数学理卷·2018届安徽省皖南八校高三第二次联考（2017 14页

‎“皖南八校”2018届高三第二次联考 数 学（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则等于 A． B． C． D．‎ ‎2. 已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数 A． 1 B． -1 C． 2 D．-2‎ ‎3. 已知向量满足，，，则 A． B． 3 C． 5 D． 9‎ ‎4. 已知直线平分圆的周长，且直线不经过第三象限，则直线的倾斜角的取值范围为 A． B． C. D．‎ ‎5. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得图象的一条对称轴的方程是 A． B． C. D．‎ ‎6. 函数的图象大致是 ‎7. 若，展开式中，的系数为-20，则等于 A． -1 B． C. -2 D．‎ ‎8. 当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A． 28 B． 36 C. 68 D． 196‎ ‎9. 榫卯（）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式. 我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构. 图中格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为 A． B． ‎ C. D．‎ ‎10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若在直线上存在点使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是 A． B． C. D．‎ ‎11. 已知，且，则 A． B． C. D．‎ ‎12. 已知函数若关于的方程至少有两个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ 二、填空题：本小题4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 在1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个不同的数，取到3的概率为 ．‎ ‎14. 已知的面积为，角的对边分别为，若，，，则 ．‎ ‎15. 已知函数是偶函数，定义域为，且时，，则曲线在点处的切线方程为 ．‎ ‎16. 已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于点） ，点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段长的取值范围为 ．‎ 三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∽‎ ‎21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17. 已知是等比数列，满足，且.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式和前项和；‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式.‎ 18. 随着络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的浏览页，聊天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族.某研究人员对该地区18∽50岁的5000名居民在月流量的使用情况上做出调查，所得结果统计如下图所示：‎ ‎（Ⅰ)以频率估计概率，若在该地区任取3位居民，其中恰有位居民的月流量的使用情况 在300M∽400M之间，求的期望； （Ⅱ）求被抽查的居民使用流量的平均值； （Ⅲ）经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况与其日销售份数成线性相关 关系，该研究人员将流量套餐的打折情况与其日销售份数的结果统计如下表所示：‎ 折扣 ‎1折 ‎2折 ‎3折 ‎4折 ‎5折 销售份数 ‎50‎ ‎85‎ ‎115‎ ‎140‎ ‎160‎ 试建立关于的的回归方程.‎ 附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎，‎ 18. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一个三等分点（靠近点），与的延长线交于点，连接.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正切值 ‎ ‎20. 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当点的纵坐标为1时，.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若抛物线上存在点，使得，求直线的方程.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，证明：函数在上单调递减；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使得函数在内存在两个极值点？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. （参考数据：，）‎ （二） 选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. [选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求直线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，求.‎ 23. ‎[选修4—5：不等式选讲]‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎“皖南八校”2018届高三第二次联考·数学（理科）‎ 参考答案、解析及评分细则 一、选择题 ‎1. D ‎2. A ‎3. B .‎ ‎4. A 依题意，圆，故直线过圆的圆心；因为直线不经过第三象限，结合图像可知，.‎ ‎5. C ，，，.‎ ‎6. C ‎7. A ，，代入验证得.‎ ‎8. D ，；，；，；‎ ‎，；，.输出.‎ ‎9. C 依题意，该几何体由一个长方体和一个圆柱体拼接而成，故其体积；表面积.‎ ‎10. B 由题意知，，，.‎ ‎11. D 依题意，，令，则原式化为，解得（舍去）；故，则，即，即，即，解得或，则.‎ ‎12. A 依题意，令故问题转化为有两个不同的实数解，即函数的图像与直线至少有两个交点；作出函数的图像如下所示，易知直线过定点，故可以寻找出临界状态如下虚线所示；联立故，即，令，解得，因为，故，结合图像知，实数的取值范围为.‎ 13. 14. ‎，，，，.‎ 15. ‎，，，曲线在点处的切线方程为，又是偶函数，所以曲线在点处的切线方程为.‎ 16. 依题意，正方体的棱长为1；如图所示，当点为线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，截面为五边形，故线段的取值范围为 17. 解:（Ⅰ）‎ ‎，， ‎ ‎，，，， ‎ 是等比数列，，的通项公式为，‎ 的前项和. （Ⅱ）由及得 ， 时，， ， ， ‎ ‎，‎ 的通项公式为.， 18.解：（Ⅰ）依题意，∽，故； （Ⅱ）依题意，所求平均数为故所用流量的平均值为； （Ⅲ)由题意可知， ， ， 所以，关于的回归方程为： 19.（Ⅰ）证明：因为平面，所以 又因为底面是矩形，所以 又因为，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （Ⅱ)解：方法一：（几何法)过点作，垂足为点，连接 ‎. 不妨设，则. 因为平面，所以. 又因为底面是矩形，所以. 又因为，所以平面，所以A. 又因为，所以平面，所以 所以就是二面角的平面角. 在中，由勾股定理得， 由等面积法，得， 又由平行线分线段成比例定理，得. 所以.所以. 所以. 所以二面角的正切值为. 方法二：（向量法）以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系：‎ ‎ 不妨设，则由（Ⅱ）可得，. 又由平行线分线段成比例定理，得， 所以，所以. ‎ 所以点，，. 则，. 设平面的法向量为，则 由得得 令，得平面的一个法向量为； 又易知平面的一个法向量为； 设二面角的大小为，则. 所以.所以二面角的正切值为. 20.解：（Ⅰ）的准线方程为，当点纵坐标为1时， ，， 势物线的方程为. （Ⅱ）在上，， 又,设方程为，由得， ‎ 令，，则，，，，,‎ ‎， 或0， ‎ 当时，过点（舍），，‎ 方程为. 21.解：（Ⅰ）函数的定义域是. 求导得. 设，则与同号. 所以，若，则对任意恒成立. 所以函数在上单调递减. 又， 所以当时，满足.即当时，满足. 所以函数在上单调递减. （Ⅱ）①当时，函数在上单调递减. 由，又，时，， 取，则， 所以一定存在某个实数，使得. 故在上，；在上，. 即在上，；在上，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减.此时函数只有1个极值点，不合题意，舍去； ②当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数的单调情况如下表：‎ ‎0‎ ‎＋‎ 极小值 要使函数在内存在两个极值点，则需满足，即， 解得又，， 所以. 此时，， 又，； 综上，存在实数，使得函数在内存在两个极值点. 22.解：（Ⅰ）由得， 的极坐标方程为即，. （Ⅱ）由得， 设，，则，. 23.解:（Ⅰ）时，， ‎ ‎ 由得， 不等式的解集为. （Ⅱ）对成立， 又对成立，， ，即. ‎