数学文卷·2019届河北省承德一中高二第二次月考（2017-10） 7页

河北承德第一中学 2017-2018 学年度第一学期第二次月考 高二数学试题（文科） 时间：120 分钟 总分：150 分 出题人： 审核人： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题 60 分）和第Ⅱ卷（非选择题 90 分）两部分，满分 150 分； 2. 本次考试内容：必修 2 第四章圆与方程和选修 1-1 第二章圆锥曲线与方程。 第Ⅰ卷（选择题 60 分） 一、选择题：(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.抛物线 y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(　　) A.|a| 4 　　B.|a| 2 C．|a|　D．－a 2 2.椭圆 + =1 的焦距是 2,则 m=　(　　) A.5 B.3 或 8 C.3 或 5 D.20 3.直线 3x＋4y＋12＝0 与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9 的位置关系是(　　) A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 4.过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的弦为 AB，则|AB|的最小值为(　　) A.p 2　B．pC．2p　D．无法确定 5.椭圆 + =1 与 + =1(00)的焦点为 F，其准线与双曲线x2 3 －y2 3 ＝1 相交于 A，B 两 点，若△ABF 为等边三角形，则 p＝（） A．4　B．5 C．6　D．7 11.已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点， 若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x＝1　B．x＝－1C．x＝2　D．x＝－2 12.已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N(－12，－15)，则 E 的方程为(　　) A.x2 3 －y2 6 ＝1　　B.x2 4 －y2 5 ＝1C.x2 6 －y2 3 ＝1　D. x2 5 －y2 4 ＝1 第Ⅱ卷（非选择题 90 分） 二、填空题：(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.圆 x2＋y2－2x＋6y＋8＝0 的周长为________． 14.设 P 是椭圆 + =1 上的点,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|·|PF2| 的最大值是　　　　. 15.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程 为　　　　. 16.已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点，则点 P 到点(0，2)的距离与 P 到该 抛物线准线的距离之和的最小值为________． 三、解答题(共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知 A1、A2 是椭圆: + =1 长轴的左右两个端点，P 为椭 圆上除 A1、A2 外的任意一点，求证： 为定值 18.(本小题满分 12 分)已知圆 C1:x2+y2─4x─3=0 和 C2:x2+y2─4y─3=0. (1) 求两圆 C1 和 C2 的公共弦方程; (2)若圆 C 的圆心在直线 x─y─4=0 上,并且通过圆 C1 和 C2 的交点，求圆 C 的方 程. 19.(本小题满分 12 分)如图，直线 l：y＝x＋b 与抛物线 C：x2＝4y 相切于点 A. (1)求实数 b 的值； (2)求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程． 21 PAPA kk • 20.(本小题满分 12 分)已知双曲线与椭圆 x2＋4y2＝64 共焦点，它的一条渐近线 方程 x－ 3y＝0，求双曲线的方程． 21.(本小题满分 12 分)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)过点 A(1，－2)． (1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程； (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l，使得直线 l 与抛物线 C 有公共 点，且直线 OA 与 l 的距离等于 5 5 .若存在，求直线 l 的方程；若不存在，说明 理由． 22.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的离心率为 2 2 ，点(2， 2)在 C 上． (1)求 C 的方程； (2)直线 l 不经过原点 O，且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 中点为 M，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值． 河北承德第一中学 2017-2018 学年度第一学期第二次月考 高二数学试题（文科）参考答案 一、选择题： BCDCB DACDC BB 二、填空题： 13.2 2π 14.16 15. + =1 16. 17 2 三、解答题： 17.证明：由题设可得：A1(-2,0)、A2(-2,0),设 P（x,y）,则： 由 P 在椭圆上，得 + =1，从而： 故： 为定值 18.解：(1)将圆 C1 和圆 C2 的方程相减得：x-y=0,此即为公共弦的方程 （2）因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为：x 2+y2─4x─3+λ(x 2+y2─4y─ 3)=0,即 (1+λ)(x2+y2)─4x─4λy─3λ─3=0, 即 =0,圆心为 ( , ), 由于圆心在直线 x─y─4=0 上, ∴ ─ ─4=0, 解得 所求圆的方程为：x2+y2─6x+2y─3=0 19.解：(1)由{y＝x＋b， x2＝4y 得 x2－4x－4b＝0，(*) 因为直线 l 与抛物线 C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得 b＝－1. (2)由(1)可知 b＝－1，故方程(*)即为 x2－4x＋4＝0， 解得 x＝2，代入 x2＝4y，得 y＝1. 故点 A(2，1)，因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切， 所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 与抛物线的准线 y＝－1 的距离，即 r＝|1－(－1)|＝2， 所以圆 A 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4. 4 )4(3)41(3 22 2 xxy −=−= 4 3 4 4 )4(3 422 2 2 2 2 21 −=− − =−=−•+=• x x x y x y x ykk PAPA 31 4 1 422 −+−+−+ λ λ λ yxyx λ+1 2 λ λ +1 2 λ+1 2 λ λ +1 2 3 1−=λ 20.解：法一：椭圆 x2＋4y2＝64，即 x2 64＋ y2 16＝1，其焦点是(±4 3，0)． 设双曲线方程为 x2 a2－ y2 b2＝1(a＞0，b＞0)，其渐近线方程是 y＝± b ax. 又因为双曲线的一条渐近线方程为 x－ 3y＝0，所以 a b＝ 3. 又由 a2＋b2＝c2＝48，解得 a2＝36，b2＝12. 所以所求双曲线方程为 x2 36－ y2 12＝1. 法二：由双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为 x2 64－λ－ y2 λ－16＝1(16＜λ＜64)． 因为双曲线的一条渐近线方程为 x－ 3y＝0，即 y＝ 1 3 x， 所以 λ－16 64－λ＝ 1 3，所以 λ＝28. 故所求双曲线方程为 x2 36－ y2 12＝1. 21.解：(1)将(1，－2)代入 y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，∴p＝2， 故所求的抛物线方程为 y2＝4x，其准线方程为 x＝－1. (2)假设存在符合题意的直线 l，其方程为 y＝－2x＋t， 由Error!得 y2＋2y－2t＝0， 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得 t≥－ 1 2. 另一方面，由直线 OA 与直线 l 的距离等于 5 5 可得 |t| 5＝ 5 5 ，∴t＝±1， 由于－1∉ ，1∈ ， 所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 y＝－2x＋1. 22.(1)解：由题意有 a2－b2 a ＝ 2 2 ， 4 a2＋ 2 b2＝1，解得 a2＝8，b2＝4， 所以椭圆 C 的方程为 x2 8 ＋ y2 4 ＝1. (2)证明：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，把 y＝kx＋ b 代入 x2 8 ＋ y2 4 ＝1 得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 故 xM＝ x1＋x2 2 ＝ －2kb 2k2＋1，yM＝kxM＋b＝ b 2k2＋1，于是直线 OM 的斜率 kOM＝ yM xM＝－ 1 2k， 所以 kOM·k＝－ 1 2，所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值． ),2 1[ +∞− ),2 1[ +∞−