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- 2021-06-10 发布
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数学(文科)试题
(试题总分:150分;考试时间:120分钟)
一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每一小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,答案填写在答题卷上.
1.在复平面内,复数的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知,,则下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.用反证法证明命题“若,则全为”,其反设正确的是( )
A. 至少有一个为 B. 至少有一个不为
C. 全部为 D. 中只有一个为
4.设命题甲为:,命题乙为:,那么甲是乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知在平面直角坐标系xOy中,点P(x,y)是椭圆上的一个动点,则S=x+y的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
6.已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0.5,两个路口连续遇到红灯的概率为0.4,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率是( )
A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9
7.已知,,,则的最小值是( )
A.8 B.6 C.4 D.2
8. 已知函数,,若,,则的大小为( )
A. B. C. D.
0.05
0.025
0.010
0.001
3.841
5.024
6.635
10.828
9.在一次联考后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于分为优秀,分以下为非优秀,统计成绩后,得到如下的列联表,根据列联表的独立性检验,则可以认为成绩与班级有关系的把握为( )
公式:
优秀
非优秀
合计
甲班
50
60
乙班
20
50
合计
30
80
附表:
A.95% B.97.5% C.99.9% D.99%
10. 已知奇函数是R上的单调函数,若函数只有一个零点,则实数λ的值是( )
A. 1 B. C. D.
11.已知定义在上的偶函数的导函数为,对定义域内的任意,都有成立,则使得成立的的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.已知点,分别是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于,两点,若,则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 已知奇函数是R上的单调函数,若函数只有一个零点,则实数λ的值是( )
A. 1 B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.
13 复数z满足(1+i)z=|-i|,则=________.
14.曲线在点(1,1)处的切线方程为 .
15. 在极坐标系中,是极点,设点,则的面积是_________.
16. 已知类比以上等式可推测a,t的值,则a+t = .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.要求写出必要的证明、解答过程.
17.(本小题10分)设,且,,,用反证法证明:至少有一个大于.
18.(本小题满分12分)
已知复数z=.
(1)若复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称,求z1;
(2)若实数a,b满足z2+az+b=1-i,求z2=a+bi的共轭复数.
19.(本小题12分)在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y
+4=0,曲线C的参数方程(α为参数).
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为(4,),判断点P与直线l的位置关系;
(2)设点Q为曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
20. (本小题12分)某种新产品投放市场一段时间后,经过调研获得了时间x(天数)与
销售单价y(元)的一组数据,且做了一定的数据处理(如表),并作出了散点图(如图)
表中,.
(1)根据散点图判断,与哪一个更适宜作价格关于时间的回归方程类型?(不必说明理由)
(2)根据判断结果和表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)若该产品的日销售量(件)与时间x的函数关系为
,求该产品投放市场第几天的销售额最高?最高为多少元?(结果保留整数)
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
21.(本小题12分) 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.
(1)求C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M. 证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
22.(本题满分12分)设函数已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数在其定义域内为增函数,求的取值范围;
(3)在(2)的条件下,设函数,若在上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
A
D
C
C
A
D
C
C
B
数学(文科)试题参考答案
13. 1+i 14. 15. 5 16. 41
17. 证明:(反证法) 假设结论不成立,即 ,……3分
而
这与相矛盾 ……8分
故至少有一个大于。 ……10分
18.由已知得复数z======1+i. …2分
(1)因为复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称,则它们实部互为相反数,虚部相等,
所以z1=-1+i. …6分
(2)因为z2+az+b=1-i,所以(1+i)2+a(1+i)+b=1-i,
整理得a+b+(2+a)i=1-i,因为a,b∈R,所以a+b=1,且2+a=-1,
解得a=-3,b=4,所以复数z2=-3+4i, …12分
19.(1)把极坐标系下的点P(4,)化为直角坐标,得P(0,4). ….3分
因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x-y+4=0,所以点P在直线l上. …5分
(2)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为(cosα,sinα),它到直线l的距离d===cos(α+)+2,由此得,当cos(α+)=-1时,d取得最小值. …12分20(1)由散点图可以判断适合作作价格关于时间的回归方程类型; ….3分
(2)令,先建立关于的线性回归方程,由于, ….5分
∴,∴关于的线性方程为, ….7分
∴关于的线性方程为
(3) 设日销售额为,则
,
∴时,(元)
即该产品投放市场第天的销售额最高,最高约为元. ….12分
20. (1)由题意有=,+=1,解得a2=8,b2=4,所以椭圆C的方程为+=1.
….5分
(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),把y=kx+b代入+=1,
得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
故xM==,yM=kxM+b=,于是直线OM的斜率kOM==-,即kOM·k=-,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值. ….12分
22. (1)当a=1时,函数, ∴f(1)=1-1-ln1=0.,
曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=1+1-1=1.
从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=x-1, 即y=x-1. ….3分
(2).
要使f(x)在定义域(0,+∞)内增函数,只需f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立.
即:ax2-x+a≥0得:恒成立.
由于, ∴, ∴
∴f(x)在(0,+∞)内为增函数,实数a的取值范围是. …7分
(3)∵在[1,e]上是减函数
∴x=e时,g(x)min=1,x=1时,g(x)max=e,即g(x)∈[1,e]
f'(x)=令h(x)=ax2-x+a
当时,由(II)知f(x)在[1,e]上是增函数,f(1)=0<1
又在[1,e]上是减函数,故只需f(x)max≥g(x)min,x∈[1,e]
而f(x)max=f(e)=,g(x)min=1,即≥1
解得a≥ ∴实数a的取值范围是[,+∞) …12分