广东省佛山市三水区实验中学2018-2019学年高二上学期第五学段考试数学（理）试题 11页

‎2018-2019学年三水实验中学高二第五学段考试 ‎ 理科数学试题 ‎（考试时间：120分 满分150分）‎ 参考公式:圆锥的表面积 ‎ 一、选择题（每小题5分，共60分） ‎ 1. 一个封闭立方体的六个面积各标出A，B，C，D，E，F这六个字母，现放成如图所示三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A，B，C对面的字母分别是　　‎ A. D，E，F B. F，D，E C. E，F，D D. E，D，F 2. 直角的三边长分别为3，4，5，绕其一边旋转所得的几何体的体积为 ,则该几何体的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ 3. 在长方体中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值(    )‎ A. B. C. D. ‎ 4. 如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是(    ) A. B. C. D. ‎ ‎6. 设是三条不同的直线，是两个不同的平面，则能使成立是　 ‎ A. 　　　　　　　　 B. C. D. ‎ ‎7. 已知直线经过一、二、三象限，则有(    )‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ 8. 如图，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是　　．‎ A. 12 B. 16 C. D. ‎ 9. 已知圆M：与圆N：，那么两圆的位置关系是　　‎ A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 10. ‎ 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是　　‎ A. B. C. D. ‎ 11. ‎ 若直线与平行，则与之间的距离为　　‎ A. B. C. D. ‎ 12. ‎ 点在函数的图象上，当时，的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：（每小题5分，共20分）‎ 13. 直线的倾斜角为____________‎ 14. 已知，，是三个不共面向量，已知向量，，则 ______ ．‎ 15. 过点与两坐标轴相交且与两坐标轴所围成的三角形面积为5的直线方程为_________‎ 16. 点和关于对称，则 ______ ．‎ 三、 解答题：‎ 8. ‎（10分）分别求满足下列条件的直线方程：‎ ‎ 求经过，的直线方程;‎ ‎(2) 直线l在y轴上的截距为．且在两个坐标轴上的截距相等;‎ 经过直线与的交点，且与直线垂直．‎ 9. ‎（12分）‎ 求过点，，且圆心C在直线上的圆的标准方程． ‎ ‎ 过点l与圆C交于不同的两点A，B，且，求直线l的方程．．‎ 10. ‎（12分）已知正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD沿对角线BD折起，使，得到三棱锥，如图所示．Ⅰ若点M是棱AB的中点，求证：平面ACD；Ⅱ求证：平面BCD；Ⅲ求二面角的余弦值． ‎ 11. ‎（12分）在正四棱柱中，，E为的中点 求证：平面BDE； 若F为上的动点，使直线与平面BDE所成角的正弦值是，求F 点的位置； ．求点到平面BDE的距离 8. ‎（12分）如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，． 求直线AD与平面PCD所成角的正切值； 点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长． ‎ ‎22. （12分）已知圆O：和定点A(2,1)，由圆O外一点向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足．‎ ‎(1) 求实数a、b间满足的等量关系；‎ ‎(2) 求线段PQ长的最小值；‎ ‎(3) 若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．‎ ‎2018-2019学年三水实验中学高二第五学段考试 理科数学试题答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D A C C C C B B A B C ‎13、14、 15、 16、5‎ ‎17、解：(1)过A，B两点的直线方程是 ……(2分) 斜截式为：……(3分)‎ ‎(2)  因为直线l在y轴上的截距为，‎ 且直线l在两个坐标轴上的截距相等，‎ 所以直线l在x轴上的截距也为， ……(4分)‎ 故由截距式方程得l的方程为， ……(5分)‎ 故直线l方程为． ……(6分)‎ 由 解得 直线与的交点为， ……(8分) 由条件设所求直线方程为……(9分)‎ 因为所求直线过点 所以，即， 所以所求直线方程为； ……(10分)‎ ‎18、解：设圆的标准方程为， ……(1分) 根据已知条件可得， ……‎ ‎(4分) 解得， 所求圆的标准方程为； ……(6分) （2）解：圆C：，配方，得， 圆心，半径，……(7分) ①当直线l的斜率不存在时，l：，圆心到直线l的距离是1，并有,满足题意   ……(8分) ②当直线l的斜率存在时，设l：由……(10分) 得，此时l：……(11分) 综上所述l方程为或……(12分)‎ ‎19、解：证明：连结MO 在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点， 为BD的中点，‎ 又M为AB的中点， OM//AD ……………….(1分) 又平面ACD，平面ACD， ……………….(2分) 平面ACD． ……………….(3分) 证明：在中，，， ，． ……………….(4分) 又、BD是正方形ABCD的对角线， ， ……………….(5分) 又 平面BCD． ……………….(6分)‎ ‎ 法一:由知平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直， 如图，以O为原点，建立空间直角坐标系． 则， ，，……………….(8分) 设平面ABC的法向量， 则，． 即， ……………….(9分)‎ 令，则，， 解得． ……………….(10分)‎ 是平面BCD的一个法向量．……………….(11分) 从而， 二面角的余弦值为． ……………….(12分)‎ 法二:取BC中点Ｎ,连结NA，NO, ‎ 因为AB=AC=1,所以ANBC,且…….(8分)‎ 因为OB=OC=,所以0NBC,且……………….(9分)‎ 所以 便是二面角A-BC-D的平面角；………….(10分) 由(1)得平面BCD,又平面BCD 所以ON ………….(11分)‎ 所以cos = ‎ 二面角的余弦值为． ……………….(12分)‎ ‎20、证明：以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则 1，，1，，0，，0，，1，，‎ ‎…….(2分)‎ ‎ (1)…….(3分)‎ ‎…….(4分)‎ ‎ …….(5分)‎ ‎(2)` …….(6分)‎ 由(1)得 ‎….(7分)‎ ‎…….(8分)‎ ‎…….(9分)‎ ‎…….(10分)‎ ‎(3)由(2)得 ‎…….(12分)‎ ‎21、解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系如图， 由题可知0，，1，，2，，0，．…….(1分) 1，，2，， 设平面PCD的法向量为y，， 由，得， 取，得1，， …….(3分)‎ ‎2，‎ ‎，，…….(4分)‎ 设直线AD与平面PCD所成角为，则 ‎ 平直线AD与平面PCD所成角的正切值为；…….(6分) 0，，设0，， 又，则，…….(9分) 又，从而，，‎ 解得：， …….(11分) 又，．…….(12分)‎ ‎22、解：（1）连为切点，，由勾股定理有 ‎. ……(1分)‎ 又由已知，故.‎ 即：. ……(3分)‎ 化简得实数a、b间满足的等量关系为：.……(4分)‎ ‎（2）由，得.……(5分)‎ ‎=……(7分)‎ 故当时，即线段PQ长的最小值为……(8分)‎ 解法2：由(1)知，点P在直线l：2x + y－3 = 0 上.‎ ‎∴ | PQ |min = | PA |min，即求点A 到直线 l 的距离. ……(6分)‎ ‎∴ | PQ |min == .……(8分)‎ ‎（3）设圆P的半径为，‎ 圆P与圆O有公共点，圆 O的半径为1，‎ 即且.‎ 而，‎ 故当时，……(10分)‎ 此时,，.‎ 得半径取最小值时圆P的方程为． ……(12分)‎ 解法2： 圆P与圆O有公共点，圆 P半径最小时为与圆O外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l’与l的交点P0.‎ ‎ r = －1 = －1. ……(9分)‎ 又 l’：x－2y = 0, ……(10分)‎ 解方程组，得.即P0( ,). ……(11分)‎ ‎∴ 所求圆方程为. ……(12分)‎