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- 2021-06-10 发布
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§1.3
简单的逻辑联结词、全称量词
与
存在量词
基础知识
自主学习
课时作业
题型分
类
深度剖析
内容索引
基础知识 自主学习
1.
命题
p
∧
q
,
p
∨
q
,
綈
p
的真假判断
知识梳理
p
q
p
∧
q
p
∨
q
綈
p
真
真
____
真
假
真
假
____
真
假
假
真
假
真
____
假
假
假
____
____
真
假
真
假
真
2.
全称量词和存在量词
量词名词
常见量词
表示符号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
___
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
___
∀
∃
3.
全称命题和特称命题
命题名称
命题结构
命题简记
全称命题
对
M
中任意一个
x
,有
p
(
x
)
成立
特称命题
存在
M
中的一个
x
0
,使
p
(
x
0
)
成立
4.
含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀
x
∈
M
,
p
(
x
)
∃
x
0
∈
M
,
p
(
x
0
)
∀
x
∈
M
,
p
(
x
)
∃
x
0
∈
M
,
p
(
x
0
)
∃
x
0
∈
M
,
綈
p
(
x
0
)
∀
x
∈
M
,
綈
p
(
x
)
1.
含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)
p
∨
q
:
p
、
q
中有一个为真,则
p
∨
q
为真,即有真为真;
(2)
p
∧
q
:
p
、
q
中有一个为假,则
p
∧
q
为假,即有假即假;
(3)
綈
p
:与
p
的真假相反,即一真一假,真假相反
.
2.
含一个量词的命题的否定的规律是
“
改量词,否结论
”.
知识
拓展
判断下列结论是否正确
(
请在括号中打
“√”
或
“×”
)
(1)
命题
p
∧
q
为假命题,则命题
p
、
q
都是假命题
.(
)
(2)
命题
p
和
綈
p
不可能都是真命题
.(
)
(3)
若命题
p
、
q
至少有一个是真命题,则
p
∨
q
是真命题
.(
)
(4)
命题
綈
(
p
∧
q
)
是假命题,则命题
p
,
q
中至少有一个是真命题
.(
)
(5)
“
长方形的对角线相等
”
是特称命题
.(
)
(6)
命题
“
对顶角相等
”
的否定是
“
对顶角不相等
”.
(
)
思考辨析
×
√
√
×
×
×
1.
设命题
p
:函数
y
=
sin 2
x
的最小正周期
为
;
命题
q
:函数
y
=
cos
x
的图象关于直线
x
=
对称
,则下列判断正确的
是
A.
p
为真
B
.
綈
q
为假
C.
p
∧
q
为假
D.
p
∨
q
为真
考点自测
答案
解析
函数
y
=
sin 2
x
的最小正周期
为
=
π
,故命题
p
为假命题;
x
=
不是
y
=
cos
x
的对称轴,命题
q
为假命题,故
p
∧
q
为假
.
故选
C.
2.
已知命题
p
,
q
,
“
綈
p
为真
”
是
“
p
∧
q
为假
”
的
A.
充分不必要
条件
B
.
必要不充分条件
C.
充要条件
D
.
既不充分也不必要条件
答案
解析
綈
p
为真知
p
为假,可得
p
∧
q
为假;
反之,若
p
∧
q
为假,则可能是
p
真
q
假,从而
綈
p
为假,
故
“
綈
p
为真
”
是
“
p
∧
q
为假
”
的充分不必要条件,故选
A.
3.(
教材改编
)
下列命题中,为真命题的
是
答案
4.(
2017·
西安
调研
)
命题
“
全等三角形的面积一定都相等
”
的否定
是
A.
全等三角形的面积不一定都相等
B.
不全等三角形的面积不一定都相等
C.
存在两个不全等三角形的面积相等
D.
存在两个全等三角形的面积不相等
答案
解析
命题是省略量词的全称命题,易知选
D.
5.(2015·
山东
)
若
“
∀
x
∈
,
tan
x
≤
m
”
是真命题,则实数
m
的最小值为
___.
答案
解析
1
依题意,
m
≥
y
max
,即
m
≥
1.
∴
m
的最小值为
1.
题型分类 深度剖析
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
例
1
(1)
已知命题
p
:对任意
x
∈
R
,总有
2
x
>0
;
q
:
“
x
>1
”
是
“
x
>2
”
的充分不必要条件,则下列命题为真命题的
是
A.
p
∧
q
B
.(
綈
p
)
∧
(
綈
q
)
C.(
綈
p
)
∧
q
D.
p
∧
(
綈
q
)
答案
解析
∵
p
是真命题,
q
是假命题,
∴
p
∧
(
綈
q
)
是真命题
.
(2)(2016·
聊城模拟
)
若命题
“
p
∨
q
”
是真命题,
“
綈
p
为真命题
”
,
则
A.
p
真,
q
真
B.
p
假,
q
真
C.
p
真,
q
假
D.
p
假,
q
假
答案
解析
∵
綈
p
为真命题,
∴
p
为假命题,
又
p
∨
q
为真命题,
∴
q
为真命题
.
思维
升华
“
p
∨
q
”“
p
∧
q
”“
綈
p
”
等形式命题真假的判断步骤
(1)
确定命题的构成形式;
(2)
判断其中命题
p
、
q
的真假;
(3)
确定
“
p
∧
q
”“
p
∨
q
”“
綈
p
”
等形式命题的真假
.
跟踪训练
1
已知命题
p
:若
x
>
y
,则-
x
<
-
y
;命题
q
:若
x
>
y
,则
x
2
>
y
2
.
在命题
①
p
∧
q
;
②
p
∨
q
;
③
p
∧
(
綈
q
)
;
④
(
綈
p
)
∨
q
中,真命题
是
A.
①③
B.
①④
C
.
②③
D.
②④
答案
解析
当
x
>
y
时,-
x
<
-
y
,
故命题
p
为真命题,从而
綈
p
为假命题
.
当
x
>
y
时,
x
2
>
y
2
不一定成立,
故命题
q
为假命题,从而
綈
q
为真命题
.
由真值表知:
①
p
∧
q
为假命题;
②
p
∨
q
为真命题;
③
p
∧
(
綈
q
)
为真命题;
④
(
綈
p
)
∨
q
为假命题
,故
选
C.
例
2
不等式
组
的
解集记为
D
,有下面四个命题:
p
1
:
∀
(
x
,
y
)
∈
D
,
x
+
2
y
≥
-
2
,
p
2
:
∃
(
x
,
y
)
∈
D, x
+
2
y
≥
2
,
p
3
:
∀
(
x
,
y
)
∈
D
,
x
+
2
y
≤
3
,
p
4
:
∃
(
x
,
y
)
∈
D
,
x
+
2
y
≤
-
1.
其中的真命题
是
A.
p
2
,
p
3
B.
p
1
,
p
4
C.
p
1
,
p
2
D.
p
1
,
p
3
题型二 含有一个量词的命题
命题点
1
全称命题、特称命题的真假
答案
解析
画出不等式
组
的
可行域
D
如图阴影部分所示,
两直线交于点
A
(2
,-
1)
,
设直线
l
0
的方程为
x
+
2
y
=
0.
由图象可知,
∀
(
x
,
y
)
∈
D
,
x
+
2
y
≥
0
,
故
p
1
为真命题,
p
2
为真命题,
p
3
,
p
4
为假命题
.
命题点
2
含一个量词的命题的否定
答案
解析
将
“
∃
”
改为
“
∀
”
,对结论中的
“
>
”
进行否定,可知
C
正确
.
(2)(2015·
浙江
)
命题
“
∀
n
∈
N
*
,
f
(
n
)
∈
N
*
且
f
(
n
)
≤
n
”
的否定形式
是
A.
∀
n
∈
N
*
,
f
(
n
)
∉
N
*
且
f
(
n
)
>
n
B.
∀
n
∈
N
*
,
f
(
n
)
∉
N
*
或
f
(
n
)
>
n
C.
∃
n
0
∈
N
*
,
f
(
n
0
)
∉
N
*
且
f
(
n
0
)
>
n
0
D.
∃
n
0
∈
N
*
,
f
(
n
0
)
∉
N
*
或
f
(
n
0
)
>
n
0
答案
解析
由全称命题与特称命题之间的互化关系知选
D.
思维
升华
(1)
判定全称命题
“
∀
x
∈
M
,
p
(
x
)
”
是真命题,需要对集合
M
中的每一个元素
x
,证明
p
(
x
)
成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个
x
=
x
0
,使
p
(
x
0
)
成立
.
(2)
对全
(
特
)
称命题进行否定的方法
①
找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词
.
②
对原命题的结论进行否定
.
跟踪训练
2
(1)
下列命题是假命题的
是
A.
∃
α
,
β
∈
R
,使
sin(
α
+
β
)
=
sin
α
+
sin
β
B.
∀
φ
∈
R
,函数
f
(
x
)
=
sin(2
x
+
φ
)
都不是偶函数
答案
解析
D.
∀
a
>0
,函数
f
(
x
)
=
ln
2
x
+
ln
x
-
a
有零点
取
α
=
0
时,
sin(
α
+
β
)
=
sin
α
+
sin
β
,
A
正确;
对于三次函数
y
=
f
(
x
)
=
x
3
+
ax
2
+
bx
+
c
,
当
x
→
-
∞
时,
y
→
-
∞
,当
x
→
+
∞
时,
y
→
+
∞
,
当
f
(
x
)
=
0
时,
ln
2
x
+
ln
x
-
a
=
0
,
所以
∀
a
>0
,函数
f
(
x
)
=
ln
2
x
+
ln
x
-
a
有零点,
D
正确,综上可知选
B.
(2)(
2017·
福州质检
)
已知命题
p
:
“
∃
x
0
∈
R
,
”
,则
綈
p
为
A.
∃
x
0
∈
R
,
B.
∃
x
0
∈
R
,
C.
∀
x
∈
R
,
e
x
-
x
-
1>0
D.
∀
x
∈
R
,
e
x
-
x
-
1
≥
0
答案
解析
根据全称命题与特称命题的否定关系,
可得
綈
p
为
“
∀
x
∈
R
,
e
x
-
x
-
1>0
”
,故选
C.
题型三 含参数命题中参数的取值范围
例
4
(1)
已知命题
p
:关于
x
的方程
x
2
-
ax
+
4
=
0
有实根;命题
q
:关于
x
的函数
y
=
2
x
2
+
ax
+
4
在
[3
,+
∞
)
上是增函数,若
p
∧
q
是真命题,则实数
a
的取值范围是
__________________
___
_.
答案
解析
若命题
p
是真命题,则
Δ
=
a
2
-
16
≥
0
,
即
a
≤
-
4
或
a
≥
4
;若命题
q
是真命题,
∵
p
∧
q
是真命题,
∴
p
,
q
均为真,
∴
a
的取值范围是
[
-
12
,-
4]
∪
[4
,+
∞
).
[
-
12
,-
4]
∪
[4
,+
∞
)
(2)
已知
f
(
x
)
=
ln(
x
2
+
1)
,
g
(
x
)
=
( )
x
-
m
,若对
∀
x
1
∈
[0
,
3]
,
∃
x
2
∈
[1
,
2]
,使得
f
(
x
1
)
≥
g
(
x
2
)
,则实数
m
的取值范围
是
答案
解析
当
x
∈
[0,3]
时,
f
(
x
)
min
=
f
(0)
=
0
,当
x
∈
[1,2]
时,
引申探究
本
例
(
2)
中,若将
“
∃
x
2
∈
[1,2]
”
改为
“
∀
x
2
∈
[1,2]
”
,其他条件不变,则实数
m
的取值范围是
__________.
答案
解析
思维
升华
(1)
已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围
;
(
2)
含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数值域
(
或最值
)
解决
.
跟踪训练
3
(1)
已知命题
p
:
“
∀
x
∈
[0,1]
,
a
≥
e
x
”
,命题
q
:
“
∃
x
0
∈
R
,
+
4
x
0
+
a
=
0
”.
若命题
“
p
∧
q
”
是真命题,则实数
a
的取值范围
是
A.(4
,+
∞
)
B
.
[1,4]
C.
[e,4]
D
.(
-
∞
,-
1)
答案
解析
由题意知
p
与
q
均为真命题,由
p
为真,可知
a
≥
e
,
由
q
为真,知
x
2
+
4
x
+
a
=
0
有解,则
Δ
=
16
-
4
a
≥
0
,
∴
a
≤
4.
综上可知
e
≤
a
≤
4.
(2)
已知函数
f
(
x
)
=
x
2
-
2
x
+
3
,
g
(
x
)
=
log
2
x
+
m
,对任意的
x
1
,
x
2
∈
[1,4]
有
f
(
x
1
)>
g
(
x
2
)
恒成立,则实数
m
的取值范围是
__________.
答案
解析
f
(
x
)
=
x
2
-
2
x
+
3
=
(
x
-
1)
2
+
2
,
当
x
∈
[1,4]
时,
f
(
x
)
min
=
f
(1)
=
2
,
g
(
x
)
max
=
g
(4)
=
2
+
m
,
则
f
(
x
)
min
>
g
(
x
)
max
,即
2>2
+
m
,解得
m
<0
,
故实
数
m
的取值范围是
(
-
∞
,
0).
(
-
∞
,
0)
常用
逻辑用语
高频小考点
1
有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现,多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合,难度中等以下
.
解决这类问题应熟练把握各类内在联系
.
考点分析
典例
1
(1)
已知命题
p
:
∃
x
0
∈
R
,
+
1<2
x
0
;命题
q
:若
mx
2
-
mx
-
1<0
恒成立,则-
4<
m
<0
,
那么
A.
綈
p
为
假命题
B.
q
为真命题
C.
p
∨
q
为假
命题
D.
p
∧
q
为真命题
答案
解析
由于
x
2
-
2
x
+
1
=
(
x
-
1)
2
≥
0
,即
x
2
+
1
≥
2
x
,所以
p
为假命题;
对于命题
q
,当
m
=
0
时,-
1<0
恒成立
,所以
命题
q
为假命题
.
综上可知,
綈
p
为真命题,
p
∧
q
为假命题,
p
∨
q
为假命题,故选
C.
一、命题的真假判断
(2)
下列命题中错误的个数
为
①
若
p
∨
q
为真命题,则
p
∧
q
为真命题;
②“
x
>5
”
是
“
x
2
-
4
x
-
5>0
”
的充分不必要条件;
③
命题
p
:
∃
x
0
∈
R
,
+
x
0
-
1<0
,则
綈
p
:
∀
x
∈
R
,
x
2
+
x
-
1
≥
0
;
④
命题
“
若
x
2
-
3
x
+
2
=
0
,则
x
=
1
或
x
=
2
”
的逆否命题为
“
若
x
≠
1
或
x
≠
2
,则
x
2
-
3
x
+
2
≠
0
”.
A.1
B.2 C.3 D.4
答案
解析
对于
①
,若
p
∨
q
为真命题,则
p
,
q
至少有一个为真,即可能有一个为假,所以
p
∧
q
不一定为真命题,所以
①
错误;
对于
②
,由
x
2
-
4
x
-
5>0
可得
x
>5
或
x
<
-
1
,所以
“
x
>5
”
是
“
x
2
-
4
x
-
5>0
”
的充分不必要条件,所以
②
正确;
对于
③
,根据特称命题的否定为全称命题,可知
③
正确;
对于
④
,命题
“
若
x
2
-
3
x
+
2
=
0
,则
x
=
1
或
x
=
2
”
的逆否命题为
“
若
x
≠
1
且
x
≠
2
,则
x
2
-
3
x
+
2
≠
0
”
,所以
④
错误,所以错误命题的个数为
2
,故选
B.
典例
2
(1)
已知
p
:
x
≥
k
,
q
:
<
1
,如果
p
是
q
的充分不必要条件,则实数
k
的取值范围
是
A.[2
,+
∞
)
B
.(2
,+
∞
)
C.
[
1
,+
∞
)
D
.(
-
∞
,-
1
]
二、求参数的取值范围
答案
解析
即
(
x
-
2)(
x
+
1)>0
,
解得
x
<
-
1
或
x
>2
,由
p
是
q
的充分不必要条件,知
k
>2
,故选
B.
(2)(2016·
郑州一模
)
已知函数
f
(
x
)
=
x
+
,
g
(
x
)
=
2
x
+
a
,若
∀
x
1
∈
[
,
3]
,
∃
x
2
∈
[2,3]
使得
f
(
x
1
)
≥
g
(
x
2
)
,则实数
a
的取值范围
是
A.
a
≤
1 B.
a
≥
1 C.
a
≤
0
D.
a
≥
0
当且仅当
x
=
2
时,
f
(
x
)
min
=
4
,
当
x
∈
[2,3]
时,
g
(
x
)
min
=
2
2
+
a
=
4
+
a
,
依题意
f
(
x
)
min
≥
g
(
x
)
min
,
∴
a
≤
0
,故选
C.
答案
解析
三、利用逻辑推理解决实际问题
典例
3
(1)
甲、乙、丙三位同学被问到是否去过
A
,
B
,
C
三个城市时,
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过
B
城市;
乙说:我没去过
C
城市;
丙说:我们三人去过同一城市
.
由此可判断乙去过的城市为
________.
由题意可推断:甲没去过
B
城市,但比乙去的城市多,而丙说
“
三人去过同一城市
”
,
说明
甲去过
A
,
C
城市,而乙
“
没去过
C
城市
”
,说明乙去过
A
城市
,
由此可知
,乙去过的城市为
A
.
A
答案
解析
(2)
对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测:
甲:中国非第一名,也非第二名;
乙:中国非第一名,而是第三名;
丙:中国非第三名,而是第一名
.
竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第
____
名
.
由题意可知:甲、乙、丙均为
“
p
且
q
”
形式,所以猜对一半者也说了错误
“
命题
”
,即只有一个为真,所以可知丙是真命题
,
因此
中国足球队得了第一名
.
一
答案
解析
课时作业
1.
命题
p
:若
sin
x
>sin
y
,则
x
>
y
;命题
q
:
x
2
+
y
2
≥
2
xy
.
下列命题为假命题的
是
A.
p
∨
q
B.
p
∧
q
C.
q
D
.
綈
p
√
答案
解析
命题
p
假,
q
真,故命题
p
∧
q
为假命题
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2.
下列命题中,真命题
是
A.
∀
x
∈
R
,
x
2
>0
B
.
∀
x
∈
R
,-
10
,故
C
错,
D
正确
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3.(
2017·
西安质检
)
已知命题
p
:
∃
x
0
∈
R
,
则
A.
p
是假命题;
綈
p
:
∀
x
∈
R
,
log
2
(3
x
+
1)
≤
0
B.
p
是假命题;
綈
p
:
∀
x
∈
R
,
log
2
(3
x
+
1)>0
C.
p
是真命题;
綈
p
:
∀
x
∈
R
,
log
2
(3
x
+
1)
≤
0
D.
p
是真命题;
綈
p
:
∀
x
∈
R
,
log
2
(3
x
+
1)>0
√
答案
解析
∵
3
x
>0
,
∴
3
x
+
1>1
,则
log
2
(3
x
+
1)>0
,
∴
p
是假命题;
綈
p
:
∀
x
∈
R
,
log
2
(3
x
+
1)>0
,故选
B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4.(2016·
河北邯郸收官考试
)
已知
p
:
∀
x
∈
R
,
x
2
-
x
+
1>0
,
q
:
∃
x
0
∈
(0
,+
∞
)
,
sin
x
0
>1
,则下列命题为真命题的
是
A.
p
∨
(
綈
q
)
B
.(
綈
p
)
∨
q
C.
p
∧
q
D
.(
綈
p
)
∧
(
綈
q
)
√
答案
解析
∀
x
∈
R
,
sin
x
≤
1
,所以命题
q
是假命题
,
所以
p
∨
(
綈
q
)
是真命题,故选
A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5.
下列命题中的假命题
是
A.
∀
x
∈
R,
2
x
-
1
>0
B
.
∀
x
∈
N
*
,
(
x
-
1)
2
>0
C.
∃
x
0
∈
R
,
lg
x
0
<1
D
.
∃
x
0
∈
R
,
√
答案
解析
A
项,
∵
x
∈
R
,
∴
x
-
1
∈
R
,由指数函数性质得
2
x
-
1
>0
;
B
项,
∵
x
∈
N
*
,
∴
当
x
=
1
时,
(
x
-
1)
2
=
0
与
(
x
-
1)
2
>0
矛盾;
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6.(
2016
开封
一模
)
已知命题
p
1
:
∀
x
∈
(0
,+
∞
)
,有
3
x
>2
x
,
p
2
:
∃
θ
∈
R
,
sin
θ
+
cos
θ
=
,
则在命题
q
1
:
p
1
∨
p
2
;
q
2
:
p
1
∧
p
2
;
q
3
:
(
綈
p
1
)
∨
p
2
和
q
4
:
p
1
∧
(
綈
p
2
)
中,真命题
是
A.
q
1
,
q
3
B.
q
2
,
q
3
C.
q
1
,
q
4
D.
q
2
,
q
4
√
答案
解析
因为
y
=
( )
x
在
R
上是增函数,即
y
=
( )
x
>1
在
(0
,+
∞
)
上恒成立,所以
p
1
是真命题;
所以命题
q
1
:
p
1
∨
p
2
,
q
4
:
p
1
∧
(
綈
p
2
)
是真命题,选
C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A.(
-
∞
,-
1)
B
.(
-
1,3)
C.(
-
3
,+
∞
)
D
.(
-
3,1)
√
即
(
a
+
1)(
a
-
3)<0
,解得-
1<
a
<3
,故选
B.
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
*8.(2016·
湖南师大附中月考
)
函数
f
(
x
)
=
ln
x
-
(
a
>0)
,若
∃
x
0
∈
R
,使得
∀
x
1
∈
[
1,2
]
都有
f
(
x
1
)<
f
(
x
0
)
,则实数
a
的取值范围
是
A.(0,1)
B
.(1,2)
C.(2
,+
∞
)
D
.(0,1)
∪
(2
,+
∞
)
√
答案
解析
当
x
∈
(0
,
a
)
时,
f
′
(
x
)>0
,
f
(
x
)
单调递增
;
当
x
∈
(
a
,+
∞
)
时,
f
′
(
x
)<0
,
f
(
x
)
单调递减;
故
f
(
x
)
max
=
f
(
a
)
,
∃
x
0
∈
R
,使得
∀
x
1
∈
[1,2]
都有
f
(
x
1
)<
f
(
x
0
)
,
即
f
(
a
)>
f
(
x
1
)
对
∀
x
1
∈
[1,2]
恒成立,故
a
∉
[1,2]
,
所以
实数
a
的取值范围是
(0,1)
∪
(2
,+
∞
)
,选
D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9
.
以下
四
个命题:
①
∀
x
∈
R
,
x
2
-
3
x
+
2>0
恒成立;
②
∃
x
∈
Q
,
x
2
=
2
;
③
∃
x
∈
R
,
x
2
+
1
=
0
;
④
∀
x
∈
R,
4
x
2
>2
x
-
1
+
3
x
2
.
其中真命题的个数
为
A.0
B.1 C.2
D.4
√
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
∵
x
2
-
3
x
+
2>0
,
Δ
=
(
-
3)
2
-
4
×
2>0
,
∴
当
x
>2
或
x
<1
时,
x
2
-
3
x
+
2>0
才成立
,
∴①
为假命题;
当且仅当
x
=
时
,
x
2
=
2
,
∴
不存在
x
∈
Q
,使得
x
2
=
2
,
∴②
为假命题
;
对
∀
x
∈
R
,
x
2
+
1
≠
0
,
∴③
为假命题;
4
x
2
-
(2
x
-
1
+
3
x
2
)
=
x
2
-
2
x
+
1
=
(
x
-
1)
2
≥
0
,
即当
x
=
1
时,
4
x
2
=
2
x
-
1
+
3
x
2
成立,
∴④
为假命题
.
∴①②③④
均为假命题
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10.(2016·
成都模拟
)
已知函数
f
(
x
)
的定义域为
(
a
,
b
)
,若
“
∃
x
0
∈
(
a
,
b
)
,
f
(
x
0
)
+
f
(
-
x
0
)
≠
0
”
是假命题,则
f
(
a
+
b
)
=
________.
答案
解析
若
“
∃
x
0
∈
(
a
,
b
)
,
f
(
x
0
)
+
f
(
-
x
0
)
≠
0
”
是假命题
,
则
“
∀
x
∈
(
a
,
b
)
,
f
(
x
)
+
f
(
-
x
)
=
0
”
是真命题,即
f
(
-
x
)
=-
f
(
x
)
,
则
函数
f
(
x
)
是奇函数,则
a
+
b
=
0
,即
f
(
a
+
b
)
=
0.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11.
下列结论:
①
若命题
p
:
∃
x
0
∈
R
,
tan
x
0
=
1
;命题
q
:
∀
x
∈
R
,
x
2
-
x
+
1>0.
则命题
“
p
∧
(
綈
q
)
”
是假命题;
②
已知直线
l
1
:
ax
+
3
y
-
1
=
0
,
l
2
:
x
+
by
+
1
=
0
,则
l
1
⊥
l
2
的充要条件
是
=-
3
;
③
命题
“
若
x
2
-
3
x
+
2
=
0
,则
x
=
1
”
的逆否命题是:
“
若
x
≠
1
,则
x
2
-
3
x
+
2
≠
0
”.
其中正确结论的序号为
________.
答案
解析
①③
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
①
中命题
p
为真命题,命题
q
为真命题,
所以
p
∧
(
綈
q
)
为假命题,故
①
正确;
②
当
b
=
a
=
0
时,有
l
1
⊥
l
2
,故
②
不正确;
③
正确,所以正确结论的序号为
①③
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12.
已知命题
p
:
x
2
+
2
x
-
3>0
;命题
q
:
>
1
,若
“
(
綈
q
)
∧
p
”
为真,则
x
的取值范围是
___________________
___
______.
答案
解析
(
-
∞
,-
3)
∪
(1,2]
∪
[3
,+
∞
)
因为
“
(
綈
q
)
∧
p
”
为真,即
q
假
p
真,而
q
为真命题时
,
<
0
,
即
2<
x
<3
,所以
q
为假命题时,有
x
≥
3
或
x
≤
2
;
p
为真命题时,由
x
2
+
2
x
-
3>0
,解得
x
>1
或
x
<
-
3
,
所以
x
的取值范围是
{
x
|
x
≥
3
或
1
<
x
≤
2
或
x
<-
3}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13.(
2017·
江西五校联考
)
已知命题
p
:
∃
x
0
∈
R
,
(
m
+
1
)·(
+
1)
≤
0
,命题
q
:
∀
x
∈
R
,
x
2
+
mx
+
1>0
恒成立
.
若
p
∧
q
为假命题,则实数
m
的取值范围为
_______________________.
答案
解析
由命题
p
:
∃
x
0
∈
R
,
(
m
+
1
)(
+
1)
≤
0
可得
m
≤
-
1
,
由命题
q
:
∀
x
∈
R
,
x
2
+
mx
+
1>0
恒成立,可得-
2<
m
<2
,
因为
p
∧
q
为假命题,所以
m
≤
-
2
或
m
>
-
1.
(
-
∞
,-
2]
∪
(
-
1
,+
∞
)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14.
已知命题
p
:
“
∀
x
∈
R
,
∃
m
∈
R,
4
x
-
2
x
+
1
+
m
=
0
”
,若命题
綈
p
是假命题,则实数
m
的取值范围是
______
_
___.
答案
解析
若
綈
p
是假命题,则
p
是真命题,
即关于
x
的方程
4
x
-
2·2
x
+
m
=
0
有实数解,
由于
m
=-
(4
x
-
2·2
x
)
=-
(2
x
-
1)
2
+
1
≤
1
,
∴
m
≤
1.
(
-
∞
,
1]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
*15.
已知函数
f
(
x
)
=
(
x
≥
2)
,
g
(
x
)
=
a
x
(
a
>1
,
x
≥
2).
(1)
若
∃
x
0
∈
[2
,+
∞
)
,使
f
(
x
0
)
=
m
成立,则实数
m
的取值范围为
__________
;
答案
解析
当且仅当
x
=
2
时等号成立,
所以若
∃
x
0
∈
[2
,+
∞
)
,使
f
(
x
0
)
=
m
成立,
则实数
m
的取值范围为
[3
,+
∞
).
[3
,+
∞
)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(2)
若
∀
x
1
∈
[2
,+
∞
)
,
∃
x
2
∈
[2,
+
∞
)
使得
f
(
x
1
)
=
g
(
x
2
)
,则实数
a
的取值范围为
________.
答案
解析
因为当
x
≥
2
时,
f
(
x
)
≥
3
,
g
(
x
)
≥
a
2
,
若
∀
x
1
∈
[2
,+
∞
)
,
∃
x
2
∈
[2
,+
∞
)
使得
f
(
x
1
)
=
g
(
x
2
)
,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15