2020届四川省成都市高三第一次诊断性检测数学（文）试题（解析版） 18页

‎2020届四川省成都市高三第一次诊断性检测数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若复数与（为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用复平面的对称得到答案.‎ ‎【详解】‎ 数与（为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复平面的对称问题，属于简单题.‎ ‎2．已知集合，，若，则实数的值为( )‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】根据集合并集的定义即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 集合，，且，所以或.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合并集的基本运算，属于基础题．‎ ‎3．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据得到，再利用二倍角公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二倍角公式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎4．已知命题：，，则为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接利用全称命题的否定定义得到答案.‎ ‎【详解】‎ 命题：，，则为： ，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了全称命题的否定，意在考查学生的推断能力.‎ ‎5．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类"的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据频率分布直方图求得中位数即可.‎ ‎【详解】‎ 在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，中位数为：.‎ 故选：A ‎【点评】‎ 本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各个矩形面积之和为1，也考查了中位数，属于基础题．‎ ‎6．设等差数列的前项和为，且，则( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 由等差数列的前项和为，＝＝，且，∴＝×3＝.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的前n项和，等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎7．已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( )‎ A．若，，且，则 B．若，，且，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 ‎【答案】C ‎【解析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．‎ ‎【详解】‎ 由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m与n异面，故A错误；‎ 由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误；‎ 由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，则m⊥n，故C正确；‎ 由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．‎ ‎8．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可.‎ ‎【详解】‎ 函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，‎ 再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）＝的图象.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．‎ ‎9．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点若，则线段的中点到轴的距离为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可.‎ ‎【详解】‎ 由抛物线方程，得其准线方程为：，设，，‎ 由抛物线的性质得，，中点的横坐标为，‎ 线段的中点到轴的距离为：.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线定义的应用，属于基础题．‎ ‎10．已知，，，则( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c＜1．‎ ‎【详解】‎ ‎∵＝，且=＝，∴，．∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题．‎ ‎11．已知直线与双曲线：相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示：为双曲线右焦点，连接，计算得到，再利用余弦定理得到，化简得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示：为双曲线右焦点，连接，根据对称性知 ‎，， ‎ 在和中，分别利用余弦定理得到：‎ ‎，‎ 两式相加得到 ‎ 故选： ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的离心率，根据条件计算出是解题的关键.‎ ‎12．已知定义在上的函数满足，当时，．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数的单调性和对称性画出函数图像，过定点，计算直线和曲线相切的情况计算斜率得到答案.‎ ‎【详解】‎ 当时，‎ 函数在上单调递减，在上单调递增，且 ‎，函数关于对称，过定点 ‎ 如图所示，画出函数图像：‎ 当与相切时，设切点为 ‎ 则 根据对称性考虑左边图像，根据图像验证知是方程唯一解，此时 故答案为 故选： ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了零点问题，对称问题，函数的单调性，画出函数图像是解题的关键.‎ 二、填空题 ‎13．已知实数满足约束条件，则的最大值为_______.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．‎ ‎【详解】‎ 作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）‎ ‎ ‎ 由得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，‎ 由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．‎ 由，解得A（2，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝2×2+2＝6.‎ 故答案为：6．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题．‎ ‎14．设正项等比数列满足，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将已知条件转化为基本量a1，q的方程组，解方程组得到a1，q，进而可以得到an．‎ ‎【详解】‎ 在正项等比数列中，，，‎ 得，解得，∴an＝＝3•3n﹣1＝3n.‎ 故答案为：3n ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题．‎ ‎15．已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角的大小为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设向量与的夹角为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的夹角，意在考查学生的计算能力.‎ ‎16．如图，在边长为2的正方形中，边，的中点分别为，，现将，，分别沿，，折起使点，，重合，重合后记为点，得到三棱锥．则三棱锥的外接球体积为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据两两垂直得到，代入体积公式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 易知两两垂直，‎ 将三棱锥放入对应的长方体内得到 ‎ ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三棱锥的外接球问题，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键.‎ 三、解答题 ‎17．在中，角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若的面积为，且，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由已知条件结合余弦定理可求cosA的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值．‎ ‎（2）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，∴由余弦定理可得2bccosA＝bc，∴cosA＝，‎ ‎∴在△ABC中，sinA＝＝．‎ ‎（2）∵△ABC的面积为，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6，‎ 又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6，‎ ‎，所以周长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎18．某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.‎ ‎（Ⅰ）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；‎ 属于“追光族”‎ 属于“观望者”‎ 合计 女性员工 男性员工 合计 ‎100‎ ‎（Ⅱ）已知被抽取的这l00名员工中有6名是人事部的员工，这6名中有3名属于“追光族”现从这6名中随机抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率．‎ 附：，其中.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（Ⅰ）表见解析，没有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性別”有关.（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）完善列联表，计算得到结论.‎ ‎（Ⅱ）设人事部的这6名中的3名“追光族”分别为“，，”，3名“观望者”分别为“，，，列出所有情况计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题，列联表如下：‎ 属于“追光族”‎ 属于“观望者”‎ 合计 女性员工 ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ 男性员工 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 合计 ‎40‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎∵，‎ ‎∴没有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性別”有关.‎ ‎（Ⅱ）设人事部的这6名中的3名“追光族”分别为“，，”，3名“观望者”分别为“，，”.则从人事部的这6名中随机抽取3名的所有可能情况有“；；；；；；；；；；；；；；；；；；；”共20种.‎ 其中，抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的所有可能情况有“；；；；；；；；”共9种.‎ ‎∴抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了列联表，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，且，，分别为，的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）点在棱上，且，证明：平面．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）证明见解析 ‎【解析】（Ⅰ）证明和得到平面.‎ ‎（Ⅱ）根据相似得到证明平面.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）如图，连接.∵底面为菱形，且，‎ ‎∴三角形为正三角形.‎ ‎∵为的中点，∴.又∵平面，平面，‎ ‎∴.‎ ‎∵，平面，∴平面.‎ ‎（Ⅱ）连接交于点，连接.‎ ‎∵为的中点，∴在底面中，，∴.‎ ‎∴，∴在三角形中，.‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面垂直和线面平行，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.‎ ‎20．已知函数，，为函数的导函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明对任意的都成立.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）证明见解析 ‎【解析】（Ⅰ）求导得到讨论，，和四种情况得到答案.‎ ‎（Ⅱ）要证明即，求导得到函数 得到证明.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）.‎ ‎∵，，‎ ‎∴当时，，函数在内单调递减，在内单调递增；‎ 当时，，函数在内单调递增，‎ 在内单调递减，在内单调递增；‎ 当时，，函数在内单调递增；‎ 当时，，函数在内单调递增，在内单调递减，‎ 在内单调递增.‎ ‎（Ⅱ）当时，，，.‎ ‎∴.‎ 令，则.‎ 令，∵函数在内单调递增，，，‎ ‎∴存在唯一的，使得.‎ ‎∵当时，；当时，；‎ ‎∴函数在内单调递减，在内单调递增.‎ 又∵，，‎ ‎∴，即对任意的都成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值是解题的关键 ‎21．已知椭圆：的右焦点为，过点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于，两点，直线：与轴相交于点，为线段的中点，直线与直线的交点为.‎ ‎（Ⅰ）求四边形（为坐标原点）面积的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）证明直线与轴平行.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析 ‎【解析】（Ⅰ）令直线：，联立方程利用韦达定理得到 ‎，，，换元带入化简得到答案.‎ ‎（Ⅱ）直线的方程为，令得，.代入（Ⅰ）中式子化简得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题，，令直线：，，.‎ 联立消去，得.‎ ‎∵，，，‎ ‎∴.‎ ‎∴四边形的面积.‎ 令，∴，∴.‎ ‎∵（当且仅当即时取等号），∴.‎ ‎∴四边形面积的取值范围为.‎ ‎（Ⅱ）∵，，∴.‎ ‎∴直线的斜率，直线的方程为.‎ 令得，.……①‎ 由（Ⅰ），，.‎ ‎∴，.‎ 化简①，得.‎ ‎∴直线与轴平行.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了面积的范围，直线的平行问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，已知是曲线：上的动点，将绕点顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线，的极坐标方程；‎ ‎（2）在极坐标系中，点，射线与曲线，分别相交于异于极点的两点，求的面积.‎ ‎【答案】（1）曲线：，曲线：；（2）‎ ‎【解析】（1）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎（2）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M（3，）到射线的距离h＝，即可求得△MAB的面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：，‎ ‎∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；‎ ‎（2）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，‎ 又点到射线的距离为 的面积 ‎【点睛】‎ 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎23．已知函数 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，求证：‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）原不等式可化为：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，分段讨论求出即可；‎ ‎（2）由基本不等式得的最小值，转化为|x+|﹣f（x）≤恒成立即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原不等式化为，即 ‎①时，不等式化为，解得；‎ ‎②时，不等式化为，解得，；‎ ‎③时，不等式化为，解得，.‎ 综上可得：原不等式解集为.‎ ‎（2），‎ 当且仅当且时取等号.又，‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号.‎ ‎【点睛】‎ 考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，利用分类讨论的思想结合绝对值的性质和基本不等式的应用，属于中档题．‎