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- 2021-06-10 发布
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2018-2019学年陕西省西安中学高一上学期期末考试数学试题
一、单选题
1.过两点的直线的倾斜角为,则( )
A. B. C. D.1
【答案】C
【解析】由题意知直线AB的斜率为,
所以,
解得.选C.
2.某人用如图所示的纸片,沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”,正方形做灯底,且有一个三角形面上写上了“年”字,当灯旋转时,正好看到“新年快乐”的字样,则在①、②、③处应依次写上( )
A.快、新、乐 B.乐、新、快
C.新、乐、快 D.乐、快、新
【答案】A
【解析】根据四棱锥图形,正好看到“新年快乐”的字样,可知顺序为②年①③,即可得出结论.
【详解】
根据四棱锥图形,正好看到“新年快乐”的字样,可知顺序为②年①③,
故选:A.
【点睛】
本题考查四棱锥的结构特征,考查学生对图形的认识,属于基础题.
3.已知,点在轴上,,则点的坐标是( )
A. B.
C.或 D.
【答案】C
【解析】依题意设,根据,解得,所以选.
4.已知直线与直线互相垂直,垂足为,则的值为( )
A.20 B.-4 C.0 D.24
【答案】B
【解析】结合直线垂直关系,得到a的值,代入垂足坐标,得到c的值,代入直线方程,得出b的值,计算,即可。
【详解】
直线的斜率为,直线的斜率为,两直线垂直,可知,
将垂足坐标代入直线方程,得到,代入直线方程,得到,所以
,故选B。
【点睛】
考查了直线垂直满足的条件,关键抓住直线垂直斜率之积为-1,计算,即可,难度中等。
5.设是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,,则;②若,,,则;
③若,,则;④若,,则.
其中正确命题的序号是( )
A.① B.②和③
C.③和④ D.①和④
【答案】A
【解析】结合直线与平面垂直的性质和平行判定以及平面与平面的位置关系,逐项分析,即可.
【详解】
①选项成立,结合直线与平面垂直的性质,即可;②选项,m可能属于,故错误;③选项,m,n可能异面,故错误;④选项,该两平面可能相交,故错误,故选A.
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的性质,考查了平面与平面的位置关系,难度中等.
6.平行于直线且与圆相切的直线的方程是( )
A.或 B.或
C.或 D.或
【答案】A
【解析】设所求直线为,
由直线与圆相切得,
,
解得。所以直线方程为或。选A.
7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B.3π C. D.6π
【答案】B
【解析】本试题主要是考查了运用三视图还原几何体,并求解几何体的体积的运用。
由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1,高为6的圆柱,被截的一部分,如图
所求几何体的体积为:×π×12×6=3π.故选B。
解决该试题的关键是本题考查三视图与几何体的关系,正确判断几何体的特征是解题的关键,考查计算能力.
8.已知点A(1,3)、B(-2,-1).若过点P(2,1)的直线l与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是 ( )
A. B.
C.或 D.
【答案】D
【解析】由已知直线恒过定点,如图.
若与线段相交,则,∵, ,∴,故选D.
9.如图,四棱锥的底面为正方形,底面,则下列结论中不正确的是( )
A.
B.平面
C.平面平面
D.与所成的角等于与所成的角
【答案】D
【解析】结合直线与平面垂直的判定和性质,结合直线与平面平行的判定,即可。
【详解】
A选项,可知可知,故,正确;
B选项,AB平行CD,故正确;
C选项,,故平面平面,正确;
D选项,AB与SC所成的角为,而DC与SA所成的角为,故错误,故选D。
【点睛】
考查了直线与平面垂直的判定和性质,考查了直线与平面平行的判定,考查了异面直线所成角,难度中等。
10.对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线,与圆 的位置关系是“平行相交”,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】圆C的标准方程为(x+1)2+y2=b2.由两直线平行,可得a(a+1)-6=0,解得a=2或a=-3.当a=2时,直线l1与l2重合,舍去;当a=-3时,l1:x-y-2=0,l2:x-y+3=0.由l1与圆C相切,得,由l2与圆C相切,得.当l1、l2与圆C都外离时, .所以,当l1、l2与圆C“平行相交”时,b满足,故实数b的取值范围是(,)∪(,+∞).故选D.
二、填空题
11.已知圆及直线,当直线被圆截得的弦长为时,的值等于________.
【答案】
【解析】结合题意,得到圆心到直线的距离,结合点到直线距离公式,计算a,即可。
【详解】
结合题意可知圆心到直线的距离,所以结合点到直线距离公式
可得,结合,所以。
【点睛】
考查了直线与圆的位置关系,考查了点到直线距离公式,难度中等。
12.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是 .
【答案】
【解析】试题分析:正四棱柱的高是4,体积是16,则底面边长为2,底面正方形的对角线长度为,所以正四棱柱体对角线的长度为,四棱柱体对角线为外接球的直径,所以球的半径为,所以球的表面积为.
【考点】正四棱柱外接球表面积.
13.方程有惟一解,则实数的范围是________.
【答案】或
【解析】结合题意,构造函数,转化为函数交点问题。
【详解】
构造函数,绘制图形,可知
直线位于1号位置和2,3号位置之间,
当直线位于1号位置时,
当直线位于2号位置时,,当直线位于3号位置时,,故
k的范围为
【点睛】
考查了数形结合思想,关键抓住唯一解时直线的位置,即可,难度中等。
14.正方体中,分别是,的中点,则直线与所成角的余弦值是_______.
【答案】
【解析】结合异面直线所成角的找法,找出角,构造三角形,计算余弦值,即可。
【详解】
连接,而,所以直线与所成角即为,设正方体边长为1,则,所以余弦值为。
【点睛】
考查了异面直线所成角的计算方法,关键得出直线与所成角即为,难度中等。
15.正三棱锥的底面边长为1,分别是,,,的中点,四边形的面积为,则的取值范围是________.
【答案】
【解析】结合题意,设出PC的长度,用其长度表示面积,计算PC长度的范围,即可.
【详解】
取FG的中点M,连接PM,PF,PG,因为该三棱锥为正三棱锥,可知
PF=PG,故,故,而AB平行FG,EF平行PC,可知,设PC=x,故,接下来计算a的范围,绘制图形,
当点P在平面ABC内,可知,故故的范围为
【点睛】
考查了正三棱锥的面积的范围,关键得出PC的长度,计算结果,即可,难度偏难.
三、解答题
16.求满足下列条件的直线方程.
(1)经过点A(-1,-3),且斜率等于直线3x+8y-1=0斜率的2倍;
(2)过点M(0,4),且与两坐标轴围成三角形的周长为12.
【答案】(1)3x+4y+15=0.(2)4x+3y-12=0或4x-3y+12=0.
【解析】试题分析:根据直线经过点A,再根据斜率等于直线3x+8y-1=0斜率的2倍求出斜率的值,然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程,化为一般式;直线经过点M(0,4),说明直线在y轴的截距为4,可设直线 在x轴的截距为a,利用三角形周长为12列方程求出a ,利用直线方程的截距式写出直线的方程,然后化为一般方程.
试题解析:
(1)因为3x+8y-1=0可化为y=-x+ ,
所以直线3x+8y-1=0的斜率为-,
则所求直线的斜率k=2×(-)=-
又直线经过点(-1,-3),
因此所求直线的方程为y+3=- (x+1),
即3x+4y+15=0.
(2)设直线与x轴的交点为(a,0),
因为点M(0,4)在y轴上,所以由题意有4+ +|a|=12,
解得a=±3,
所以所求直线的方程为或,
即4x+3y-12=0或4x-3y+12=0.
【点睛】当直线经过点A,并给出斜率的条件时,根据斜率与已知直线的斜率关系求出斜率值,然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程,化为一般式;当涉及到直线与梁坐标轴所围成的三角形的周长和面积时,一般利用直线方程的截距式解决问题较方便一些,但使用点斜式也好,截距式也好,它们都有不足之处,点斜式只能表达斜率存在的直线,截距式只能表达截距存在而且不为零的直线,因此使用时要注意补充答案.
17.有一圆与直线相切于点,且经过点,求此圆的方程.
【答案】
【解析】法一:设出圆的方程,代入B点坐标,计算参数,即可.法二:设出圆的方程,结合题意,建立方程,计算参数,即可。法三:设出圆的一般方程,代入A,B坐标,建立方程,计算参数,即可。法四:计算CA直线方程,计算BP方程,计算点P坐标,计算半径和圆心坐标,建立圆方程,即可。
【详解】
法一:由题意可设所求的方程为,
又因为此圆过点,将坐标代入圆的方程求得,
所以所求圆的方程为.
法二:设圆的方程为,
则圆心为,由,,
,解得,
所以所求圆的方程为.
法三:设圆的方程为,由,,在圆上,
得,解得,
所以所求圆的方程为.
法四:设圆心为,则,又设与圆的另一交点为,
则的方程为,
即.
又因为,
所以,所以直线的方程为.
解方程组,得,所以.
所以圆心为的中点,半径为.
所以所求圆的方程为.
【点睛】
考查了圆方程的计算方法,关键在于结合题意建立方程组,计算参数,即可,难度中等。
18.正方形和四边形所在的平面互相垂直,,,.
求证:(1) 平面;
(2) 平面.
【答案】详见解析
【解析】(1)由题意利用线面平行的判定定理证明题中的结论即可;
(2)由题意结合线面垂直的判定定理证明题中的结论即可.
【详解】
(1)如图设AC与BD交于点G.
因为EF∥AG,且EF=1,
AG=AC=1,
所以四边形AGEF为平行四边形.
所以AF∥EG.
因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,
所以AF∥平面BDE.
(2)连接FG,
∵EF∥CG,EF=CG=1,
∴四边形CEFG为平行四边形,
又∵CE=EF=1,∴▱CEFG为菱形,
∴EG⊥CF.
在正方形ABCD中,AC⊥BD.
∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,
∴BD⊥平面CEFG.∴BD⊥CF.
又∵EG∩BD=G,∴CF⊥平面BDE.
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定定理,线面垂直的判定定理等知识,意在考查学生的转化能力和空间想象能力.
19.已知点及圆.
(1)若直线过点且与圆心的距离为1,求直线的方程;
(2)设过点的直线与圆交于两点,当时,求以线段为直径的圆的方程;
(3)设直线与圆交于两点,是否存在实数,使得过点的直线垂直平分弦?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)或;(2);(3)不存在.
【解析】(1)设出直线方程,结合点到直线距离公式,计算参数,即可。(2)证明得到点P为MN的中点,建立圆方程,即可。(3)将直线方程代入圆方程,结合交点个数,计算a的范围,计算直线的斜率,计算a的值,即可。
【详解】
(1)直线斜率存在时,设直线的斜率为,则方程为,即.又圆的圆心为,半径,由,解得.
所以直线方程为,即.
当的斜率不存在时,的方程为,经验证也满足条件.
即直线的方程为或.
(2)由于,而弦心距,
所以.
所以恰为的中点.
故以为直径的圆的方程为.
(3)把直线代入圆的方程,消去,整理得.
由于直线交圆于两点,
故,
即,解得.
则实数的取值范围是.
设符合条件的实数存在,
由于垂直平分弦,故圆心 必在上.所以的斜率,
而,
所以.由于 ,
故不存在实数,使得过点的直线垂直平分弦.
【点睛】
考查了点到直线距离公式,考查了圆方程计算方法,考查了直线斜率计算方法,难度偏难。
20.如图1所示,在中, 分别为的中点,点为线段上的一点,将沿折起到的位置,使如图2所示.
(1)求证: //平面;
(2)求证: ;
(3)线段上是否存在点,使平面?请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【解析】(1)∵DE∥BC,由线面平行的判定定理得出
(2)可以先证,得出,∵∴
∴
(3)Q为的中点,由上问,易知,取中点P,连接DP和QP,不难证出, ∴∴,又∵∴