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- 2021-06-10 发布
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[基础题组练]
1.在空间内,下列命题正确的是( )
A.平行直线的平行投影重合
B.平行于同一直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
解析:选D.对于A,平行直线的平行投影也可能互相平行,或为两个点,故A错误;对于B,平行于同一直线的两个平面也可能相交,故B错误;对于C,垂直于同一平面的两个平面也可能相交,故C错误;而D为直线和平面垂直的性质定理,正确.
2.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:选B.当m∥β时,过m的平面α与β可能平行也可能相交,因而m∥βD/⇒α∥β;当α∥β时,α内任一直线与β平行,因为m⊂α,所以m∥β.综上知,“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.
3.(2020·杭州中学高三期中)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β
B.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β
C.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥β
D.若m∥n,m∥α,则n∥α
解析:选C.对于A,若α⊥γ,α⊥β,则γ与β平行或相交;对于B,若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α与β平行或相交;对于D,若m∥n,m∥α,则n∥α或n在平面α内.
4.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为边AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分别为BC,CD的中点,则( )
A.BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形
B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形
D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形
解析:选B.由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知EF綊BD,所以EF∥平面BCD.又H,G分别为BC,CD的中点,所以HG綊BD,所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形.
5.如图,若Ω是长方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EB1FHC1G后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,则下列结论不正确的是( )
A.EH∥FG B.四边形EFGH是矩形
C.Ω是棱柱 D.Ω是棱台
解析:选D.因为EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,
所以EH∥B1C1,所以EH∥平面BCGF,
又因为FG⊂平面BCGF,所以EH∥FG,故A正确;
因为B1C1⊥平面A1B1BA,EF⊂平面A1B1BA,
所以B1C1⊥EF,则EH⊥EF,
又由上面的分析知,EFGH为平行四边形,故它是矩形,故B正确;
因为EH∥B1C1∥FG,故Ω是棱柱,故C正确.
6.(2020·杭州二中期中考试)如图,在多面体ABCDEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB=DE,DG=2EF,则( )
A.BF∥平面ACGD
B.CF∥平面ABED
C.BC∥FG
D.平面ABED∥平面CGF
解析:选A.取DG的中点为M,连接AM,FM,如图所示.
则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形,所以DE綊FM,因为平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,所以AB∥DE,所以AB∥FM.又AB=DE,所以AB=FM,所以四边形ABFM是平行四边形,即BF∥AM.又BF⊄平面ACGD,所以BF∥平面ACGD.故选A.
7.如图,在空间四边形ABCD中,M∈AB,N∈AD,若=,则直线MN与平面BDC的位置关系是__________.
解析:在平面ABD中,=,
所以MN∥BD.
又MN⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,
所以MN∥平面BCD.
答案:平行
8.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________.
解析:因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面AB1C=AC,
所以EF∥AC,所以点F为DC的中点.
故EF=AC=.
答案:
9.(2020·宁波效实中学模拟)如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件________时,就有MN∥平面B1BDD1.(注:请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况)
解析:连接HN,FH,FN,则FH∥DD1,HN∥BD,所以平面FHN∥平面B1BDD1,只要M∈FH,则MN⊂平面FHN,所以MN∥平面B1BDD1.
答案:M位于线段FH上(答案不唯一)
10.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,点P是A1B1的中点,过点A1作与截面PBC1平行的截面,所得截面的面积是________.
解析:如图,取AB,C1D1的中点E,F,连接A1E,A1F,EF,则平面A1EF∥平面BPC1.
在△A1EF中,
A1F=A1E=,EF=2,
S△A1EF=×2×=,
从而所得截面面积为2 S△A1EF=2.
答案:2
11.如图,已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,点G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,点H是B1C1的中点.
(1)求证:E,B,F,D1四点共面;
(2)求证:平面A1GH∥平面BED1F.
证明:(1)因为AE=B1G=1,所以BG=A1E=2,
因为BG∥A1E,所以A1G∥BE.
又因为C1F綊B1G,
所以FG∥C1B1∥D1A1,所以四边形A1GFD1是平行四边形.
所以A1G∥D1F,所以D1F∥EB,
故E、B、F、D1四点共面.
(2)因为点H是B1C1的中点,所以B1H=.
又B1G=1,所以=.
又=,且∠FCB=∠GB1H=90°,
所以△B1HG∽△CBF,
所以∠B1GH=∠CFB=∠FBG,所以HG∥FB.
又由(1)知A1G∥BE,且HG∩A1G=G,
FB∩BE=B,所以平面A1GH∥平面BED1F.
12.如图,斜三棱柱ABCA1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.
(1)当等于何值时,BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.
解:(1)如图,取D1为线段A1C1的中点,
此时=1.
连接A1B交AB1于点O,连接OD1.
由棱柱的性质,知四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点.
在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,
所以OD1∥BC1.
又因为OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1,
所以BC1∥平面AB1D1.
所以=1时,BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知,平面BC1D∥平面AB1D1,
且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1,
平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O.
因此BC1∥D1O,同理AD1∥DC1.
所以=,=.
又因为=1,
所以=1,即=1.
[综合题组练]
1.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:
①没有水的部分始终呈棱柱形;
②水面EFGH所在四边形的面积为定值;
③棱A1D1始终与水面所在平面平行;
④当容器倾斜如图所示时,BE·BF是定值.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选C.由题图知,显然①是正确的,②是错的;
对于③因为A1D1∥BC,BC∥FG,
所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH,
所以A1D1∥平面EFGH(水面).
所以③是正确的;
因为水是定量的(定体积V).
所以S△BEF·BC=V,即BE·BF·BC=V.
所以BE·BF=(定值),即④是正确的,故选C.
2.(2020·杭州二中模拟)已知两个不重合的平面α,β,给定以下条件:
①α内不共线的三点到β的距离相等;
②l,m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β;
③l,m是两条异面直线,且l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.
其中可以判定α∥β的是( )
A.① B.②
C.①③ D.③
解析:选D.①中,α内的三点中如果一点在平面β的一侧,另两点在平面β的另一侧,也可满足这三点到β的距离相等,所以①不符合题意.②中,l与m平行时,α与β也可能相交.③中,如图所示,过直线l作一平面γ,设γ∩α=a,γ∩β=b.因为l∥α,l∥β,所以l∥a,l∥b,所以a∥b,过直线m作一平面σ,设σ∩α=c,σ∩β=d.因为m∥α,m∥β,所以m∥c,m∥d,所以c∥d,所以c∥β.因为l,m是两条异面直线,所以a,c必相交,所以α∥β,所以③符合题意.
3.在△ABC中,AB=5,AC=7,∠A=60°,G是重心,过G的平面α与BC平行,AB∩α=M,AC∩α=N,则MN=________.
解析:根据余弦定理,得
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=39,
所以BC=.
因为BC∥α,MN=α∩平面ABC,所以MN∥BC,
又G是△ABC的重心,连接AG交BC于D,
所以==,则MN=.
答案:
4.(2020·温州中学高考模拟)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点P是棱AD上一点,且AP=,过B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ,Q在直线CD上,则PQ=________.
解析:因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD,而平面B1D1P∩平面ABCD=PQ,平面B1D1P∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以B1D1∥PQ.
又因为B1D1∥BD,所以BD∥PQ,
设PQ∩AB=M,因为AB∥CD,
所以△APM∽△DPQ.所以==2,即PQ=2PM.
又知△APM∽△ADB,所以==,
所以PM=BD,又BD=a,所以PQ=a.
答案:a
5.(2020·杭州学军中学高三模拟)如图,一个侧棱长为l的直三棱柱ABCA1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度).若液面恰好分别过棱AC,BC,B1C1,A1C1的中点D,E,F,G.
(1)求证:平面DEFG∥平面ABB1A1;
(2)当底面ABC水平放置时,求液面的高.
解:(1)证明:因为D,E分别为棱AC,BC的中点,所以DE是△ABC的中位线,所以DE∥AB.又DE⊄平面ABB1A1,AB⊂平面ABB1A1,所以DE∥平面ABB1A1.同理DG∥平面ABB1A1,又DE∩DG=D,所以平面DEFG∥平面ABB1A1.
(2)当直三棱柱ABCA1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时,由(1)可知,液体部分是直四棱柱,其高即为原直三棱柱ABCA1B1C1容器的高,即侧棱长l,当底面ABC水平放置时,设液面的高为h,△ABC的面积为S,
则由已知条件可知,△CDE∽△CAB,且S△CDE=S,所以S四边形ABED=S.
由于两种状态下液体体积相等,
所以V液体=Sh=S四边形ABEDl=Sl,即h=l.
因此,当底面ABC水平放置时,液面的高为l.
6.如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8.点E,F分别在A1B1,D1C1上,过点E、F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形EFGH.
(1)求证:A1E=D1F;
(2)判断A1D与平面α的关系.
解:(1)证明:过点E分别作EM⊥AB于点M,EN⊥D1C1于点N.
设MH=m,NF=n.
因为EFGH是正方形,所以EF=EH=HF.
又在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1=8,BC=10.
所以102+n2=82+m2=[102+82+(m-n)2]
解得n=0,m=6.
所以N与F重合.所以A1E=D1N=D1F.
(2)由(1)知,A1D≠EG.又A1E∥DG.
所以四边形A1DGE是以A1D与EG为腰的梯形,
即A1D与EG相交.又EG⊂α.
所以直线A1D与平面α相交.