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- 2021-06-10 发布
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2019-2020学年安徽省滁州市定远县育才学校高二(实验班)上学期第三次月考数学(文)试题
一、单选题
1.已知直线,和平面,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】结合线面平行的判定定理和性质定理即可判断命题的真假
【详解】
直线,平面,且,若,当时,,当时不能得出结论,故充分性不成立;若,过作一个平面,若时,则有,否则不成立,故必要性也不成立.由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件,
故选D.
【点睛】
本题考查由线面平行的性质定理和判定定理判断命题的真假,属于基础题
2.直线和互相垂直,则实数的值是( )
A.或 B.2或 C.或1 D.2或1
【答案】D
【解析】根据直线垂直的充要条件得到:
化简为 或2 。
故选择D。
3.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是菱形,则该几何体的侧面积为( )
A.+ B.+ C.+ D.+
【答案】C
【解析】试题分析:该几何体的高为,底面对角线长为的菱形构成的四棱锥,如图所示,在直角三角形中,,所以,在三角形中,,所以,所以三角形是直角三角形,则该几何体的侧面积为
,故选C.
【考点】几何体的三视图及几何体的侧面积的计算.
【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图及几何体的侧面积的计算,着重考查了推理和运算能力及空间想象能力,属于中档试题,解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则,还原出原几何体的形状,本题的解答中根据给定的三视图得出该几何体的高为,底面对角线长为的菱形构成的四棱锥是解答的关键.
4.已知一个圆柱的底面半径和高分别为和,,侧面展开图是一个长方形,这个长方形的长是宽的2倍,则该圆柱的表面积与侧面积的比是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知,则该圆柱的表面积与侧面积的比是,选A.
5.曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个交点,则实数k的取值范围是( )
A.(,+∞) B.(,] C.(0,) D.(,]
【答案】D
【解析】根据直线的点斜式方程可得直线经过点,曲线表示以圆心半径为2的圆的上半圆,由此作出图形,求出半圆切线的斜率和直线与半圆相交时斜率的最小值,数形结合可得结果.
【详解】
根据题意画出图形,如图所示:
由题意可得:直线过A(2,4),B(-2,-1),
又曲线y=1+图象为以(0,1)为圆心,2为半径的半圆,
当直线与半圆相切,C为切点时,圆心到直线的距离d=r=2,
由解得:k=;
当直线过B点时,直线的斜率为=,
则直线与半圆有两个不同的交点时,
实数k的取值范围为(,],故答案为(,].故选D.
【点睛】
本题主要考查圆的方程与性质,直线与圆的位置关系,考查了数形结合思想的应用,属于中档题. 数形结合就是把抽象数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.
6.在正方体中, 分别为的中点,则异面直线所成角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连结分别为 中点, 为所成的角。在
中, 为面对角线
。故选D。
点睛:异面直线所成角的求解技巧:求异面直线所成的角采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行,强调对余弦定理的应用。
7.过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为( )
A. B.2 C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得,直线方程为: ,即,
圆的标准方程为: ,
圆心到直线的距离: ,
则弦长为: .
本题选择A选项.
点睛:圆的弦长的常用求法
(1)几何法:求圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则;
(2)代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式: .
8.若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】试题分析:圆的圆心在横轴上,且半径已知,可假设圆的方程为,因为直线与圆相切,即圆心到直线的距离等于半径,可求得,因为圆在纵轴的左侧,则必有,所以,则圆的方程为,正确选项为D.
【考点】圆的标准方程及其切线性质.
【思路点睛】本题考查圆和基础知识及直线与圆的位置关系等基础知识,设出圆心坐标因其在坐标轴上,所以只有一个变量,再由圆心到直线的距离等于半径即解得.设圆心为,则,再根据题意,以及圆的方程即可求出结果.
9.下列四个正方体图形中,为正方体的两个顶点,分别为其所在棱的中点,能得出平面的图形的序号是( )
A.①③ B.②④ C.②③ D.①④
【答案】D
【解析】在①中,由正方体性质得到平面MNP与AB所在平面平行,
∴AB∥平面MNP,故①成立;
②若下底面中心为O,则NO∥AB,NO∩面MNP=N,
∴AB与面MNP不平行,故②不成立;
③过P作与AB平行的直线PO,则PO与平面MNP相交,
∴AB与面MNP不平行,故③不成立;
在④中,AB与PN平行,∴AB平面MNP,故④成立.
综上所述,答案为①④.
本题选择D选项.
10.圆台的上、下两个底面圆的半径分别为和,母线与底面的夹角是,则圆台的母线长( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆台的轴截面是一个等腰梯形,腰长即为母线长,上底长为6,下底长为8,底角为
在上底的一个端点向下底作垂线,可得直角三角形,其中的下底-的上底为1,利用可得腰长为2
故选D
11.已知圆上有且只有两个点到直线的距离等于1,则半径的范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】圆心到直线的距离为:,
据此可知,满足题意时有:,
表示为区间的形式即.
本题选择A选项.
12.已知空间两条不同的直线和两个不同的平面,以下能推出“”的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
【答案】C
【解析】对于A,平面α,β可能平行或者相交但是不一定垂直;故A错误;
对于B,由m∥n,m⊥α得到n⊥α,又n⊥β,所以α∥β,得不到α⊥β;故B错误
对于D,m⊥n,m⊥α,α∩β=n,由此无法得到m与β的位置关系,因此α,β不一定垂直;故D错误;
对于C,由m∥n,m⊥α得到n⊥α,又n⊂β,所以α⊥β,故C正确;
本题选择C选项.
二、填空题
13.若直线与圆相交于两点,则 __________..
【答案】
【解析】由题意得直线方程即为,圆心到直线的距离,所以
。
答案:
14.已知三棱锥 ,面,中两直角边,,该三棱锥的外接球的表面积为,则三棱锥的体积为__________.
【答案】10
【解析】外接球的表面积为
,解得
,,
则
三棱锥的体积
15.已知空间四边形中,对角线,则空间四边形中平行于和的截面四边形的周长的取值范围是____________
【答案】
【解析】用平行于和的四边形截空间四边形,则其周长当一边无限接近6时,另一边趋近0,此时周长大于12,另一种情况则小于16,故答案为
16.过点M (0, 4) ,且被圆(x− 1) 2 + y 2= 4截得的线段长为的直线方程为_______.
【答案】15x+ 8y − 32 = 0 或x = 0
【解析】当直线与轴垂直时,圆心到直线的距离为,半径为,则弦长为符合题意,当直线与轴不垂直时,设直线的斜率为,则直线方程为,圆心到直线的距离为,根据勾股定理,可知,求得直线方程,故答案为或.
三、解答题
17.已知直线l:x-2y+2m-2=0.
(1)求过点(2,3)且与直线l垂直的直线的方程;
(2)若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4,求实数m的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)由直线的斜率为,可得所求直线的斜率为,代入点斜式方程,可得答案;(2)直线与两坐标轴的交点分别为,则所围成的三角形的面积为,根据直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为大于,构造不等式,解得答案.
试题解析:(1)与直线l垂直的直线的斜率为-2,
因为点(2,3)在该直线上,所以所求直线方程为y-3=-2(x-2),
故所求的直线方程为2x+y-7=0.
(2) 直线l与两坐标轴的交点分别为(-2m+2,0),(0,m-1),
则所围成的三角形的面积为×|-2m+2|×|m-1|.
由题意可知×|-2m+2|×|m-1|>4,化简得(m-1)2>4,
解得m>3或m<-1,
所以实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).
【方法点睛】本题主要考查直线的方程,两条直线平行与斜率的关系,属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一,这类问题以简单题为主,主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系:在斜率存在的前提下,(1) ;(2),这类问题尽管简单却容易出错,特别是容易遗忘斜率不存在的情况,这一点一定不能掉以轻心.
18.已知圆的圆心在直线:上,与直线:相切,且截直线:所得弦长为6
(Ⅰ)求圆的方程
(Ⅱ)过点是否存在直线,使以被圆截得弦为直径的圆经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)不存在直线.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由圆的圆心在直线:上,故可设圆心坐标为,再根据圆与直线相切,截直线:所得弦长为6,列出等式方程求解即可;(2)由题意过的直线斜率一定存在,设直线的方程为,以为直径的圆过原点,则,设,,则,联立直线与圆的方程,消去,得到关于的一元二次方程,由,利用韦达定理即可求出.
试题解析:(Ⅰ)设圆心
∵圆与直线相切
∴
∵ 圆截直线:所得弦长为6
∴圆到直线的距离为
∴
∴
∴圆心,
∴圆的方程
(Ⅱ)①当直线的斜率不存在时,不符合题意
②设:
设
∵被圆截得弦为直径的圆经过原点
∴ ,即
∴
联立直线与圆的方程
化简可得,即
∴,
∵,,
∴,即
∴
∵
∴无解
∴不存在直线.
点睛:直线与圆的位置关系一方面要体现方程思想,另一方面要结合已知条件,从图形角度求解.联立直线与圆的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法,涉及垂直的关系时往往利用根与系数的关系,设而不求法简化运算.
19.如图,已知正方体的棱长为3,分别是棱、上的点,且.
(1)证明:四点共面;
(2)求几何体的体积.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)欲证M,N,C,D1四点共面,转证MN∥A1B即可;
(Ⅱ)先证明几何体是一个三棱台,再求几何体的体积.
试题解析:
(1)证明:∵,,又,,
∴,且,
连接,则四边形是平行四边形,
所以
在中,,,
所以,所以
所以,所以四点共面.
(2)因为平面平面,
又四点共面,所以平面平面
延长与相交于点,因为
所以,即,解得,同理可得,所以点与点重合
所以三线相交于一点,
所以几何体是一个三棱台
所以.
20.如图,点是以为直径的圆周上的一点, , 平面,点 为中点.
(Ⅰ)求证:平面平面 ;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】试题分析:(I)由于是圆的直径,所以,由于平面,所以,所以平面,所以,根据等腰三角形三线合一有,故面,故面面.(II)设圆心为,过作的平行线,利用线面角的定义可知角即是线面角的平面角,通过解直角三角形求得线面角的大小.
试题解析:
(Ⅰ) 是圆的直径, ,
又中点, 所以
所以面面
(Ⅱ)
设圆心为O,则由 得且
取的中点,则,所以
连就是直线所成角,
所以 ,
所成角为
21.如图,在直三棱柱中,D是的中点.
(1)求证:平面;
(2)若,,,求几何体的体积
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)连接,交于点,连接,则.由此能证明平面.
(2)几何体的体积,由此能求出结果.
【详解】
证明:(1)连接,交于点,
则点是及的中点.
连接,则.
因为平面,平面,所以平面.
解:(2),,,
几何体的体积:
.
【点睛】
本题考查线面平行的证明,考查几何体的体积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
22.如图,在直三棱柱中,,,,,分别是,的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)求证:平面;
(3)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】(1)由直三棱柱侧棱与底面垂直可得,结合已知,得到平面,从而得到平面平面;
(2)取的中点,连接,.由三角形中位线定理可得,且,得到四边形为平行四边形,进一步得到.由线面平行的判定得到平面;
(3)由已知求解直角三角形得到,求得底面积,代入三棱锥体积公式求得三棱锥的体积.
【详解】
解析:(1)证明:在三棱柱中,
底面,所以.
又因为,,
所以平面,
又平面,
所以平面平面
(2)证明:取的中点,连接,.
因为,,分别是,,的中点,
所以,且,.
因为,且,所以,且,
所以四边形为平行四边形,所以.
又因为平面,平面,所以平面.
(3)因为,,,所以.
所以三棱锥的体积
.
【点睛】
本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直的判定,考查棱锥体积的求法,灵活运用中点推出线线平行是解答该题的关键,是中档题.