专题8-7+立体几何中的向量方法（练）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版） 16页

‎2018年高考数学讲练测【浙江版】【练】第八章 立体几何 第07节 立体几何中的向量方法 A 基础巩固训练 ‎1.直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为(　　)‎ A．－2　　　　　　　　 B．－ C． D．± ‎【答案】D ‎2．【河南省豫南九校第三次联考】已知直线的方向向量，平面的法向量，若， ，则直线与平面的位置关系是（ ）‎ A. 垂直 B. 平行 C. 相交但不垂直 D. 直线在平面内或直线与平面平行 ‎【答案】D ‎【解析】因为，即，所以直线在平面内或直线与平面平行，故选D．‎ ‎3.【2017届河北定州中学高三周练】已知点A（1，-2,0）和向量=(-3,4,12),若向量,且，则B点的坐标为（ ）‎ A．（-5,6,24） ‎ B．（-5,6,24）或（7，-10，-24）‎ C．（-5,16，-24） ‎ D．（-5,16，-24）或（7，-16,24）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设， ，依题意有 ‎，解得或.‎ ‎4.如空间直角坐标系中，已知，则直线AB与AC的夹角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】空间直角坐标系中， ， ， ， ，所以向量的夹角为，即直线与的夹角为，故答案为.‎ ‎5．已知向量a‎=（2，-1，1）‎，b‎=(λ,1,-1)‎，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎λ<1且λ≠-2‎ ‎ B能力提升训练 ‎ ‎1.在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高（ ）‎ A．1 B．2 C．13 D．26 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设面的一个法向量为．则,令,则,则,‎ ‎,．故B正确．‎ ‎2.已知平面α，β的法向量分别为μ＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1，4)，则(　　)‎ A．α∥β B．α⊥β C．α、β相交但不垂直 D．以上都不正确 ‎【答案】C ‎3.如图所示，正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)．‎ A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A-BEF的体积为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值 ‎【答案】D ‎【解析】∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D.∴AC⊥BE，故A正确．∵B1D1∥平面ABCD，又E，F在直线D1B1上运动，∴EF∥平面ABCD，故B正确．C中，由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为，故VA-BEF为定值．故C正确．‎ 建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，‎ ‎①当点E在D1处，点F为D1B1的中点时，E(1,0,1)，F （，，1），‎ ‎∴＝(0，－1,1)，＝（，－，1），‎ ‎∴·＝.又||＝，||＝，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝＝.‎ ‎∴此时异面直线AE与BF成30°角．‎ ‎②当点E为D1B1的中点，F在B1处，此时E（，，1），F(0,1,1)，∴＝（－，－，1），＝(0,0,1)，‎ ‎∴·＝1，||＝，∴cos〈，〉＝＝，故选D.‎ ‎4.【2018届南宁市高三毕业班摸底】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥‎平面ABCD，PD=AD=3‎，PM=2MD，AN=2NB，‎∠DAB=60°‎.‎ ‎（1）求证：直线AM∥‎平面PNC；‎ ‎（2）求二面角D-PC-N的余弦值 ‎【答案】(1)证明见解析；(2)‎5‎‎79‎‎79‎.‎ 试题解析：（1）在PC上取一点F，使PF=2FC，连接MF，NF，‎ ‎∵PM=2MD，AN=2NB，‎ ‎∴MF//DC，MF=‎2‎‎3‎DC，AN//DC，AN=‎2‎‎3‎AB=‎2‎‎3‎DC.‎ ‎∴MF//AN，MF=AN.‎ ‎∴MFNA为平行四边形.‎ 即AM//NF.‎ 又AM⊂‎平面PNC，‎ ‎∴直线AM//‎平面PNC.‎ ‎（2）取AB中点E，底面ABCD是菱形，‎∠DAB=60°‎，∴‎∠AED=90°‎.‎ ‎∵ABCD，∴‎∠EDC=90°‎，即CD⊥DE.‎ 又PD⊥‎平面ABCD，∴CD⊥PD.‎ 又DE∩PD=D，∴直线CD⊥‎平面PDE.‎ 故DP,DE,DC相互垂直，以D为原点，如图建立空间直角坐标系.‎ 则P‎0,0,3‎，N‎3‎‎3‎‎2‎‎,‎1‎‎2‎,0‎，C‎0,3,0‎，A‎3‎‎3‎‎2‎‎,-‎3‎‎2‎,0‎，B‎3‎‎3‎‎2‎‎,‎3‎‎2‎,0‎，D‎0,0,0‎.‎ 易知平面PDC的法向量m‎=‎‎1,0,0‎，‎ 设面PNC的法向量nx‎1‎‎,y‎1‎,‎z‎1‎，‎ 由n‎⋅PC=0‎n‎⋅NC=0‎，得n‎=‎‎5,3‎3‎,3‎‎3‎.‎ ‎∴cosm‎,‎n=m‎⋅‎nmn=‎5‎‎79‎=‎‎5‎‎79‎‎79‎.‎ 故二面角D-PC-N的余弦值为‎5‎‎79‎‎79‎.‎ ‎5.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】如图，在直三棱柱中， ， ，点分别为的中点.‎ ‎ ‎ ‎（1）证明： 平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）连接， ，点， 分别为， 的中点，可得为 ‎ 试题解析：（1）证明：连接，，点，分别为， 的中点，所以为△的一条中位线， ，‎ 平面， 平面， ‎ 所以平面. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）设，则，， ，‎ 由，得，解得，‎ 由题意以点为坐标原点，为轴，为轴，‎ 为轴建立空间直角坐标系.‎ 可得，，，，‎ 故，， ， ，‎ 设为平面的一个法向量，则 ‎，得，同理可得平面的一个法向量为，‎ 设二面角的平面角为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，二面角的余弦值为.‎ C思维扩展训练 ‎1.如图，三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为，‎ 为锐角，且侧面⊥底面，给出下列四个结论：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③直线与平面所成的角为；‎ ‎④.‎ 其中正确的结论是（ ）‎ A.①③ B.②④ C.①③④ D.①②③④‎ ‎【答案】C.‎ ‎∴②错误；③：由题意得即为与平面所成的角，，‎ ‎∴，∴③正确；④：由②，，，∴，∴，∴④正确.‎ ‎2.【2017浙江省嘉兴一中第一次联考】在长方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，AD=AA‎1‎=1‎，AB=2‎，点E在棱AB上移动，则直线D‎1‎E与A‎1‎D所成角的大小是__________，若D‎1‎E⊥EC，则AE=‎__________．‎ ‎【答案】 ‎90‎‎∘‎ 1‎ 则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），‎ 设E（1，m，0），0≤m≤2，‎ 则D‎1‎E=（1，m，﹣1），A‎1‎D=（﹣1，0，﹣1），‎ ‎∴D‎1‎E•A‎1‎D=﹣1+0+1=0，‎ ‎∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°．‎ ‎∵D‎1‎E=（1，m，﹣1），EC=（﹣1，2﹣m，0），D1E⊥EC，‎ ‎∴D‎1‎E‎∙‎EC=﹣1+m（2﹣m）+0=0，‎ 解得m=1，∴AE=1．‎ 故答案为：900，1．‎ ‎3.正的边长为4，是边上的高，、分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角.‎ ‎（Ⅰ）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论.‎ ‎【答案】(1) AB∥平面DEF；（2），（3）在线段上存在点，使．‎ 平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为 则 即，‎ ‎，‎ ‎∴二面角E—DF—C的余弦值为；---- 8分 ‎（Ⅲ）设 又， ‎ 把， ‎ ‎∴在线段上存在点，使． ----12分 ‎4.【新课标1】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；‎ ‎（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=.‎ 由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，‎ 又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，‎ 在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.‎ 在Rt△FDG中，可得FG=.‎ 在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，‎ ‎∴，∴EG⊥FG，‎ ‎∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，‎ ‎∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. ……6分 ‎5．【天津六校联考】如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别是的中点．‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)在平面内求一点，使平面，并证明你的结论；‎ ‎(3)求与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；(3) .‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎(3)设平面的法向量为．‎ 由得，即，‎ 取，则，，得．‎ ‎， ‎ 所以，与平面所成角的正弦值的大小为 ‎ ‎