2018-2019学年北京101中学高一上学期期中考试数学试题（解析版） 12页

‎2018-2019学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）‎ ‎1.设集合M={x|x＜1}，N={x|0＜x≤1}，则M∪N=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对集合M和N取并集即可得到答案.‎ ‎【详解】∵M={x|x＜1}，N={x|0＜x≤1}； ‎ ‎∴M∪N={x|x≤1}． ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查集合的并集运算.‎ ‎2.下列函数中，在（-1，+∞）上为减函数的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，依次分析选项中函数的单调性，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，依次分析选项： ‎ 对于A，y=3x，为指数函数，在R上为增函数，不符合题意； ‎ 对于B，y=x2-2x+3=（x-1）2+2，在（1，+∞）上为增函数，不符合题意； ‎ 对于C，y=x，为正比例函数，在R上为增函数，不符合题意； ‎ 对于D，y=-x2-4x+3=-（x+2）2+7，在（-2，+∞）上为减函数，符合题意； ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数和二次函数的单调性，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．‎ ‎3.计算log416+等于（　　）‎ A. B. 5 C. D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数与对数运算性质即可得出．‎ ‎【详解】log416+=2+3=5．‎ ‎【点睛】本题考查指数与对数运算性质，属于基础题．‎ ‎4.函数＝＋的定义域为（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题，故选 考点：函数的定义域。‎ ‎5.函数y=的单调增区间是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复合函数的单调性进行求解即可.‎ ‎【详解】令t=-x2+4x+5，其对称轴方程为x=2，‎ 内层二次函数在[2，+∞）上为减函数，‎ 而外层函数y=为减函数，‎ ‎∴函数y=的单调增区是[2，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查指数型复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减，是基础题．‎ ‎6.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，则满足f（2x-1）＞f（）的x的取值范围是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数为偶函数得f（|2x-1|）＞f（）,由函数的单调性可得|2x-1|＜，解不等式即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，‎ 则f（2x-1）＞f（）⇒f（|2x-1|）＞f（）⇒|2x-1|＜，‎ 解可得：＜x＜，‎ 即x的取值范围为；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．‎ ‎7.若函数f（x）=a|x+1|（a＞0．a≠1）的值域为[1，+∞），则f（-4）与f（0）的关系是（　　）‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数f（x）的值域可得a＞1，然后利用单调性即可得到答案.‎ ‎【详解】∵|x+1|≥0，且f（x）的值域为[1，+∞）； ‎ ‎∴a＞1； ‎ 又f（-4）=a3，f（0）=a； ‎ ‎∴f（-4）＞f（0）． ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数的单调性，并且会根据单调性比较函数值的大小．‎ ‎8.对于实数a和b定义运算“*”：a•b=，设f（x）=（2x-1）•（x-2），如果关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则m的取值范是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数f（x）的图象，由题知y=f（x）与y=m恰有3个交点，观察图像即可得到答案．‎ ‎【详解】由已知a•b=得f（x）=（2x-1）•（x-2）= ，其图象如下：‎ 因为f（x）=m恰有三个互不相等实根，‎ 则y=m与y=f(x)图像恰有三个不同的交点，‎ 所以0＜m＜，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属中档题．‎ 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）‎ ‎9.已知全集U=R，集合A={x|x2-4x+3＞0}，则∁UA=___．‎ ‎【答案】{x|1≤x≤3}‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合A,然后取补集即可得到答案.‎ ‎【详解】A={x|x＜1或x＞3}； ‎ ‎∴∁UA={x|1≤x≤3}． ‎ 故答案为：{x|1≤x≤3}．‎ ‎【点睛】本题考查集合的补集的运算，属基础题.‎ ‎10.若0＜a＜1，b＜-1，则函数f（x）=ax+b的图象不经过第___象限．‎ ‎【答案】一 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数的单调性和恒过定点，再结合图像的平移变换即可得到答案.‎ ‎【详解】函数y=ax（0＜a＜1）是减函数，图象过定点（0，1），在x轴上方，过一、二象限，函数f（x）=ax+b的图象由函数y=ax的图象向下平移|b|个单位得到，∵b＜-1，∴|b|＞1，∴函数f（x）=ax+b的图象与y轴交于负半轴，如图，函数f（x）=ax+b的图象过二、三、四象限．‎ 故答案为:一．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数的图象和性质，考查图象的平移变换．‎ ‎11.已知log25=a，log56=b，则用a，b表示1g6=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由lg2+lg5=1结合log25=a，解出lg5,然后利用换底公式log56=进行计算整理即可得到答案.‎ ‎【详解】∵log25=a=，解得lg5=．‎ log56=b=，‎ ‎∴lg6=blg5=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了对数运算性质，重点考查对数换底公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎12.函数y=（x≤0）的值域是______．‎ ‎【答案】（-∞，2]∪（3，+∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数进行分离常数,然后利用函数单调性即可求出值域．‎ ‎【详解】y= ‎ ‎∵x≤0；‎ ‎∴该函数在（-2，0]，（-∞，-2）上单调递增；‎ ‎∴x∈（-2，0]时，y≤2；x∈（-∞，-2）时，y＞3；‎ ‎∴原函数的值域为（-∞，2]∪（3，+∞）．‎ 故答案为：（-∞，2]∪（3，+∞）．‎ ‎【点睛】考查函数值域的概念及求法，分离常数法的运用，反比例函数值域的求法，属基础题．‎ ‎13.已知a＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意不相等的实数x1，x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，成立，则实数a的取值范围______．‎ ‎【答案】（2，3]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0得到函数f(x)的单调性，然后利用分段函数的单调性列不等式组即可得到答案.‎ ‎【详解】对任意实数x1≠x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0成立，‎ 可得f（x）在R上为单调递增，‎ 则即 解得a的取值范围为：2＜a≤3．‎ 故答案为：（2，3]．‎ ‎【点睛】已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点：(1)若函数在区间[a,b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.‎ ‎14.设函数f（x）=ax+bx-cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是______（写出所有正确结论的序号）‎ ‎①对任意的x∈（-∞，1），都有f（x）＞0；‎ ‎②存在x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；‎ ‎③若△ABC是顶角为120°的等腰三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在①中，利用不等式的性质分析即可，在②中，举例a=2，b=3，c=4进行说明,在③中，利用零点存在性定理分析即可.‎ ‎【详解】在①中，∵a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b＞c，∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜＜1，0＜＜1，当x∈（-∞，1）时，f（x）=ax+bx-cx=cx[（）x+（）x-1]＞cx（+-1）=cx•＞0，故①正确；‎ 在②中，令a=2，b=3，c=4，则a，b，c可以构成三角形，但a2=4，b2=9，c2=16不能构成三角形，故②正确；‎ 在③中，∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC顶角为120°的等腰三角形，∴a2+b2-c2＜0，∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a2+b2-c2＜0，根据函数零点存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，‎ 即∃x∈（1，2），使f（x）=0，故③正确．‎ 故答案为：①②③．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，考查指数函数单调性、零点存在性定理和不等式性质的运用．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）‎ ‎15.已知函数f（x）=ax-1（x≥0）．其中a＞0，a≠1．‎ ‎（1）若f（x）的图象经过点（，2），求a的值；‎ ‎（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．‎ ‎【答案】（1）4 ； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将点（，2）代入函数解析式，即可得到a值；（2）按指数函数的单调性分a>1和0