【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第二章第六讲　函数的图象 9页

第六讲　函数的图象 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.[改编题]下列说法正确的是(　　)‎ A.若函数y=f (x)满足f (1+x)=f (1 - x),则函数y=f (x)的图象关于直线x=1对称 B.若函数y=f (x)满足f (x+1)=f (x - 1),则函数y=f (x)的图象关于直线x=1对称 C.当x∈(0,+∞)时,函数y=f (|x|)的图象与y=|f (x)|的图象相同 D.函数y=f (1 - x)的图象可由y=f ( - x)的图象向左平移1个单位长度得到 ‎2.[2019全国卷Ⅲ,7,5分][理]函数y=‎2‎x‎3‎‎2‎x‎+‎‎2‎‎-x在[ - 6,6]上的图象大致为(　　)‎ ‎3.[2020石家庄市高三测试]已知函数f (x)=‎1,x>0,‎‎0,x=0,‎‎-1,x<0,‎则函数g(x)=f (x)·(ex - 1)的大致图象是(　　)‎ ‎　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　 D ‎4.[2018全国卷Ⅲ,7,5分]下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是(　　)‎ A.y=ln(1 - x) B.y=ln(2 - x)‎ C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)‎ ‎5.[2015新课标全国Ⅰ,12,5分]设函数y=f (x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y= - x对称,且f ( - 2)+f ( - 4)=1,则a=(　　)‎ A. - 1 B.1 C.2 D.4‎ ‎6.设f (x)=|lg(x - 1)|,若10,所以排除C;因为f (1)=sin1+1‎cos1+1‎,且sin1>cos1,所以f (1)>1,所以排除B.选D.‎ D 排除法是解决判断函数图象问题的主要方法,即根据函数的单调性、函数图象与两坐标轴的交点位置、函数值的符号等排除干扰项,从而得出正确的结果.‎ 命题角度2　已知函数图象求解相关问题 ‎2 [2020江西五校联考]函数f (x)的大致图象如图2 - 6 - 1所示,则函数f (x)的解析式可以是 A.f (x)=x2·sin|x|‎ B.f (x)=(x - ‎1‎x)cos 2x C.f (x)=(ex - e - x)cos(π‎2‎x)‎ D.f (x)=‎xln|x|‎‎|x|‎ 由题中图象可知,函数在原点处没有定义,故函数的定义域为{x|x≠0},故排除选项A,C;又函数图象与x轴只有两个交点,对于函数f (x)=(x - ‎1‎x)cos2x,cos2x=0有无数个根,故排除选项B.选D.‎ D 命题角度3　借助动点探究函数图象 ‎3[2015新课标全国Ⅱ,10,5分][理]如图2 - 6 - 2,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA 运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f (x),则y=f (x)的图象大致为 ‎　　　A　　　　　　B　　　　　C　　　　　　D 根据动点在不同位置的图象的特征,排除不符合要求的选项,从而得出结果.‎ 由题易知f (0)=2,f (π‎4‎)=1‎+‎‎5‎,f (π‎2‎)=2‎2‎0,b<0,c>0,d>0‎ B.a>0,b<0,c<0,d>0‎ C.a<0,b<0,c>0,d>0‎ D.a>0,b>0,c>0,d<0‎ ‎(3)[2019江西九江四校联考]如图2 - 6 - 4所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的,它们的圆心分别是O,O1,O2,动点P从点A出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动(其中A,O1,O,O2,B五点共线),记点P运动的路程为x,设y=|O‎1‎P|2,y与x的函数解析式为y=f (x),则y=f (x)‎ 的图象大致是(　　)‎ 考法2 函数图象的应用 命题角度1　利用函数的图象研究函数性质 ‎4已知函数f (x)=x|x| - 2x,则下列结论正确的是 A.f (x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)‎ B.f (x)是偶函数,递减区间是( - ∞,1)‎ C.f (x)是奇函数,递减区间是( - 1,1)‎ D.f (x)是奇函数,递增区间是( - ∞,0)‎ 由题意得f (x)=x‎2‎‎-2x,x≥0,‎‎-x‎2‎-2x,x<0,‎画出函数f (x)的图象,如图2 - 6 - 5,观察图象可知,函数f (x)的图象关于原点对称,故函数f (x)为奇函数,且在( - 1,1)上单调递减.‎ C 命题角度2　利用函数的图象研究不等式 ‎5函数f (x)是定义在[ - 4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图2 - 6 - 6所示,那么不等式f(x)‎cosx<0的解集为　　　　. ‎ 当x∈(0,π‎2‎)时,y=cosx>0;‎ 当x∈(π‎2‎,4)时,y=cosx<0.‎ 结合y=f (x)在[0,4]上的图象知,‎ 当11时,在同一平面直角坐标系中画出函数y=f (x)与h(x)=loga|　x|　的图象如图2 - 6 - 8所示,根据图象可得loga5<1,即a>5.‎ 图2 - 6 - 8 图2 - 6 - 9‎ 当00.‎若|f (x)|≥ax恒成立,则a的取值范围是(　　)‎ A.( - ∞,0] B.( - ∞,1] C.[ - 2,1] D.[ - 2,0]‎ ‎(4)设函数f (x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f (x+1)=f (x - 1),已知当x∈[0,1]时,f (x)=(‎1‎‎2‎)1 - x,则:①2是函数f (x)的周期;②函数f (x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增;②函数f (x)的最大值是1,最小值是0;④当x∈(3,4)时,f (x)=(‎1‎‎2‎)x - 3.‎ 其中所有正确命题的序号是　　　　. ‎ 思想方法　数形结合思想在函数问题中的应用 ‎8 [2019江苏,14,5分]设f (x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f (x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f (x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f (x)=‎1-(x-1‎‎)‎‎2‎,g(x)=k(x+2),00.若在区间(0,9]上,关于x的方程f (x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是　　　　. ‎ 当x∈(0,2]时,令y=‎1-‎‎(x-1)‎‎2‎,则(x - 1)2+y2=1,y≥0,则可得 f (x)的图象是以(1,0)为圆心、1为半径的半圆,利用f (x)是奇函数,且周期为4,画出函数f (x)在(0,9]上的图象,再在同一坐标系中作出函数g(x)在(0,9]上的图象,如图2 - 6 - 10,关于x的方程 f (x)=g(x)在(0,9]上有8个不同的实数根,即两个函数的图象有8个不同的交点,数形结合知g(x)(x∈(0,1])与f (x)(x∈(0,1])的图象有2个不同的交点时满足题意,当直线y=k(x+2)经过点(1,1)时,k=‎1‎‎3‎,当直线y=k(x+2)与半圆(x - 1)2+y2=1(y≥0)相切时,‎|3k|‎k‎2‎‎+1‎=1,解得k=‎2‎‎4‎或k= - ‎2‎‎4‎(舍去),所以k的取值范围是[‎1‎‎3‎,‎2‎‎4‎).‎ ‎1.A　由函数的性质知A正确,B错误;令f (x)= - x,则当x∈(0,+∞)时,f (|x|)=f (x)= - x,|f (x)|=x,f (|x|)≠|f (x)|,故C错误;y=f ( - x)的图象向左平移1个单位长度得到y=f ( - x - 1)的图象,故D错误.‎ ‎2.B　令f (x)=y=‎2‎x‎3‎‎2‎x‎+‎‎2‎‎ - x,则f ( - x)=‎ - 2‎x‎3‎‎2‎‎ - x‎+‎‎2‎x= - f (x),且x∈[ - 6,6],所以函数y=‎2‎x‎3‎‎2‎x‎+‎‎2‎‎ - x为奇函数,排除C;当x>0时,f (x)=‎2‎x‎3‎‎2‎x‎+‎‎2‎‎ - x>0恒成立,排除D;‎ 因为f (4)=‎2×64‎‎2‎‎4‎‎+‎‎2‎‎ - 4‎‎=‎128‎‎16+‎‎1‎‎16‎=‎‎128×16‎‎257‎≈7.97,排除A.故选B.‎ ‎3.D　解法一　g(x)=f (x)(ex - 1)=ex‎ - 1,x>0,‎‎0,x=0,‎‎1 - ex,x<0,‎当x>0时,将函数y=ex的图象向下平移一个单位长度得到函数y=ex - 1的图象,当x<0时,作函数y=ex - 1的图象关于x轴对称的图象,得到函数y=1 - ex的图象,故选D.‎ 解法二　g(x)=f (x)(ex - 1)=ex‎ - 1,x>0,‎‎0,x=0,‎‎1 - ex,x<0,‎当x=1时,g(x)>0,排除A,当x= - 1时,g(x)>0,排除B,当x→ - ∞时,g(x)→1,排除C,选D.‎ ‎4.B　解法一　设所求函数图象上任意一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1对称的点的坐标为(2 - x,y),由对称性知点(2 - x,y)在函数y=ln x的图象上,所以y=ln(2 - x).故选B.‎ 解法二　由题意知,对称轴上的点(1,0)既在函数y=ln x的图象上,也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除选项A,C,D,选B.‎ ‎5.C　设(x,y)是函数y=f (x)图象上任意一点,它关于直线y= - x对称的点为( - y, - x),由函数y=f (x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y= - x对称,可知点( - y, - x)在y=‎2‎x+‎a的图象上,即 - x=2 - y+a,解得y= - log2( - x)+a,所以f ( - 2)+ f ( - 4)= - log22+a - log24+a=1,解得a=2,故选C.‎ ‎6.(4,+∞)　画出函数f (x)=|lg(x - 1)|的图象,如图D 2 - 6 - 1所示.‎ 图D 2 - 6 - 1‎ 由12ab(由于a4.‎ ‎1.(1)D　当x=0时,y=2,排除选项A,B.y ' = - 4x3+2x,令y ' =0,得x=0或x=±‎2‎‎2‎,结合三次函数的图象特征,知原函数在( - 1,1)上有三个极值点,‎ ‎∴排除选项C,选D.‎ ‎(2)A　当x∈[0,π]时,y=1.当x∈(π,2π)时,∵O‎1‎P‎=O‎2‎P - ‎O‎2‎O‎1‎,‎ 设O‎2‎P与O‎2‎O‎1‎的夹角为θ,易知|O‎2‎P|=1,|O‎2‎O‎1‎|=2,∴θ=x - π,‎ ‎∴y=‎|O‎1‎P|‎‎2‎=(O‎2‎P‎ - ‎O‎2‎O‎1‎)2=5 - 4cos θ=5+4cos x,x∈(π,2π),‎ ‎∴当x∈(π,2π)时,函数y=f (x)的图象是曲线,且单调递增,排除C,D.‎ 当x∈[2π,4π]时,∵O‎1‎P‎=OP - ‎OO‎1‎,设OP与OO‎1‎的夹角为α,易知|OP|=2,|OO‎1‎|=1,‎ ‎∴α=2π - ‎1‎‎2‎x,∴y=|O‎1‎P|2=(OP‎ - ‎OO‎1‎)2=5 - 4cos α=5 - 4cos‎1‎‎2‎x,x∈[2π,4π],‎ ‎∴当x∈[2π,4π]时,函数y=f (x)的图象是曲线,且单调递减,排除B,选A.‎ ‎2.(1)B　因为f (x)+f ( - x)=2,y=x+1‎x=1+‎1‎x,所以函数y=f (x)与y=x+1‎x的图象都关于点(0,1)对称,所以‎∑‎i=1‎mxi=0,‎∑‎i=1‎myi=m‎2‎×2=m,所以‎∑‎i=1‎m(xi+yi)=m,故选B.‎ ‎(2)C　函数f (x)=lg x - sin x的零点个数即函数y=lg x的图象和函数y=sin x的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中画出函数y=lg x和y=sin x的图象如图D 2 - 6 - 2所示.显然,函数y=lg x的图象和函数y=sin x的图象的交点个数为3,故选C.‎ 图D 2 - 6 – 2‎ ‎(3)D　由y=|f (x)|的图象(如图D 2 - 6 - 3所示)知,①当x>0时,只有a≤0时才能满足|f (x)|≥ax.②当x≤0时,y=|f (x)|=| - x2+2x|=x2 - 2x.‎ 故由|f (x)|≥ax得x2 - 2x≥ax.当x=0时,不等式为0≥0,成立;当x<0时,不等式等价为x - 2≤a.‎ 因为x - 2< - 2,所以a≥ - 2.综上可知,a∈[ - 2,0].‎ 图D 2 - 6 - 3‎ ‎(4)①②④　由已知条件得f (x+2)=f (x),则y=f (x)是以2为周期的周期函数,①正确;‎ 当 - 1≤x≤0时,0≤ - x≤1,f (x)=f ( - x)=(‎1‎‎2‎)1+x,画出函数y=f (x)的部分图象如图D 2 - 6 - 4所示.‎ 图D 2 - 6 - 4‎ 由图象知②正确,③不正确;‎ 当3