高中数学选修1-2：2_2_1同步练习 4页

高中数学人教A版选修1-2 同步练习 ‎1.下面叙述正确的是(　　)‎ A．综合法、分析法都是直接证明的方法 B．综合法是直接证法、分析法是间接证法 C．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D．综合法、分析法所用语气都是假定的 答案：A ‎2.将正整数按下表的规律排列，‎ ‎ 1 4　　5　　16　……‎ ‎2 3 6 15　……‎ ‎9 8 7 14　……‎ ‎10 11 12 13　……‎ ‎…… …… …… ……‎ ‎ 把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作aij(i，j∈N*)，如第2行第4列的数是15，记作a24＝15，则有序数对(a82，a28)是(　　)‎ A．(22，45)　　　　　　　　　　 B．(100，98)‎ C．(51，63) D．(82，28)‎ 解析：选C.观察发现a11＝1，a22＝3，a33＝7，a44＝13，‎ ‎∴a55＝21，a66＝a55＋10＝31，∴ann＝a(n－1)(n－1)＋2(n－1)，‎ ‎∴ann＝n2－n＋1，∴a88＝82－8＋1＝57，‎ 由图形的特点可得a82＝a88－6＝51，a28＝a88＋6＝63，故有序数对(a82，a28)是(51，63)．‎ ‎3.已知数列{an}是等比数列，an>0，且a‎4a6＋‎2a5a7＋a‎6a8＝36，则a5＋a7＝________．‎ 解析：∵{an}是等比数列，∴a‎4a6＝a，a‎6a8＝a，∴a＋‎2a5a7＋a＝36，即(a5＋a7)2＝36，又an>0，∴a5＋a7＝6.‎ 答案：6‎ ‎4.将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证____________，即证______________，由于______________显然成立，因此原不等式成立．‎ 答案：a2＋b2－2ab≥0　(a－b)2≥0　(a－b)2≥0‎ ‎[A级　基础达标]‎ ‎1.欲证－<－成立，只需证(　　)‎ A．(－)2<(－)2‎ B．(－)2<(－)2‎ C．(＋)2<(＋)2‎ D．(－－)2<(－)2‎ 解析：选C.根据不等式性质，a>b>0时，才有a2>b2，‎ ‎∴只需证：＋<＋，‎ 只需证：(＋)2<(＋)2.‎ ‎2.(2012·淄博市高二期中考试)若a<0，则下列不等式成立的是(　　)‎ A．‎2a>>‎‎0.2a B．‎0.2a>>‎‎2a C.>‎0.2a>‎‎2a D．‎2a>‎0.2a> 解析：选B.∵a<0，∴‎2a<0，>1，‎ 而当a<0时，‎0.2a>‎0.5a，‎ ‎∴‎0.2a>>‎2a.‎ ‎3.已知a>0，b>0，＋＝1，则a＋2b的最小值为(　　)‎ A．7＋2 B．2 C．7＋2 D．14‎ 解析：选A.∵a＋2b＝(a＋2b)·＝7＋＋≥7＋2＝7＋2.‎ 当且仅当时取得“＝”．‎ 此时a＝＋1，b＝3＋.‎ ‎4.设P＝，Q＝－，R＝－，那么P、Q、R的大小顺序是________．(注：从大到小排列)‎ 解析：要比较R、Q的大小，可对R、Q作差，即Q－R＝－－(－)＝(＋)－(＋)，‎ 又(＋)2－(＋)2＝2－2<0，∴Q0，∴P>R>Q.‎ 答案：P>R>Q ‎5.已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)＝________．‎ 解析：∵sinα＋sinβ＋sinγ＝0，‎ cosα＋cosβ＋cosγ＝0，‎ ‎∴，‎ 两式平方相加得：2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1，‎ ‎∴cos(α－β)＝－.‎ 答案：－ ‎6.已知a，b，c为不全相等的正数，求证：(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)>16abc.‎ 证明：左边＝[b(a＋1)＋(a＋1)]·[b(a＋c)＋c(a＋c)]‎ ‎＝(b＋1)(a＋1)(b＋c)(a＋c)．‎ ‎∵b＋1≥2，a＋1≥2，b＋c≥2，a＋c≥2，‎ 又∵a，b，c为不全相等的正数，‎ ‎∴(b＋1)(a＋1)(b＋c)(a＋c)>16abc.‎ ‎[B级　能力提升]‎ ‎7.设a、b、c三数成等比数列，而x、y分别为a、b和b、c的等差中项，则＋等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选B.∵ac＝b2，a＋b＝2x，b＋c＝2y，‎ ‎∴＋＝＋＝＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝2.‎ 已知△ABC中，cosA＋cosB>0，则必有(　　)‎ A．00得cosA>－cosB，‎ ‎∴cosA>cos(π－B)．‎ ‎∵00；②|α＋β|>5；③|α|>2，|β|>2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是__________．‎ 解析：∵αβ >0，|α|>2，|β|>2.‎ ‎∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ >8＋8＋2×8＝32>25.‎ ‎∴|α＋β|>5.‎ 答案：①③⇒②‎ 已知a>b>0，求证：<－<.‎ 证明：欲证<－<，‎ 只需证b>0，‎ ‎∴只需证<－<，‎ 即证<1<.‎ 只需证1＋<2<1＋.‎ 即证<1<.只需证<1<.‎ 而a>b>0，∴<1<成立．∴原不等式成立．‎ (创新题)如图所示，正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，E、F分别为棱AB、BC的中点，EF∩BD＝G.‎ 求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.‎ 证明：法一：要证明平面B1EF⊥面BDD1B1，只需证面B1EF内有一线垂直于面BDD1B1，即EF⊥面BDD1B1，要证EF⊥面BDD1B1，只需证EF垂直平面BDD1B1内两条相交直线即可，即证EF⊥BD，EF⊥B‎1G.‎ 而EF∥AC，AC⊥BD，故EF⊥BD成立．‎ 故只需证EF⊥B‎1G即可．‎ 又∵△B1EF为等腰三角形，EF中点为G，‎ ‎∴B‎1G⊥EF成立．‎ ‎∴EF⊥面BDD1B1成立，从而问题得证．‎ 法二：连结AC(图略)．‎ ‎∵ABCD－A1B‎1C1D1为正四棱柱，‎ ‎∴▱ABCD为正方形，∴AC⊥BD.‎ 又∵E、F分别为AB、BC的中点，‎ ‎∴EF∥AC，B1E＝B‎1F.∴EF⊥BD.‎ 又∵△B1EF为等腰三角形且G为EF的中点，‎ ‎∴B‎1G⊥EF.‎ 又B‎1G∩BD＝G，∴EF⊥平面BDD1B1.‎ 又EF⊂平面B1EF，‎ ‎∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.‎