【数学】2018届一轮复习人教A版第八章立体几何与空间向量第5讲直线、平面垂直的判定及其性质学案 9页

第5讲　直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.直线与平面垂直 ‎(1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 ‎ 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 ⇒a∥b ‎2.平面与平面垂直 ‎(1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)‎ ‎(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(　　)‎ ‎(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(　　)‎ ‎(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　)‎ 解析　(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α，故(1)错误.‎ ‎(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.‎ ‎(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.‎ ‎(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2.(必修2P‎56A组7T改编)下列命题中错误的是(　　)‎ A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 解析　对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项易知均是正确的.‎ 答案　D ‎3.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)‎ A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 解析　因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l，故选C.‎ 答案　C ‎4.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)‎ A.α⊥β且m⊂α B.α⊥β且m∥α C.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β 解析　由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.‎ 答案　C ‎5.(2017·浙江名校协作体联考)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，(　　)‎ A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 解析　若AB⊥CD，BC⊥CD，则可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因为AB＝1，BC＝AD＝，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某个位置，使得AB⊥CD.‎ 答案　B ‎6.(必修2P67练习2改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，‎ ‎(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.‎ ‎(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.‎ 解析　(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，‎ 在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，‎ 所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.‎ ‎　　‎ 图1　 　　　　　　图2‎ ‎(2)如图2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，‎ ‎∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，‎ ‎∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，‎ ‎∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，‎ 即CG为△ABC边AB的高.‎ 同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心.‎ 答案　(1)外　(2)垂 考点一　线面垂直的判定与性质 ‎【例1】 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，‎ AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：‎ ‎(1)CD⊥AE；‎ ‎(2)PD⊥平面ABE.‎ 证明　(1)在四棱锥P－ABCD中，‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥CD，‎ 又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，‎ ‎∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，‎ ‎∴CD⊥AE.‎ ‎(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.‎ ‎∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.‎ 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，‎ ‎∴AE⊥平面PCD.‎ 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥AB.‎ 又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，‎ ‎∴AB⊥PD.‎ 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.‎ 规律方法　(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：‎ ‎①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α).‎ ‎(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.‎ ‎【训练1】 如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.‎ 求证：PA⊥CD.‎ 证明　因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.‎ 在Rt△ABC中，由AC＝BC得，∠ABC＝30°.‎ 设AD＝1，由3AD＝DB得，DB＝3，BC＝2.‎ 由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3，‎ 所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB.‎ 因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，‎ 所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D得，CD⊥平面PAB，‎ 又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.‎ 考点二　面面垂直的判定与性质 ‎【例2】 (2015·山东卷)如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.‎ ‎(1)求证：BD∥平面FGH；‎ ‎(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH. ‎ 证明　(1)连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.‎ 在三棱台DEF－ABC中，‎ AB＝2DE，G为AC中点，‎ 可得DF∥GC，且DF＝GC，‎ 则四边形DFCG为平行四边形.‎ 从而M为CD的中点，‎ 又H为BC的中点，‎ 所以HM∥BD，又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，‎ 故BD∥平面FGH.‎ ‎(2)连接HE，因为G，H分别为AC，BC的中点，‎ 所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.‎ 又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，‎ 因此四边形EFCH是平行四边形，‎ 所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.‎ 又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，‎ 所以BC⊥平面EGH.‎ 又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.‎ 规律方法　(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.‎ ‎(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.‎ ‎【训练2】 如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点.‎ ‎(1)求证：PB∥平面MNC；‎ ‎(2)若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC.‎ 证明　(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB.‎ 又因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC.‎ ‎(2)因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.‎ 因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.‎ 因为平面PAB⊥平面ABC，‎ CM⊂平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB.‎ 所以CM⊥平面PAB.‎ 因为PA⊂平面PAB，所以CM⊥PA.‎ 又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC.‎ 考点三　平行与垂直的综合问题(多维探究)‎ 命题角度一　多面体中平行与垂直关系的证明 ‎【例3－1】 (2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A‎1F，A‎1C1⊥A1B1.求证：‎ ‎(1)直线DE∥平面A‎1C1F；‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A‎1C1F.‎ 证明　(1)在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，A‎1C1∥AC.‎ 在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，‎ 所以DE∥AC，于是DE∥A‎1C1.‎ 又因为DE⊄平面A‎1C1F，A‎1C1⊂平面A‎1C1F，‎ 所以直线DE∥平面A‎1C1F.‎ ‎(2)在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，A‎1A⊥平面A1B‎1C1.‎ 因为A‎1C1⊂平面A1B‎1C1，所以A‎1A⊥A‎1C1.‎ 又因为A‎1C1⊥A1B1，A‎1A⊂平面ABB‎1A1，A1B1⊂平面ABB‎1A1，A‎1A∩A1B1＝A1，所以A‎1C1⊥平面ABB‎1A1.‎ 因为B1D⊂平面ABB‎1A1，所以A‎1C1⊥B1D.‎ 又因为B1D⊥A‎1F，A‎1C1⊂平面A‎1C1F，A‎1F⊂平面A‎1C1F，A‎1C1∩A‎1F＝A1，所以B1D⊥平面A‎1C1F.‎ 因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A‎1C1F.‎ 规律方法　(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.‎ ‎(2)垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.‎ 命题角度二　平行垂直中探索性问题 ‎【例3－2】 如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点.‎ ‎(1)证明：AE∥平面BDF.‎ ‎(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.‎ ‎(1)证明　‎ 连接AC交BD于O，连接OF，如图①.‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点，又F为EC的中点，‎ ‎∴OF为△ACE的中位线，‎ ‎∴OF∥AE，又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，‎ ‎∴AE∥平面BDF.‎ ‎(2)解　当P为AE中点时，有PM⊥BE，‎ 证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH，∵P为AE的中点，H为BE的中点，‎ ‎∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面.‎ ‎∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊂平面ABCD，CD⊥BC.‎ ‎∴CD⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，‎ ‎∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H为BE的中点，∴CH⊥BE，‎ 又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM⊂平面DPHC，‎ ‎∴BE⊥PM，即PM⊥BE.‎ 规律方法　(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.‎ ‎(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.‎ ‎【训练3】 (2017·嘉兴七校联考)在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC＝，AB＝2BC＝2，AC⊥FB.‎ ‎(1)求证：AC⊥平面FBC.‎ ‎(2)求四面体FBCD的体积.‎ ‎(3)线段AC上是否存在点M，使EA∥平面FDM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.‎ ‎(1)证明　在△ABC中，‎ 因为AC＝，AB＝2，BC＝1，所以AC2＋BC2＝AB2，‎ 所以AC⊥BC.‎ 又因为AC⊥FB，BC∩FB＝B，‎ 所以AC⊥平面FBC.‎ ‎(2)解　因为AC⊥平面FBC，FC⊂平面FBC，所以AC⊥FC.‎ 因为CD⊥FC，AC∩CD＝C，所以FC⊥平面ABCD.‎ 在等腰梯形ABCD中可得CB＝DC＝1，所以FC＝1.‎ 所以△BCD的面积为S＝.‎ 所以四面体FBCD的体积为VF－BCD＝S·FC＝.‎ ‎(3)解　线段AC上存在点M，且点M为AC中点时，有EA∥平面FDM.证明如下：‎ 连接CE，与DF交于点N，取AC的中点M，连接MN.‎ 因为四边形CDEF是正方形，‎ 所以点N为CE的中点.‎ 所以EA∥MN.因为MN⊂平面FDM，EA⊄平面FDM，‎ 所以EA∥平面FDM.‎ 所以线段AC上存在点M，且M为AC的中点，使得EA∥平面FDM成立.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.证明线面垂直的方法：‎ ‎(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；‎ ‎(2)判定定理1：⇒l⊥α；‎ ‎(3)判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；‎ ‎(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β；‎ ‎2.证明面面垂直的方法 ‎(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；‎ ‎(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.‎ ‎3.转化思想：垂直关系的转化 ‎[易错防范]‎ ‎1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.‎ ‎2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.‎ ‎3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.‎ ‎4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化. ‎