数学卷·2018届江苏省扬州中学高三上学期10月月考（2017 11页

‎ 高三数学10月考 2017年10月07日 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）‎ ‎1. 已知集合，且，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎2. 设，其中是虚数单位，则 ▲ ． ‎ ‎3. 已知为实数，直线，，则“”是 ‎“”的 ▲ 条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不 必要”中选择一个填空）．‎ ‎4. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为___▲__． ‎ ‎5. 若曲线在点处的切线平行于轴,则___ ▲___.‎ ‎6. 方程有 　▲　 个不同的实数根．‎ ‎7. 设、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，‎ 则点到轴的距离为 ▲ ．‎ ‎8. 在三角形ABC中，的值为 ▲ ． ‎ ‎9. 已知函数的值域为，则的取值范围是_ ▲___．‎ ‎10. 已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上．直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为 ▲ ． ‎ ‎11. 已知函数在区间上为增函数，且图象关于点对称，则的取值集合为 ▲ ．‎ ‎12. 在矩形中，已知，点E是BC的中点，点F在CD上，若则的值是 ▲ . ‎ ‎13. 已知定义在上的函数，若函数，在处取得最小值，则负数的取值范围为 ▲ ． ‎ ‎14. 在直角坐标中，圆：，圆：，点，动点、‎ 分别在圆和圆上，满足，则的取值范围是 ▲ ．‎ 二、解答题（本大题共6小题，计90分）‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 已知函数，‎ ‎（1）求的值域；‎ ‎（2）若的面积为，角所对的边为，且，，求的周长．‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ ‎ 二次函数图像与轴交于，两点，交直线于，两点，经过三点，，作圆．‎ ‎（1）求证：当变化时，圆的圆心在一条定直线上；‎ ‎（2）求证：圆经过除原点外的一个定点．‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 已知，，且．‎ ‎（1）求的最值；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎18. （本小题满分16分）‎ 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上)，公共设施边界为曲线f (x)＝1－ax2(a＞0)的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设P(t，f (t))． （1）将△OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t)； （2）若在t＝处，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值．‎ ‎19.（本小题满分16分）‎ 已知椭圆的离心率为，右焦点，左、右顶点分别 为，，直线过点且与椭圆交于、两点（点在轴上方），直线直线，的斜率分别为，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求的面积；‎ ‎（3）是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ A B O F P Q x y ‎20.（本小题满分16分）‎ 设函数有且仅有两个极值点．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）是否存在实数满足？如存在，求的极大值；如不存在，请说明理由．‎ 高三数学10月考附加题 ‎21. 已知矩阵，的逆矩阵，求的特征值．‎ ‎22. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线（为参数）和曲线相交于两点，求中点的直角坐标．‎ ‎23. 抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设为随机变量，若为整数，则；若为小于1的分数，则；若为大于1的分数，则．‎ ‎（1）求概率；‎ ‎（2）求的分布列，并求其数学期望．‎ ‎24. 已知，定义． ‎ ‎（1）记，求的值；‎ ‎（2）记，求所有可能值的集合．‎ 高三10月考参考答案 ‎1. 2. 3. 充分不必要 4. 5. -1 6.2 7. 8. ‎ ‎9. 10. 11. {，，1} 12. 13. 14. ‎ ‎14.【解析】即为线段的长．设，则．‎ 又的中点，即，‎ 则有，‎ 由条件，，得，‎ 所以，即，由于，，所以．‎ ‎15. 解：（1）‎ ‎．‎ ‎，，故．‎ ‎（2）由已知，．由，得，所以．‎ 由已知及余弦定理得,．故,从而．‎ 所以的周长为．‎ ‎16. 解：（I）在方程y=x2+bx中．令y=0，y=x，易得A（﹣b，0），B（1﹣b，1﹣b）‎ 设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey=0，‎ 则⇒，‎ 故经过三点O，A，B的圆C的方程为x2+y2+bx+（b﹣2）y=0，‎ 设圆C的圆心坐标为（x0，y0），‎ 则x0=﹣，y0=﹣，∴y0=x0+1，‎ 这说明当b变化时，（I）中的圆C的圆心在定直线y=x+1上．‎ ‎（II）设圆C过定点（m，n），则m2+n2+bm+（b﹣2）n=0，整理得（m+n）b+m2+n2﹣2n=0，‎ 它对任意b≠0恒成立，∴⇒或 故当b变化时，（I）中的圆C经过除原点外的一个定点坐标为（﹣1，1）．‎ ‎17. [解答] (1)∵a·b＝cos2θ，‎ ‎|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝2＋2cos2θ＝4cos2θ.‎ ‎∴＝＝cosθ－.‎ 令t＝cosθ，则≤t≤1，′＝1＋>0.‎ ‎∴t－在t∈上为增函数．∴－≤t－≤，‎ 即所求式子的最大值为，最小值为－.‎ ‎(2)由题设可得|ka＋b|2＝3|a－kb|2，‎ 又|a|＝|b|＝1，a·b＝cos2θ，‎ ‎∴原式化简得cos2θ＝.‎ 由0≤θ≤，得－≤cos2θ≤1，∴－≤≤1，‎ 解得k∈[2－，2＋]∪{－1}．‎ ‎18.【解析】(1)y′＝－2ax，∴切线斜率是－2at， ∴切线方程为y－(1－at2)＝－2at(x－t)． 令y＝0，得x＝，∴M， 令x＝0，得y＝1＋at2，∴N(0，1＋at2)，∴△OMN的面积S(t)＝. (2)S′(t)＝， 由a＞0，t＞0，S′(t)＝0，得3at2－1＝0，即t＝. 当3at2－1＞0，即t＞时，S′(t)>0；当3at2－1<0，即0