数学卷·2018届浙江省绍兴市诸暨市牌头中学高二下学期期中数学试卷（a卷）（解析版） 19页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年浙江省绍兴市诸暨市牌头中学高二（下）期中数学试卷（A卷）‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1．曲线在x=1处切线的倾斜角为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎2．已知复数（i为虚数单位），那么z的共轭复数为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”（如213），若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的有（　　）个．‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎4．书架上有2本不同的语文书，1本数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是语文书的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．5的展开式中，x4y3的系数为（　　）‎ A．8 B．9 C．10 D．12‎ ‎6．若（x∈R），则值为（　　）‎ A．1 B．0 C．﹣ D．﹣1‎ ‎7．《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（　　）‎ A．144种 B．288种 C．360种 D．720种 ‎8．定义方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），t（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞a＞c ‎9．设函数f（0）x=sinx，定义f（1）x=f′，f（2）（x）=f′，…，f（n）（x）=f′，则f（1）‎ ‎（150）+f（2）（150）+f（3）（150）+…+f（2017）（150）的值是（　　）‎ A． B． C．0 D．1‎ ‎10．设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2017x1+log2017x2+…+log2017x2016的值为（　　）‎ A．﹣log20172016 B．﹣1‎ C．log20172016﹣1 D．1‎ ‎11．已知，则a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…2016a2016+2017a2017（　　）‎ A．2017 B．4034 C．﹣4034 D．0‎ ‎12．8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法？（　　）‎ A．1094 B．966 C．5796 D．6561‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．与直线2x﹣6y+1=0垂直，且与曲线f（x）=x3+3x2﹣1相切的直线方程是　 　．‎ ‎14．若函数f（x）=（x2+mx）ex的单调减区间是，则实数m的值为　 　．‎ ‎15．二项式的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项为﹣160，则a=　 　．‎ ‎16．若直线y=kx+b是曲线y=ex+2的切线，也是曲线y=ex+1的切线，则b=　 　．‎ ‎17．若复数z1，z2满足|z1|=2，|z2|=3，3z1﹣2z2=，则z1•z2=　 　．‎ ‎18．四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中不共面的4点，不同的取法共有　 　种．‎ ‎　‎ 三、解答题（19题10分，20题，21题各12分，22题16分）‎ ‎19．7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：‎ ‎（1）甲、乙两人相邻；‎ ‎（2）甲、乙之间隔着2人；‎ ‎（3）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变；‎ ‎（4）甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底（3人身高不同）的站法；‎ ‎（5）若甲、乙两人去坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法．‎ ‎20．设f（n）=（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f（n）具有性质P．‎ ‎（1）求证：f（7）具有性质P；‎ ‎（2）若存在n≤2016，使f（n）具有性质P，求n的最大值．‎ ‎21．若不等式对一切正整数n都成立，‎ ‎（1）猜想正整数a的最大值，‎ ‎（2）并用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎22．已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．‎ ‎（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；‎ ‎（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若在上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年浙江省绍兴市诸暨市牌头中学高二（下）期中数学试卷（A卷）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．曲线在x=1处切线的倾斜角为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】欲求在x=1处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴y′=x2，‎ 设曲线在x=1处切线的倾斜角为α，‎ 根据导数的几何意义可知，切线的斜率k=y′|x=1=12=1=tanα，‎ ‎∴α=，即倾斜角为．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的性质可求倾斜角，本题属于容易题．‎ ‎　‎ ‎2．已知复数（i为虚数单位），那么z的共轭复数为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：复数==，那么z的共轭复数为=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”（如213），若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的有（　　）个．‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【考点】D8：排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在1，2，3，4中任选3个，作为a，b，c，②、结合“凹数”的定义，将取出的3个数中最小的作为b，剩余2个数全排列，作为a、c；分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①、在1，2，3，4中任选3个，作为a，b，c，有C43=4种情况，‎ ‎②、由于“凹数”要求a＞b，b＜c，将取出的3个数中最小的作为b ‎，剩余2个数全排列，作为a、c，‎ 有A22=2种情况，‎ 则一共有4×2=8种情况，即有8个“凹数”；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查排列、组合的应用，关键是理解“凹数”的定义．‎ ‎　‎ ‎4．书架上有2本不同的语文书，1本数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是语文书的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的书恰好都是语文书包含的基本事件个数，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：书架上有2本不同的语文书，1本数学书，‎ 从中任意取出2本，基本事件总数n==3，‎ 取出的书恰好都是语文书包含的基本事件个数m==1，‎ 取出的书恰好都是语文书的概率为p==．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎5．（x2﹣x+y）5的展开式中，x4y3的系数为（　　）‎ A．8 B．9 C．10 D．12‎ ‎【考点】DB：二项式系数的性质．‎ ‎【分析】由题意，由题意，含y3的为C53（x2﹣x）2y3，而（x2﹣x）2含x4的系数为1，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，含y3的为C53（x2﹣x）2y3，‎ 而（x2﹣x）2含x4的系数为1‎ ‎∴x4y3的系数为C53=10．‎ 故选：C ‎【点评】本题考查乘法原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎6．若（x∈R），则值为（　　）‎ A．1 B．0 C．﹣ D．﹣1‎ ‎【考点】DB：二项式系数的性质．‎ ‎【分析】根据题意，先令x=0，求出a0，再令x=，求出++…+=﹣1，问题得以解决 ‎【解答】解：（x∈R），‎ 令x=0，则a0=1，‎ 令x=时，（1﹣2×）2013=a0+++…+=0，‎ ‎∴++…+=﹣1，‎ ‎∴=﹣，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查二项式系数的性质，解题中采用的赋值法，是常见的解法，需要特别注意．‎ ‎　‎ ‎7．《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（　　）‎ A．144种 B．288种 C．360种 D．720种 ‎【考点】D8：排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】根据题意，分2步进行分析：①、用倍分法分析《将进酒》、《望岳》和另两首诗词的排法数目，②、用插空法分析《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①、将《将进酒》、《望岳》和另两首诗词的4首诗词全排列，有A44=24种顺序，‎ 由于《将进酒》排在《望岳》前面，‎ 则这4首诗词的排法有=12种，‎ ‎②、这4首诗词排好后，不含最后，有4个空位，‎ 在4个空位中任选2个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，‎ 有A42=12种安排方法，‎ 则后六场的排法有12×12=144种；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查排列、组合的应用，关键是分析题意，找到满足题意的分步分析的步骤．‎ ‎　‎ ‎8．定义方程f（x）=f'（x）的实数根x0‎ 叫做函数的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），t（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞a＞c ‎【考点】54：根的存在性及根的个数判断；51：函数的零点．‎ ‎【分析】通过构造函数F（x）=f（x）﹣f'（x），f（x）的“新驻点”就是函数F（x）的零点，再依次确定a，b，c的范围得答案．‎ ‎【解答】解：对于g（x）=x，构造F（x）=g（x）﹣g'（x）=x﹣1，依题意，函数F（x）的零点就是函数g（x）的“新驻点”，得a=1；‎ 对于h（x）=ln（x+1），构造G（x）=h（x）﹣h'（x）=ln（x+1）﹣，‎ G（x）单调递增，且G（0）=﹣1＜0，G（1）=ln2﹣＞0，∴G（x）的零点b∈（0，1）；‎ 对于t（x）=x3﹣1，构造H（x）=t（x）﹣t'（x）=x3﹣3x2﹣1，‎ H′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），当x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）上，H′（x）＞0；当x∈（0，2）上，H′（x）＜0．‎ ‎∴H（x）的增区间为（﹣∞，0），（2，+∞）；减区间为（0，2）．‎ ‎∵H（0）=﹣1＜0，∴H（x）只有1个零点，‎ ‎∵H（3）=﹣1＜0，H（4）=15＞0，∴H（x）的零点c∈（3，4）．‎ 综上可得，c＞a＞b，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查零点存在定理的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．设函数f（0）x=sinx，定义f（1）x=f′，f（2）（x）=f′，…，f（n）（x）=f′，则f（1）（150）+f（2）（150）+f（3）（150）+…+f（2017）（150）的值是（　　）‎ A． B． C．0 D．1‎ ‎【考点】63：导数的运算．‎ ‎【分析】求函数的导数，得到函数导数具备周期性，结合三角函数的运算公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：f（0）x=sinx，则f（1）x=cosx，f（2）（x）=﹣sinx，f（3）（x）=﹣cosx，‎ f（5）x=sinx，则f（5）x=f（1）（x），即f（n+4）（x）=f（n）（x），‎ 则f（n）（x）是周期为4的周期函数，‎ 则f（1）（x）+f（2）（x）+f（3）（x）+f（4）（x）=sinx+cosx﹣sinx﹣cosx=0，‎ 则f（1）（150）+f（2）（150）+f（3）（150）+…+f（2017）（150）=f（1）（150）（150）=cos15°=cos（450﹣300）‎ ‎=cos45°cos30°+sin45°sin30°=×+×=，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的导数的计算，根据条件得到函数的导数具备周期性是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2017x1+log2017x2+…+log2017x2016的值为（　　）‎ A．﹣log20172016 B．﹣1‎ C．log20172016﹣1 D．1‎ ‎【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；4H：对数的运算性质．‎ ‎【分析】求出函数y=xn+1（n∈N*）的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得在（1，1）处的切线方程，取y=0求得xn，然后利用对数的运算性质得答案．‎ ‎【解答】解：由y=xn+1，得y′=（n+1）xn，∴y′|x=1=n+1，‎ ‎∴曲线y=xn+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），‎ 取y=0，得xn=1﹣=，‎ ‎∴x1x2…x2016=××…×=，‎ 则log2017x1+log2017x2+…+log2017x2016=log2017（x1x2…x2016）‎ ‎=log2017=﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了对数的运算性质，考查转化思想和运算能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎11．已知，则a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…2016a2016+2017a2017（　　）‎ A．2017 B．4034 C．﹣4034 D．0‎ ‎【考点】DC：二项式定理的应用．‎ ‎【分析】对式子两边求导，令x=0即可得出答案．‎ ‎【解答】解：令f（x）=（1﹣2x）2017，则f′（x）=﹣2×2017（1﹣2x）2016，‎ ‎∴f′（0）=﹣4034，‎ 又f（x）=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017，‎ ‎∴f′（x）=a1+2a2（x﹣1）+3a3（x﹣1）2+…+2017a2017（x﹣1）2016，‎ ‎∴f′（0）=a1﹣2a2+3a3+…+2017a2017=﹣4034．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了二项式定理的应用、导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法？（　　）‎ A．1094 B．966 C．5796 D．6561‎ ‎【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】根据空盒的多少分三类，根据分类计数原理可得 ‎【解答】解：第一类：有2和空盒子，即把8个不同的球放在同一个盒子里，故有1种，‎ 第二类，有1个空盒子，8个球可以分为（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）故有C81+C82+C83+C84=127种，‎ 第三类，没有空盒子，8个球可以分（1，1，6），（1，2，5），（1，3，4），（2，2，4），（2，3，3）‎ 故有C81C71+C81C72+C81C73+C82C62+C82C63=966种，‎ 根据分类计数原理可得共有1+127+966=1094，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题 ‎　‎ 二、填空题 ‎13．与直线2x﹣6y+1=0垂直，且与曲线f（x）=x3+3x2﹣1相切的直线方程是　3x+y+2=0　．‎ ‎【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】设所求的直线方程为y=﹣3x+m，切点为（n，n3+3n2﹣1），根据函数在切点处的导数即为切线的斜率，求出n值，可得切点的坐标，用点斜式求得切线的方程．‎ ‎【解答】解：设所求的直线方程为y=﹣3x+m，切点为（n，n3+3n2﹣1）‎ 则由题意可得3n2+6n=﹣3，∴n=﹣1，‎ 故切点为（﹣1，1），代入切线方程 y=﹣3x+m可得m=﹣2，‎ 故设所求的直线方程为3x+y+2=0．‎ 故答案为：3x+y+2=0．‎ ‎【点评】本题考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于﹣1，函数在某点的导数的几何意义，求出切点的坐标是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．若函数f（x）=（x2+mx）ex的单调减区间是，则实数m的值为　　．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数f（x）的导数，得到﹣，1是方程x2+（m+2）x+m=0的根，根据韦达定理求出m的值即可．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=（x2+mx）ex，∴f′（x）=ex，‎ 由题意得：﹣，1是方程x2+（m+2）x+m=0的根，‎ ‎∴，解得：m=﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎15．二项式的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项为﹣160，则a=　1　．‎ ‎【考点】DB：二项式系数的性质．‎ ‎【分析】由题意可得：2n=64，解得n=6．再利用二项式定理的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由题意可得：2n=64，解得n=6．‎ ‎∴Tr+1=26﹣r（﹣a）rC6rx3﹣r，‎ 令3﹣r=0，解得r=3．‎ ‎∴23（﹣a）3C63=﹣160，‎ 化为：（﹣a）3=﹣1，‎ 解得a=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．若直线y=kx+b是曲线y=ex+2的切线，也是曲线y=ex+1的切线，则b=　4﹣2ln2　．‎ ‎【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】设直线y=kx+b与y=ex+2和y=ex+1的切点分别为和，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到b的值．‎ ‎【解答】解：设直线y=kx+b与y=ex+2和y=ex+1的切点分别为和，‎ 则切线分别为，，‎ 化简得：，，‎ 依题意有：，‎ 所以．‎ 故答案为：4﹣2ln2．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求得导数和设出切点是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．若复数z1，z2满足|z1|=2，|z2|=3，3z1﹣2z2=，则z1•z2=　　．‎ ‎【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由|z1|=2，|z2|=3，可得=4， =9，将其代入3z1﹣2z2进行整理化简出z1z2，再将3z1﹣2z2=代入即可．‎ ‎【解答】解：由3z1﹣2z2==‎ 可得=．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查了共轭复数的性质，，本题也可设三角形式进行运算，计算过程有一定的技巧．‎ ‎　‎ ‎18．四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中不共面的4点，不同的取法共有　141　种．‎ ‎【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去补合题意的结果．‎ ‎【解答】解：从10个点中任取4个点有C104种取法，‎ 其中4点共面的情况有三类．‎ 第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；‎ 第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；‎ 第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），‎ 它的4顶点共面，有3种．‎ 以上三类情况不合要求应减掉，‎ ‎∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．‎ 故答案为 141．‎ ‎【点评】本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．‎ ‎　‎ 三、解答题（19题10分，20题，21题各12分，22题16分）‎ ‎19．（2017春•诸暨市校级期中）7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：‎ ‎（1）甲、乙两人相邻；‎ ‎（2）甲、乙之间隔着2人；‎ ‎（3）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变；‎ ‎（4）甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底（3人身高不同）的站法；‎ ‎（5）若甲、乙两人去坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法．‎ ‎【考点】D8：排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】（1）（捆绑法），把甲乙二人捆绑在一起，再和其他5人全排列，‎ ‎（2）（捆绑法），先从5人选2人放着甲乙二人之间，并捆绑在一起，再和其他3人全排列，‎ ‎（3）（插空法），原先7人排列形成8个空，先插入1人，再从形成的9个空再插入1人，再从10个空中插入1人，‎ ‎（4）（分步计数法），从7人中任取3人，如a，b，c，则改变原位置站法有2种，b，c，a和c，a，b，‎ ‎（5）（定序法），先全排列，再除以顺序数，‎ ‎（6）（固定模型法），先排列甲的情况．‎ ‎【解答】解：（1）（捆绑法），把甲乙二人捆绑在一起，再和其他5人全排列，故有种，‎ ‎（2）（捆绑法），先从5人选2人放着甲乙二人之间，并捆绑在一起，再和其他3人全排列，故有种，‎ ‎（3）（插空法），原先7人排列形成8个空，先插入1人，再从形成的9个空再插入1人，再从10个空中插入1人，故有种，‎ ‎（4）（分步计数法），从7人中任取3人，如a，b，c，则改变原位置站法有2种，b，c，a和c，a，b，固有种，‎ ‎（5）（定序法），先全排列，再除以顺序数，故有种，‎ ‎（6）（固定模型法），甲、乙两人坐法有（2，4）（2，5）（2，6）（3，5）（3，6）（4，6）6种，故有6×种 ‎【点评】本题考查了排列的组合的问题，掌握常用的方法是关键，属于中档题 ‎　‎ ‎20．（2016•南京三模）设f（n）=（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f（n）具有性质P．‎ ‎（1）求证：f（7）具有性质P；‎ ‎（2）若存在n≤2016，使f（n）具有性质P，求n的最大值．‎ ‎【考点】DC：二项式定理的应用．‎ ‎【分析】（1）利用二项式定理计算可知f（7）的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为7、21、35，通过验证即得结论；‎ ‎（2）通过假设+=2，化简、变形可知（2k﹣n）2=n+2，问题转化为求当n≤2016时n取何值时n+2为完全平方数，进而计算可得结论．‎ ‎【解答】（1）证明：f（7）的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为=7、=21、=35，‎ ‎∵+=2，即、、成等差数列，‎ ‎∴f（7）具有性质P；‎ ‎（2）解：设f（n）具有性质P，则存在k∈N*，1≤k≤n﹣1，使、、成等差数列，‎ 所以+=2，‎ 整理得：4k2﹣4nk+（n2﹣n﹣2）=0，即（2k﹣n）2=n+2，‎ 所以n+2为完全平方数，‎ 又n≤2016，由于442＜2016+2＜452，‎ 所以n的最大值为442﹣2=1934，此时k=989或945．‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及等差数列等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（2017春•诸暨市校级期中）若不等式对一切正整数n都成立，‎ ‎（1）猜想正整数a的最大值，‎ ‎（2）并用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．‎ ‎【分析】（1）首先求出n=1时，一个不等式猜想a的最大值．‎ ‎（2）直接利用数学归纳法的证明步骤，通过n=1，假设n=k时猜想成立，证明n=k+1时猜想也成立，即可证明结果．‎ ‎【解答】解：（1）当n=1时，，即，‎ 所以a＜26，‎ a是正整数，所以猜想a=25．‎ ‎（2）下面利用数学归纳法证明，‎ ‎①当n=1时，已证；‎ ‎②假设n=k时，不等式成立，即，‎ 则当n=k+1时，‎ 有 ‎=‎ 因为 所以，‎ 所以当n=k+1时不等式也成立．‎ 由①②知，对一切正整数n，都有，‎ 所以a的最大值等于25．…（14分）‎ ‎【点评】本题考查数学归纳法证明猜想的步骤，注意证明n=k+1时必须用上假设，注意证明的方法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎22．（2017•新余二模）已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．‎ ‎（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；‎ ‎（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若在上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；‎ ‎（2）由题意可得即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；‎ ‎（3）原不等式等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜‎ ‎0，设m（x）=x﹣alnx+，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．‎ ‎【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，‎ 曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，‎ 由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，‎ 解得a=﹣2；‎ ‎（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，‎ 对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为 ‎＞0，‎ 令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，‎ 由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，‎ 可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，‎ 则a≥1，即a的取值范围是上存在一点x0，使得m（x0）＜0．‎ 对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，‎ 因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．‎ ‎①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．‎ ‎②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，‎ 令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），‎ 可得＜ln（a+1）‎ 考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立 ‎③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，‎ 又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．‎ 综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．‎ ‎【点评】本题给出二次函数和对数函数，求切线的方程和函数的单调性的运用，着重考查了导数的公式和运算法则、利用导数研究函数的单调性和导数在最大最小值问题中的应用等知识，属于中档题．‎ ‎　‎