2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第四章第四讲　正、余弦定理及解三角形 13页

第四讲　正、余弦定理及解三角形 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.[2019 全国卷Ⅰ,11,5 分][文]△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 asin A - bsin B=4csin C,cos A= - 1 4,则푏 푐=(　　)　　　　　　　　 A.6 B.5 C.4 D.3 2.[2018 全国卷Ⅱ,7,5 分][文]在△ABC 中,cos 퐶 2 = 5 5 ,BC=1,AC=5,则 AB=(　　) A.4 2 B. 30 C. 29 D.2 5 3.[2019 福建宁德联考]在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=18,b=24,A=45°,则此三角形 (　　) A.无解 B.有一解 C.有两解 D.解的个数不确定 4.[改编题]下列说法正确的是(△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c)(　　) ①在△ABC 中,若 A>B,则必有 sin A>sin B; ②在△ABC 中,若 b2+c2>a2,则△ABC 为锐角三角形; ③在△ABC 中,若 A=60°,a=4 3,b=4 2,则 B=45°或 B=135°; ④若满足条件 C=60°,AB= 3,BC=a 的△ABC 有两个,则实数 a 的取值范围是( 3,2); ⑤在△ABC 中,若 acos B=bcos A,则△ABC 是等腰三角形. A.①③④⑤ B.①②③④ C.①④⑤ D.①③⑤ 5.[2017 全国卷Ⅲ,15,5 分][文]△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 C=60°,b= 6,c=3,则 A=　　　　. 6.[2019 全国卷Ⅱ,15,5 分]△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 b=6,a=2c,B= π 3,则△ABC 的面 积为　　　　. 7.[2019 浙 江 ,14,6 分 ] 在 △ABC 中 ,∠ABC=90°,AB=4,BC=3, 点 D 在 线 段 AC 上 . 若 ∠BDC=45°, 则 BD=　　　　,cos∠ABD=　　　　. 8.[2018 江苏,13,5 分]在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC 的平分线交 AC 于点 D,且 BD=1,则 4a+c 的最小值为　　　　. 9.[2019 江西名校高三质检]已知△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S △ABC 表示△ABC 的面 积,且有 b(asin A+bsin B)= 4sin B·S△ABC+bcsin C,若 c= 6,则△ABC 的外接圆半径为　　　.　　　　 10.[2015 湖北,15,5 分][文]如图 4 - 4 - 1,一辆汽车在一条水平的公 路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的 方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75°的方向 上,仰角为 30°,则此山的高度 CD=　　　m. 考法 1 利用正、余弦定理解三角形 1 在△ABC 中,C= π 4,AB=2,AC= 6,则 cos B 的值为 A. 1 2 B. - 3 2 C. 1 2或 - 3 2 D. 1 2或 - 1 2 根据条件,两边和其中一边的对角→选用正弦定理求解 由题意知 C= π 4,c=AB=2,b=AC= 6,(条件类型:两边和其中一边的对角) 由正弦定理 푏 sin퐵 = 푐 sin퐶,得 sin B= 6sin π 4 2 = 3 2 .(利用正弦定理求 sin B) 因为 b>c,所以 B>C= π 4,(利用“大边对大角”确定角的范围) 又 00,则 b= 푡 푎. 代入上式可得 a2+ 푡2 푎2 = 푡2 16 - t. 左边式子呈现出基本不等式的结构,故利用基本不等式可得 푡2 16 - t=a2+ 푡2 푎2≥2 푎2 × 푡2 푎2=2t,即 푡2 16≥3t,解 得 t≥48,当且仅当 a=b=4 3时取等号,即 ab 的最小值为 48. 8 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 C=3B,则푐 푏的取值范围为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(0,3) B.(1,3) C.(0,3] D.(1,3] 由正弦定理可得푐 푏 = sin퐶 sin퐵 = sin3퐵 sin퐵 = sin2퐵cos퐵 + cos2퐵sin퐵 sin퐵 =2cos2B+cos 2B=4cos2B - 1. ∵A+B+C=180°,C=3B,∴0° 1 8,∴方案 2 好. 8. 如图 4 - 4 - 5, 经过村庄 A 有两条夹角为 60° 的公路 AB,AC, 根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂 P, 分别在两 条公路边上建两个仓库 M,N( 异于村庄 A), 要求 PM=PN=MN=2(单位: 千米).记∠AMN=θ. (1)将 AN,AM 用含 θ 的关系式表示出来; (2)如何设计(即 AN,AM 为多长时),可使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的 距离 AP 最大)? 2 1.A　由题意及正弦定理得,b2 - a2= - 4c2,则 cos A=푏2 + 푐2 - 푎2 2푏푐 = - 3푐2 2푏푐 = - 1 4,解得푏 푐=6.故选 A. 2.A　因为 cos C=2cos2퐶 2 - 1=2×1 5 - 1= - 3 5,所以由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2 - 2AC×BCcos C=25+1 - 2×5×1×( - 3 5)=32,所以 AB=4 2,故选 A. 3.C　∵bsin A=12 2B,则 a>b, 푎 2푅 > 푏 2푅(R 为△ABC 的外接圆的半径),即 sin A>sin B,①正 确; 对于②,在△ABC 中,若 b2+c2>a2,则 A 是锐角,但△ABC 不一定是锐角三角形,②错误; 对于③,由 푎 sin퐴 = 푏 sin퐵得 sin B=푏 푎sin A=4 2 4 3 × 3 2 = 2 2 ,因为 a>b,所以 B0,c>0, 所 以 1 푎 + 1 푐=1, 则 4a+c=(4a+c)(1 푎 + 1 푐)=5+푐 푎 + 4푎 푐 ≥5+2 푐 푎·4푎 푐 =9,当且仅当 c=2a 时取等号,故 4a+c 的最小值为 9. 9. 3　因为 b(asin A+bsin B)=4sin B·S△ABC+bcsin C, 故 absin A+b2sin B=4sin B·S△ABC+bcsin C, 即 a2sin B+b2sin B=4sin B·S△ABC+c2sin B,即 a2+b2 - c2=4S△ABC,故 abcos C=absin C,故 C=π 4, 则△ABC 的外接圆半径为 푐 2sin퐶 = 6 2 = 3. 10.100 6　 由 题 意 , 得 ∠BAC=30°,∠ABC=105°. 在 △ABC 中 , 因 为 ∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°, 所 以 ∠ACB=45°. 因 为 AB=600 m, 由 正 弦 定 理 可 得 600 sin 45° = 퐵퐶 sin 30°, 即 BC=300 2 m. 在 Rt△BCD 中 , 因 为 ∠CBD=30°,BC=300 2 m,所以 tan 30°=퐶퐷 퐵퐶 = 퐶퐷 300 2,所以 CD=100 6 m. 1.(1)D　因为△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,2asin A - bsin B=2csin C,利用正弦定理将角 化为边可得 2a2 - b2=2c2　①, 由①及余弦定理可得 cos A=푏2 + 푐2 - 푎2 2푏푐 = 푏 4푐 = 1 4,化简得푏 푐=1,即sin퐵 sin퐶=1,故选 D. (2)C　因为3sin2퐶 cos퐶 =2sin Asin B,所以 3푐2 cos퐶=2ab,即 cos C=3푐2 2푎푏. 由余弦定理得 cos C=푎2 + 푏2 - 푐2 2푎푏 ,所以3푐2 2푎푏 = 푎2 + 푏2 - 푐2 2푎푏 ,所以 a2+36=4c2　①. 在△ABC 中,A=π 3,b=6, 因为 a2=b2+c2 - 2bccos A,所以 a2=36+c2 - 6c　②.由①②解得 c=4 或 c= - 6(不合题意,舍去).因此 c=4.故选 C. 【解后反思】　求解该题时易出现的问题是不能把“A=π 3”利用余弦定理转化为边之间的关系,而 是直接代入已知等式导致无法求解.显然,求边就应该把已知条件向边的方向转化. (3)A　由已知及正弦定理得 2sin Bcos C - 2sin Ccos B=sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以 sin Bcos C=3sin Ccos B,又 B=2C,所以 sin 2Ccos C=3sin Ccos 2C,所以 2cos 2C=3(cos2C - sin2C),所以 tan2C=1 3.因为 B=2C,所以 C 为锐角,所以 tan C= 3 3 ,C=π 6,B=π 3,A=π 2,故选 A. 2.A　已知푐 푏0,于是有 cos B<0,即 B 为钝角,所以 △ABC 是钝角三角形.故选 A. 3.(1)C　根据题意及三角形的面积公式知1 2absin C=푎2 + 푏2 - 푐2 4 ,所以 sin C= 푎2 + 푏2 - 푐2 2푎푏 =cos C,所以在 △ABC 中,C=π 4. (2)15　 7　由 4sin B=5sin C,得 4sin(π - A - C)=5sin C,即 4sin(A+C)=5sin C,即 4(sin Acos C+cos Asin C)=5sin C. 又 A=2C,所以 4(sin 2Ccos C+cos 2Csin C)=5sin C,即 4[2sin Ccos2C+(2cos2C - 1)sin C]=5sin C. 因为 A=2C,所以 0