江西省南昌市新建县第一中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学（文）试卷 10页

江西省南昌市新建县第一中学2019-2020学年 高二下学期开学考试数学(文)试卷 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1. 若平面和直线，满足，，则与的位置关系一定是（ ）‎ ‎ A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 相交或异面 ‎2. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 收入x(万元)‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出y(万元)‎ ‎6.2‎ ‎7.5‎ ‎8.0‎ ‎8.5‎ ‎9.8‎ 根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)‎ A. 11.4‎万元 B. 11.8万元 C. 12.0万元 D. 12.2万元 ‎3. 设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎4. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为3，点是侧面的两条对角线的交点，则直线与底面所成角的正切值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 1‎ ‎5. 若实数，且满足，则实数的关系为 （ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A. 9＋ ‎ B. 18＋2 C. 9＋3 ‎ D. 18＋2‎ ‎7. 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(　　)‎ A. B. C. D. ‎8. 如图，在四面体ABCD中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，截面PQMN是正方形，则下列结论错误的为（ ）‎ A. AC⊥BD ‎ B. AC∥截面PQMN C. AC＝CD ‎ D. 异面直线PM与BD所成的角为45°‎ ‎9. 如图，在中，，是边上的高，平面，则图中直角三角形的个数是（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎10. 已知点在同一个球的球表面上，平面，，，，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 在正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成的角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 在三棱柱中，平面，，，，E，F分别是，上的点，则三棱锥的体积为（ ）‎ A. 6 B. 12 C. 24 D. 36‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）‎ ‎13. 如图所示，是水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法），若，，则的面积是________. ‎ ‎14. 一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是________. ‎ ‎15. 圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则上底面圆的半径为________. ‎ ‎16. 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________. ‎ 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17.（10分）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，，. 求证：‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）. ‎ ‎18.（12分）设函数f(x)＝|x－a|.‎ ‎（1）当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；‎ ‎（2）若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m＞0，n＞0)，求证：m＋2n≥4.‎ ‎19.（12分）某市地铁即将于2020年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下；‎ 月收入(单位：百元)‎ ‎[15,25)‎ ‎[25,35)‎ ‎[35,45)‎ ‎[45,55)‎ ‎[55,65)‎ ‎[65,75]‎ 赞成定价者人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ 认为价格偏高者人数 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（1）若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；‎ ‎（2）由以上统计数据填下面2×2列联表，分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.‎ 月收入不低于55百元的人数 月收入低于55百元的人数 总计 认为价格 偏高者 赞成定价者 总计 附：K2＝.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎20.（12分）如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD平面PAB. ‎ ‎（1）求证：AB平面PCB；‎ ‎（2）求异面直线AP与BC所成角的大小.‎ ‎21.（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，分别是棱的中点. ‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积. ‎ ‎22. （12分）如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点. ，，. ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由. ‎ 高二数学（文）试卷答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B C C A B A C C B A B ‎13.2 14. 15.a 16. 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17.（10分）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，，．‎ 求证：（1）平面；‎ ‎（2）．‎ ‎【解析】证明：（1）因为在中，点，分别是，的中点，‎ 所以，‎ 又因平面，平面，‎ 从而平面．‎ ‎（2）因为点是的中点，且，所以，‎ 又因，平面，平面，‎ ‎，故平面，‎ 因为平面，所以．‎ ‎18．（12分）设函数f(x)＝|x－a|.‎ ‎(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；‎ ‎(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m＞0，n＞0)，求证：m＋2n≥4.‎ ‎[解]　(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4，‎ ‎①当x≥2时，不等式可化为x－2＋x－1≥4，解得x≥；‎ ‎②当＜x＜时，不等式可化为2－x＋x－1≥4，‎ 不等式的解集为∅；‎ ‎③当x≤时，不等式可化为2－x＋1－x≥4，‎ 解得x≤－.‎ 综上可得，不等式的解集为∪.‎ ‎(2)证明：因为f(x)≤1，即|x－a|≤1，‎ 解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]．‎ 所以解得a＝1，‎ 所以＋＝1(m＞0，n＞0)，‎ 所以m＋2n＝(m＋2n) ‎＝2＋＋≥2＋2＝4，‎ 当且仅当m＝2，n＝1时取等号.‎ ‎19.（12分）某市地铁即将于2020年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下；‎ 月收入(单位：百元)‎ ‎[15,25)‎ ‎[25,35)‎ ‎[35,45)‎ ‎[45,55)‎ ‎[55,65)‎ ‎[65,75]‎ 赞成定价者人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ 认为价格偏高者人数 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；‎ ‎(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.‎ 月收入不低于55百元的人数 月收入低于55百元的人数 总计 认为价格 偏高者 赞成定价者 总计 附：K2＝.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎[解]　(1)“赞成定价者”的月平均收入为 x1＝ ‎≈50.56.‎ ‎“认为价格偏高者”的月平均收入为 x2＝ ‎＝38.75，‎ ‎∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2＝50.56－38.75＝11.81(百元).5分 ‎(2)根据条件可得2×2列联表如下：‎ 月收入不低于55百元的人数 月收入低于55百元的人数 总计 认为价格偏高者 ‎3‎ ‎29‎ ‎32‎ 赞成定价者 ‎7‎ ‎11‎ ‎18‎ 总计 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ K2＝≈6.27＜6.635，‎ ‎∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.12分 ‎20．（12分）如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD平面PAB． ‎ ‎(1) 求证：AB平面PCB；‎ ‎(2 求异面直线AP与BC所成角的大小；‎ ‎【解析】(1) ∵PC平面ABC，平面ABC，‎ ‎∴PCAB．∵CD平面PAB，平面PAB，‎ ‎∴CDAB．又，‎ ‎∴AB平面PCB． ‎ ‎(2) 过点A作AF//BC，且AF＝BC，连结PF，CF．‎ 则为异面直线PA与BC所成的角．‎ 由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CFAF．由三垂线定理，得PFAF．‎ 则AF＝CF＝，PF＝，‎ 在中， tan∠PAF＝＝，‎ ‎∴异面直线PA与BC所成的角为．‎ ‎21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，分别是棱的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）证明：如图，取中点为，连结，‎ 则，‎ 所以与平行与且相等，所以四边形是平行四边形，‎ 所以平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）连结，交于点，连结，‎ 因为为的中点，所以为的中位线，‎ 又因为平面，所以平面，‎ 即为三棱锥的高．‎ 在菱形中可求得，‎ 在中，，所以，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎22．（12分）如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】（1）证明：∵侧棱底面，平面，∴，‎ 又∵为棱的中点，，∴．‎ ‎∵，，平面，∴平面，∴‎ ‎∵，∴．又∵，∴在和中，，‎ ‎∴，‎ 即，∴‎ ‎∵，，平面，∴平面．‎ ‎（2）解：当点为的中点，即时，平面平面 证明如下：‎ 设的中点为，连接，，∵，分别为，的中点，∴，‎ 且．又∵为的中点，∴，且，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴，‎ ‎∵平面，∴平面．又∵平面，‎ ‎∴平面平面．‎