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- 2021-06-10 发布
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§6.3 等比数列及其前n项和
考纲展示►
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等比数列与指数函数的关系.
考点1 等比数列的判定与证明
1.等比数列的有关概念
(1)定义:
如果一个数列从第________项起,每一项与它的前一项的比等于________(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的________,通常用字母q表示,定义的表达式为=q.
(2)等比中项:
如果a,G,b成等比数列,那么________叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇔________.
答案:(1)2 同一个常数 公比 (2)G G2=ab
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式:an=________.
(2)前n项和公式:Sn=
答案:(1)a1qn-1 (2)na1
[典题1] 已知数列{an}的前n项和为Sn,在数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;
(2)求数列{bn}的通项公式.
(1)[证明] ∵an+Sn=n,①
∴an+1+Sn+1=n+1.②
②-①,得an+1-an+an+1=1,
∴2an+1=an+1,
∴2(an+1-1)=an-1,
∴=,∴{an-1}是等比数列.
又a1+a1=1,∴a1=,又cn=an-1,
∴c1=a1-1=-.
∴{cn}是以-为首项,以为公比的等比数列.
(2)[解] 由(1)可知,
cn=·n-1=-n,
∴an=cn+1=1-n.
∴当n≥2时,
bn=an-an-1=1-n-
=n-1-n=n.
又b1=a1=,代入上式也符合,
∴bn=n.
[点石成金] 等比数列的四种常用判定方法
(1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N*)或=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则数列{an}是等比数列.
(2)中项公式法:若数列{an}中,an≠0且a=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则数列{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则数列{an}是等比数列.
[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明;后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.
(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.
设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明:由a1=1及Sn+1=4an+2,得
a1+a2=S2=4a1+2.
∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.
又
①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2),
∴an+1-2an=2(an-2an-1).
∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1,
故{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.
(2)解:由(1)知,bn=an+1-2an=3·2n-1,
∴-=,
故是首项为,公差为的等差数列.
∴=+(n-1)·=,
化简,得an=(3n-1)·2n-2.
考点2 等比数列的基本运算
(1)[教材习题改编]已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项公式an=________.
答案:3×2n-3
解析:设等比数列{an}的公比为q,则
②÷①,得q7=128,即q=2,
把q=2代入①,得a1=,
∴数列{an}的通项公式为
an=a1qn-1=×2n-1=3×2n-3.
(2)[教材习题改编]设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则=________.
答案:
等比数列的两个非零量:项;公比.
(1)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第4项等于________.
答案:-24
解析:由等比数列的前三项为x,3x+3,6x+6,可得(3x+3)2=x(6x+6),
解得x=-3或x=-1(此时3x+3=0,不合题意,舍去),则该等比数列的首项为x=-3,公比q==2,所以第4项为(6x+6)×q=-24.
(2)等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=__________.
答案:-2
解析:∵S3+3S2=0,
∴a1+a2+a3+3(a1+a2)=0,
∴a1(4+4q+q2)=0.
∵a1≠0,∴q=-2.
[考情聚焦] 等比数列的基本运算是高考的常考内容,题型既有选择、填空题,也有解答题,难度适中,属中低档题.
主要有以下几个命题角度:
角度一
求首项a1,公比q或项数n
[典题2] [2017·浙江绍兴柯桥区高三二模]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,满足a5=2S4+3,a6=2S5+3,则此数列的公比为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
[答案] B
[解析] 由a5=2S4+3,a6=2S5+3可得a6-a5=2a5,即=3,故选B.
角度二
求通项或特定项
[典题3] [2017·广西南宁测试]在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,且2a1,a3,3a2成等差数列,则an=________.
[答案] 2n
[解析] 设数列{an}的公比为q,
∵2a1,a3,3a2成等差数列,
∴2a1+3a2=2a3,
即2a1+3a1q=2a1q2,即2q2-3q-2=0,
解得q=2或q=-.
∵q>0,∴q=2.
∵a1=2,
∴数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=2n.
角度三
求前n项和
[典题4] (1)已知正项数列{an}为等比数列,且5a2是a4与3a3的等差中项,若a2=2,则该数列的前5项的和为( )
A. B.31
C. D.以上都不正确
[答案] B
[解析] 设{an}的公比为q,q>0.
由已知,得a4+3a3=2×5a2,
即a2q2+3a2q=10a2,即q2+3q-10=0,
解得q=2或q=-5(舍去),
又a2=2,则a1=1,
所以S5===31.
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若27a3-a6=0,则=________.
[答案] 28
[解析] 由题可知{an}为等比数列,设首项为a1,公比为q,所以a3=a1q2,a6=a1q5,所以27a1q2=a1q5,所以q=3,由Sn=,得S6=,S3=,所以
=·=28.
[点石成金] 解决与等比数列有关问题的常用思想方法
(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.
(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论.当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn==.
考点3 等比数列的性质
等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am·________(n,m∈N*).
(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=________=________.
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},,{a},{an·bn},(λ≠0)仍然是等比数列.
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
答案:(1)qn-m (2)ap·aq a
等比数列的基本公式:通项公式;前n项和公式.
(1)在等比数列{an}中,若a1=,a4=4,则公比q=________.
答案:2
解析:由a4=a1q3,得4=q3,解得q=2.
(2)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则公比q=________.
答案:
解析:易知公比q不为1,由等比数列求和公式得=,即1+q4=,所以q4=
,得q=或q=-(舍去).
应用等比数列的前n项和公式的两个注意点:公比应分q=1与q≠1讨论;注意利用性质.
(1)设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,则此数列的公比q=________.
答案:1或-
解析: 当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题意;当q≠1时,=3a1q2,
∵a1≠0,所以1-q3=3q2(1-q),
∴2q3-3q2+1=0,
即(q-1)2(2q+1)=0,
解得q=-.
综上所述,q=1或q=-.
(2)在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项的和S15=________.
答案:11
解析:由题意知a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…成等比数列,其公比q==-2,首项为a1+a2+a3=1,因此该数列的前5项和就是数列{an}的前15项的和,故S15==11.
[典题5] (1)[2017·广东广州综合测试]已知数列{an}为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9=( )
A.10 B.20
C.100 D.200
[答案] C
[解析] a7(a1+2a3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9=a+2a4a6+a=(a4+a6)2=102=100.
(2)[2017·吉林长春调研]在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan
+1=324,则n=________.
[答案] 14
[解析] 设数列{an}的公比为q,
由a1a2a3=4=aq3与a4a5a6=12=aq12,可得
q9=3,又an-1anan+1=aq3n-3=324,
因此q3n-6=81=34=q36,所以3n-6=36,即n=14.
[点石成金] 等比数列常见性质的应用
等比数列的性质可以分为三类:(1)通项公式的变形;(2)等比中项的变形;(3)前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
1.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若=3,则=( )
A.2 B.
C. D.1或2
答案:B
解析:设S2=k,S4=3k,由数列{an}为等比数列,得S2,S4-S2,S6-S4为等比数列,∴S2=k,S4-S2=2k,S6-S4=4k,∴S6=7k,S4=3k,
∴==.
2.[2017·甘肃兰州诊断]数列{an}的首项为a1=1,数列{bn}为等比数列且bn=,若b10b11=2 015,则a21=________.
答案:2 015
解析:由bn=,且a1=1,得
b1==a2,
b2=,a3=a2b2=b1b2,
b3=,a4=a3b3=b1b2b3,…,
an=b1b2…bn-1,
∴a21=b1b2…b20.
∵数列{bn}为等比数列,
∴a21=(b1b20)(b2b19)…(b10b11)=(b10b11)10
=(2 015)10=2 015.
[方法技巧] 1.判断数列为等比数列的方法
(1)定义法:=q(q是不等于0的常数,n∈N*)⇔数列{an}是等比数列;也可用=q(q是不等于0的常数,n∈N*,n≥2)⇔数列{an}是等比数列.二者的本质是相同的,其区别只是n的初始值不同.
(2)等比中项法:a=anan+2(anan+1an+2≠0,n∈N*)⇔数列{an}是等比数列.
2.常用结论
(1)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,,,…成等比数列.
(2)若数列{an}的项数为2n,则=q;若项数为2n+1,则=q.
[易错防范] 1.特别注意当q=1时,Sn=na1这一特殊情况.
2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.
4.Sn,S2n-Sn,S3n-S2n未必成等比数列(例如:当公比q=-1且n为偶数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不成等比数列;当q≠-1或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列),但等式(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n)总成立.
真题演练集训
1.[2015·新课标全国卷Ⅱ]已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )
A.21 B.42
C.63 D.84
答案:B
解析:设等比数列{an}的公比为q,则由a1=3,a1+a3+a5=21,得3(1+q2+q4)=21,解得q2=-3(舍去)或q2=2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故选B.
2.[2016·新课标全国卷Ⅰ]设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为________.
答案:64
解析:设等比数列{an}的公比为q,
∴⇒
解得
∴a1a2…an=(-3)+(-2)+…+(n-4)
= =,
当n=3或4时,取到最小值-6,
此时取到最大值26,所以a1a2…an的最大值为64.
3.[2015·新课标全国卷Ⅰ]在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=________.
答案:6
解析:∵a1=2,an+1=2an,
∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
又∵Sn=126,∴=126,∴n=6.
4.[2015·安徽卷]已知数列是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列的前n项和等于________.
答案:2n-1
解析:设等比数列的公比为q,
则有解得或
又{an}为递增数列,
∴∴Sn==2n-1.
5.[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=,求λ.
解:(1)由题意,得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=,a1≠0.
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1,得an+1=λan+1-λan,
即an+1(λ-1)=λan,
由a1≠0,λ≠0,得an≠0,所以=.
因此{an}是首项为,公比为的等比数列,
从而得通项公式an=n-1.
(2)由(1),得Sn=1-n.
由S5=,得1-5=,
即5=,解得λ=-1.
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分类讨论思想在等比数列中的应用
[典例] 已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:Sn+≤(n∈N*).
[审题视角]
(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式;
(2)求出前n项和,根据函数的单调性证明.
(1)[解析] 设等比数列{an}的公比为q,
因为-2S2,S3,4S4成等差数列,
所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,
可得2a4=-a3,于是q==-.
又a1=,所以等比数列{an}的通项公式为
an=×n-1=(-1)n-1·.
(2)[证明] 由(1)知,Sn=1-n,
Sn+=1-n+
=
当n为奇数时,Sn+随n的增大而减小,
所以Sn+≤S1+=;
当n为偶数时,Sn+随n的增大而减小,
所以Sn+≤S2+=.
故对于n∈N*,有Sn+≤.
方法点睛
1.分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有:
(1)已知Sn与an的关系,要分n=1,n≥2两种情况讨论.
(2)等比数列中遇到求和问题要分公比q=1,q≠1讨论.
(3)项数的奇、偶数讨论.
(4)等比数列的单调性的判断注意与a1,q的取值的讨论.
2.数列与函数联系密切,证明与数列有关的不等式,一般是求数列中的最大项或最小项,可以利用图象或者数列的增减性求解,同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.