知的定义域为（0，+∞），‎ 当时，，令=0，解得．（∵），当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减。‎ 所以的极大值为，此即为最大值 (2），，则有≤，在上恒成立，所以≥， ‎ 当时，取得最大值，所以≥‎ ‎ (3)因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，‎ 设，则．令，． ‎ 因为，，所以（舍去），，‎ 当时，，在（0，）上单调递减，‎ 当时，，在（，+∞）单调递增 当时，=0，取最小值．因为有唯一解，所以 则既所以，因为，所以（*）设函数，因为当时，‎ 是增函数，所以至多有一解．‎ 因为，所以方程（*）的解为，即，解得 ‎ ‎22. （Ⅰ）由已知；‎ 联立方程有一个解，可得或 ‎（Ⅱ）当时，直线N: ，设M上点为，，则，当时取等号，满足，所以所求的最小距离为 ‎23.(1) ，相乘得证 ‎（2） ，， 相加得证