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- 2021-06-10 发布
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2017-2018学年山东师范大学附属中学高二下学期期中考试数学(理)试题
一、单选题
1.复数的模为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析:根据复数的除法运算和模的公式,即可求解.
详解:由,可得,故选A.
点睛:本题考查了复数的四则运算及复数模的求解,属于基础题,着重考查了学生推理与运算能力.
2.若,,如果与为共线向量,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析:利用向量共线定理,即可求解.
详解:因为和是共线向量,所以,解得,故选C.
点睛:本题考查了向量的共线定理,属于基础题,着重考查了推理与运算能力.
3.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ( )
A. 8 B. 24 C. 48 D. 120
【答案】C
【解析】
4.在二项式的展开式中,含的项的系数是 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析:根据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第项,令的指数为,再代入系数求出结果.
详解:根据所给的二项式写出展开式的通项,
令,解得,解得,
即的系数为,故选B.
点睛:本题考查了二项式定理的应用,此类问题解答的关键在于写出二项式展开式的通项,在这种题目中图象是解决二项展开式的特定项问题的工具,着重考查了推理与运算能力.
5.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( )
A. 假设至少有一个钝角
B. 假设至少有两个钝角
C. 假设没有一个钝角
D. 假设没有一个钝角或至少有两个钝角
【答案】B
【解析】由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”,故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,应假设至少有两个钝角,故选B.
【考点】反证法.
6.如图,是的重心,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】分析:利用平面向量的基本定理,把向量,用表示出来,从而求出系数即可.
详解:因为,
则
,故选D.
点睛:本题考查了空间向量的基本定理,及向量的线性运算,试题属于基础题,熟记向量的运算法则是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
7.除以88的余数是( )
A. B. 1 C. D. 87
【答案】B
【解析】分析:利用二项式定理的展开式转化为二项式形式,将二项式中的底数的底数写出用为一项的和形式,再利用二项式定理展开,即可求解余数.
详解:由题意
,
所以除以的余数为,故选B.
点睛:本题考查了二项式的余数问题,解决一个幂除以某数的余数问题时,应现将幂的底数写出用除数与另一个数的和的形式,再利用二项式定理展开即可求解,着重考查了推理与运算能力.
8.如图,在四棱锥中,底面是矩形,底面,是的中点,,则异面直线与所成的角的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析:以点为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,求得
,利用向量的夹角公式,即可求解.
详解:以点为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,
则,
则,
设异面直线和所成的角为,
则,
所以异面直线和所成的角为,故选B.
点睛:本题考查了异面直线所成的角的求解,其中把异面直线所成的角转化为向量所成的角,利用向量的夹角公式求解是解答的关键,对于对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解直线的方向向量和平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.
9.把个不同小球放入个分别标有号的盒子中,则不许有空盒子的放法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】A
【解析】分析:可分两步完成:①先把小球分成组;②再将分的组放在各盒子中,由分步计数原理即可求解.
详解:①根据题意,将把小球分成组,共有中不同的分法;
②再将分好的组小球放在各盒子中,共有种不同的放法,
由分步计数原理可得,共有种不同的放法,故选A.
点睛:本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用,有关排列组合的综合问题,往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题,解答这类问题理解题意很关键,一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”,在应用分类计数加法原理讨论时,既不能重复交叉讨论又不能遗漏,这样才能提高准确率.在某些特定问题上,也可充分考虑“正难则反”的思维方式.
10.已知是定义域为正整数集的函数,对于定义域内任意的,若成立,则成立,下列命题成立的是( )
A. 若成立,则对于任意,均有成立
B. 若成立,则对于任意的,均有成立
C. 若成立,则对于任意的,均有成立
D. 若成立,则对于任意的,均有成立
【答案】D
【解析】试题分析:本小题给出的条件是由成立推知成立,所以D正确.
【考点】本小题主要考查类比推理及其应用,考查学生的推理能力.
点评:对于此类问题,要注意看清题目,有时还要借助逆否命题进行判断.
11.对于非零实数,以下四个命题都成立:
①;②;③;④若,则.那么对于非零复数,仍然成立的命题的所有序号是( )
A. ②③ B. ①② C. ③④ D. ①④
【答案】A
【解析】分析:令,可判断①是否满足题目要求;由复数乘法的运算法则,可判断②是否满足要求;根据复数模的运算,可判定③是否符合要求,根据复数模的的定义,可判断④是否满足要求;进而得到答案.
详解:当,则,所以①不满足题意;
根据复数乘法的定义, 可判断成立,所以②满足题意;
根据复数模的定义可得是成立的,所以③满足题意,
若,表示两个复数的模相等,所以不一定成立,所以④不满足题意,
综上满足题意为②③,故选A.
点睛:本题考查了有关复数的命题真假判定与应用,其中熟记复数的概念、复数的模、复数相等的基本概念,以及复数运算法则是解答的关键.
12.如图所示,五面体中,正的边长为,平面,且.设与平面所成的角为,若,则当取最大值时,平面与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析:建立空间直角坐标系,利用直线与平面所成的角,求解的最大值,进而求解平面和平面的一个法向量,利用向量所成的角,求解二面角的余弦值,进而求得正切值,得到结果.
详解:如图所示,建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则,
取的中点,则,则平面的一个法向量为,
由题意,
又由,所以,解得,
所以的最大值为,
当时,设平面的法向量为,则,
取,由平面的法向量为,
设平面和平面所成的角为,
则,所以,所以,故选C.
点睛:本题考查了空间向量在立体几何中的应用,解答的关键在于建立适当的空间直角坐标系,求解直线的方向向量和平面的法向量,利用向量的夹角公式求解,试题有一定的难度,属于中档试题,着重考查了学生的推理与运算能力,以及转化的思想方法的应用.
二、填空题
13.比较大小:___ (用连接)
【答案】
【解析】分析:本题可用分析法求解.
详解:要比较与的大小,
只需比较与的大小,
只需比较与的大小,
只需比较与的大小,
只需比较与的大小,因为,所以 .
点睛:本题考查了利用分析法比较大小,分析法求解时,从结论开始,逐步寻找成立的充分条件,逐步到条件和基本事实,问题得以解决,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.
14.在古腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,…这些数叫做三角形数,因为这些数对应的点可以排成一个正三角形
1 3 6 10 15
则第个三角形数为________________.
【答案】
【解析】分析:观察图形可得,第二个图中点的个数比第一个图中点的个数多,即,第三个图中点的个数比第二个图中的点的个数多,即,依次类推,可得第个图中点的个数比第个图中点的个数多,即,将得到式子,相加可得答案.
详解:设第个三角形数记第个点,
由图可得:
第二个图中点的个数比第一个图中点的个数多,即,
第三个图中点的个数比第二个图中的点的个数多,即,
第个图中点的个数比第个图中点的个数多,即,
则,即第个三角形数记第个点为.
点睛:本题主要考查了归纳推理的应用,解答关键在于通过观察,发现图形中点的个数的编号规律,利用数列的知识求解,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.
15.平行六面体中,底面是边长为1的正方形,侧棱的长为2,且,则的长为 .
【答案】
【解析】试题分析:由题意得,在平行六面体中,因为,,,且,所以,所以.
【考点】空间向量的运算.
16.已知矩形的长,宽,将其沿对角线折起,得到四面体,如图所示,
给出下列结论:
①四面体体积的最大值为;
②四面体外接球的表面积恒为定值;
③若分别为棱的中点,则恒有且;
④当二面角的大小为时,棱的长为;
⑤当二面角为直二面角时,直线所成角的余弦值为.
其中正确的结论有_____________________(请写出所有正确结论的序号).
【答案】②③⑤
【解析】分析:将矩形折叠后得到三棱锥:①四面体体积最大值为两个面互相垂直求三棱锥的底面积和高即可;②求出三棱锥的外接球半径,即可计算表面积;③连接,则,连接,得到,利用等腰三角形的三线合一即可;④当二面角为直二面角时,以为原点所在直线分别为轴建立坐标系,借助于向量的数量积解答;⑤找到二面角的平面角计算即可.
详解:由题意,①中,四面体体积最大值为两个面互相垂直,四面体体积的最大值,所以不正确;
②中,三棱锥外接球的半径为,所以三棱锥外接球的表面积为,所以是正确的.
③中,若分别为棱的中点,连接,则,根据等腰三角形三线合一得到,连接,可得,所以,所以是正确的;
④中,由二面角的大小为时,棱的长为,
在直角中,,
作,则,
同理直角中,则,
在平面内,过作,连接,易得四边形为矩形,
则,
又,即为二面角的平面角,即,
则,由平面,得到,即有,
则,所以是错误的,
⑤中,当二面角为直二面角时,以为原点所在直线分别为轴建立坐标系,则由向量的数量积可得到直线所成的角的余弦值为,所以是正确的;
综上可知正确命题的序号为②③⑤.
点睛:本题考查了平面与立体几何的综合应用,解答中涉及到两条直线的位置关系的判定,二面角以及三棱锥的外接球的表面积,以及直线与平面垂直的判定等知识点的综合应用,试题综合性强,属于中档试题,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及空间想象能力. 其中线面的位置关系以及证明是高考的重点内容,而其中证明线面垂直又是重点和热点,要证明线面垂直,根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直,或是根据面面垂直.
三、解答题
17.试问取何值时,复数
(1)是实数(2)是虚数(3)是纯虚数
【答案】(1);(2);(3).
【解析】分析:(1)由虚部为,即可求得的值;
(2)由虚部不为,即可求得的值;
(3)由实部为,虚部不为,即可求得的值;
详解:(1)由条件,解得.
(2)由条件,解得
(3)由条件,解得
点睛:本题考查了复数的基本概念和复数的分类,其中熟记复数的分类是解答的关键,着重考查了学生的推理与运算能力.
18.如图,直棱柱的底面中,,,棱,如图,以为原点,分别以,,为轴建立空间直角坐标系
(1)求平面的法向量;
(2)求直线与平面夹角的正弦值.
【答案】(1);(2).
【解析】分析:(1)设处平面的法向量的坐标,利用向量的数量积为,即可求解平面的一个法向量;
(2)取出向量,利用向量的夹角公式,即可求解直线与平面所成角的正弦值.
详解:(1)由题意可知
故
设为平面的法向量,则
,
令,则
(2)设直线与平面夹角为,
点睛:本题考查了平面法向量的求解,以及直线与平面所成的角,着重考查了空间想象能力,以及推理与运算能力,在高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面:①求异面直线所成的角,关键是转化为两直线的方向向量的夹角;②求直线与平面所成的角,关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角;③求二面角,关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.
19.某学习小组有个男生和个女生共人:
(1)将此人排成一排,男女彼此相间的排法有多少种
(2)将此人排成一排,男生甲不站最左边,男生乙不站最右边的排法有多少种
(3)从中选出名男生和名女生分别承担种不同的任务,有多少种选派方法
(4)现有个座位连成一排,仅安排
个女生就座,恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种
【答案】(1)144;(2)3720;(3)432;(4)480.
【解析】分析:(1)利用插空法即可求解,先排男生,插入女生即可;(2)现排甲、乙,再排其它运算,即可求解;(3)先选名男生,名女生,再安排任务,即可求解;(4)现把两个空位捆绑,再排列即可求解.
详解:(1)
(2)
(3)
(4),或
点睛:本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用,有关排列组合的综合问题,往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题,解答这类问题理解题意很关键,一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”,在应用分类计数加法原理讨论时,既不能重复交叉讨论又不能遗漏,这样才能提高准确率.在某些特定问题上,也可充分考虑“正难则反”的思维方式.
20.设展开式中只有第1010项的二项式系数最大.
(1)求n; (2)求;(3)求.
【答案】(1)2018;(2);(3)-1.
【解析】分析:(1)根据二项式系数的对称性,即可求解.
(2)令,可得,即可求解;
(3)由,根据二项式的性质,即可求解.
详解:(1)由二项式系数的对称性,
(2)
(3)
点睛:本题考查了二项式定理及其性质的应用,二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二项展开式的通项公式;(可以考查某一项,也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和;(3)二项式定理的应用.
21.如图,已知四棱锥中,侧棱平面,底面是平行四边形,,,,分别是的中点.
(1)求证:平面
(2)当平面与底面所成二面角为时,求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】分析:(1)根据题意,证得和,利用线面垂直的判定定理,即可证得平面;
(2)建立空间直角坐标系,设,求得平面的一个法向量和平面的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求解二面角的余弦值.
详解:(1)证明:∵平面,∴的射影是,的射影是,
∵∴∴,且,
∴是直角三角形,且,
∴,∵平面,∴,
且,∴平面
(2)解法1:由(1)知 ,且是平行四边形,可知 ,
又∵平面,由三垂线定理可知, ,
又∵由二面角的平面角的定义可知,是平面与底面
所成二面角,故,故在中,,∴,,
从而
又在中,,∴在等腰三角形,分别取中点和中点,连接,和,∴中位线,且平面,∴平面,在中,中线,由三垂线定理知,,
为二面角的平面角,
在中,,,
.
∴二面角的余弦值为
解法2:由(Ⅰ)知,以点为坐标原点,以、、
所在的直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则,,,,
,,,
则,,
设平面的一个法向量为,
则由
又是平面的一个法向量,
平面与底面所成二面角为
,解得,
设平面的一个法向量为,
则由.
又是平面的一个法向量,设二面角的平面角为,则
,∴
∴二面角的余弦值为
点睛:本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质,全面考查立体几何中的证明与求解,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化,通过严密推理,明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.
22.(1)已知,比较和的大小并给出解答过程;
(2)证明:对任意的,不等式成立.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】分析:(1)利用作差法,作差比较法的基本步骤:(1)作差;(2)判断正负;(3)确定大小.
(2)利用数学归纳法证明,即可.
详解:(1):.
由条件= ,,
.
(2):证法一
证明:由(1)所得结论得
=
两边开方,命题得证.
证法二
下面用数学归纳法证明不等式成立.
①当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.
②假设当时不等式成立,即成立.
则当时,左边
所以当时,不等式也成立.
由①、②可得不等式恒成立. .
点睛:本题考查了不等式的基本性质,及数学归纳的应用,试题比较基础,属于基础题,解答中熟记数学归纳法证明的步骤是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.