高中数学 1-4 生活中的优化问题举例双基限时训练 新人教版选修2-2 5页

‎【名师一号】2014-2015学年高中数学 1-4 生活中的优化问题举例双基限时训练 新人教版选修2-2‎ ‎1．把长度为8的线段分成四段，围成一个矩形，矩形面积的最大值为(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．4‎ C．8 D．以上都不对 解析　由经验知，矩形的周长一定时，正方形面积最大，所以最大面积为2×2＝4.‎ 答案　B ‎2．正三棱柱体积是V，当其表面积最小时，底面边长a为(　　)‎ A. B. C. D．2 解析　设正三棱柱的高为h，则 V＝a2sin60°·h＝a2h，∴h＝.‎ 则正三棱柱的表面积S＝2·a2＋3ah ‎＝a2＋‎3a·＝a2＋，‎ ‎∴S′＝a－，‎ 令S′＝0，得a＝.‎ 答案　C ‎3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产量是(　　)‎ A．100 B．150‎ C．200 D．300‎ 解析　当0≤x≤400时，‎ Q(x)＝400x－x2－20000－100x ‎＝－x2＋300x－20000.‎ Q′(x)＝－x＋300.‎ 令Q′(x)＝0，得x＝300.‎ 答案　D ‎4．一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为(　　)‎ A. B. C. D．2 解析　设圆半径为x，矩形的高记作h，那么窗户面积S＝x2＋2hx.‎ 窗户周长为 l(x)＝πx＋2x＋2h＝x＋2x＋.‎ 令l′(x)＝＋2－＝0，‎ 解得x＝ (舍去负值)，‎ ‎∵l(x)只有一个极值，因此x＝ 为最小值点．‎ 答案　C ‎5．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能够全部贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银行可获得最大收益为(　　)‎ A．0.012 B．0.024‎ C．0.032 D．0.036‎ 解析　由题意知，存款量g(x)＝kx(k>0)，银行应支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，x∈(0,0.048)．‎ 设银行可获得收益为y，则y＝0.048kx－kx2.‎ 于是y′＝0.048k－2kx.‎ 令y′＝0，得x＝0.024.‎ 依题意知，y在x＝0.024处取得最大值．‎ 答案　B ‎6．四川地震灾区在党的领导下积极恢复生产，重建家园时，某工厂需要建一个面积为‎512 m2‎矩形堆料场．一边可以利用原有的墙壁，其它三面需要砌新的墙壁，当砌墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．‎ 解析　设矩形堆料场的长为x m，则宽为 m，所用材料f(x)＝x＋，f′(x)＝1－.‎ 令f′(x)＝0，得x＝32，宽为16.‎ 答案　‎32 m　‎‎16 m ‎7．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．‎ 解析　设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．‎ 总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．‎ 令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.‎ ‎∴当x＝10时，L有最大值45.6.‎ 答案　45.6万元 ‎8．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件则每件售价比原来减少1元，当公司的收益最大时订购件数为________．‎ 解析　设销售额为y，销售件数为x，则 y＝ 令g(x)＝x·[200－(x－150)]＝350x－x2，g′(x)＝350－2x.解y′(x)＝0，得x＝175.易知，当x＝175时，g(x)有最大值30625.‎ 答案　175‎ ‎9．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品．若该商品零售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2.问该商品零售价定为多少时毛利润L最大，并求出最大毛利润．(毛利润＝销售收入－进货支出)‎ 解　设毛利润为L(p)，由题意知 L(p)＝p·Q－20Q＝Q(p－20)‎ ‎＝(8300－170p－p2)(p－20)‎ ‎＝－p3－150p2＋11700p－166000，‎ L′(p)＝－3p2－300p＋11700，‎ 令L′(p)＝0，解得p＝30，或p＝－130(舍去)．‎ 此时，L(30)＝23000.‎ 因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．‎ 答：该商品零售价定为每件30元时，毛利润最大，最大毛利润为23000元．‎ ‎10．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为‎20 cm，要使体积最大，求圆锥的高．‎ 解　如图．设圆锥底面半径为r，高为h，于是 h2＋r2＝202，‎ ‎∴r＝.‎ ‎∴V＝πr2h＝π(400－h2)·h＝π(400h－h3)．‎ ‎∴V′＝π(400－3h2)．‎ 令V′＝0，解得h＝.‎ 当00.‎ 当h>时，V′<0.‎ ‎∴h＝时，圆锥形漏斗体积最大．‎ ‎11．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，那么每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)‎ 解　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，‎ 则f(x)＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋.‎ f′(x)＝48－.‎ 令f′(x)＝0，得x＝15.‎ 当x>15时，f′(x)>0，当00，f(x)在区间(64,640)内为增函数．‎ ‎∴f(x)在x＝64处取得最小值．此时n＝－1＝－1＝9.‎ 故需新建9个桥墩才能使y最小．‎