高中数学选修2-2课件1_7_1 定积分在几何中的应用 18页

1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 问题提出 1. 定积分 的含义及 其几何意义分别是什么 x y a b y ＝ f ( x ) O 2. 微积分基本定理是什么？ 如果 f ( x ) 是区间 [ a ， b ] 上的连续函数， 并且 ，则 . 3. 用定积分可以表示曲边梯形的面积，微积分基本定理为定积分的计算提供了一种有效的方法，二者强强联合，可以解决平面几何中曲边图形的面积问题 . 定积分在几 何中的应用 探究（一）： 曲线 y 2 ＝ x 与 y ＝ x 2 所围成图 形的面积 思考 1 ： 曲线 y 2 ＝ x 与 y ＝ x 2 所围成的图形是什么？其交点坐标是什么？ 1 1 x y O y 2 ＝ x y ＝ x 2 (0,0) (1,1) 思考 2 ： 如何将该图形的面积转化为曲边梯形的面积？ x y O 1 1 A B C D y 2 ＝ x y ＝ x 2 S ＝ S 曲边梯形 OABC － S 曲边梯形 OADC. 思考 3 ： 该图形的面积用定积分怎样表示？ x y O 1 1 A B C D y 2 ＝ x y ＝ x 2 思考 4 ： 利用微积分基本定理计算，该图形的面积等于多少？ x y O 1 1 A B C D y 2 ＝ x y ＝ x 2 探究（二）： 直线 y ＝ x － 4 与曲线 及 x 轴所围成图形的面积 思考 1 ： 直线 y ＝ x － 4 与曲线 及 x 轴所围成的图形是什么？各顶点的坐标是什么？ 8 4 4 x y O y ＝ x － 4 (8,4) (0,0) (4,0) x y O 4 8 y ＝ x － 4 4 A B C D 思考 2 ： 如何将该图形的面积转化为曲边梯形的面积？ S ＝ S 曲边梯形 OABC － S 三角形 ABD. 思考 3 ： 该图形的面积用定积分怎样表示？ x y O 4 8 y ＝ x － 4 4 A B C D 思考 4 ： 利用微积分基本定理计算，该图形的面积等于多少？ x y O 4 8 y ＝ x － 4 4 A B C D 理论迁移 例 1 计算由直线 y ＝ 2 － x ， 和曲线 所围成的平面图形的面积 . x y O 3 2 y ＝ 2 － x 1 A B 1 － 1 例 2 如图，直线 y ＝ k x 将抛物线 y ＝ x － x 2 与 x 轴所围成的平面图形分成 面积相等的两部分，求实数 k 的值 . x y O y ＝ kx y ＝ x － x 2 1 1 － k 小结作业 1. 定积分在几何中的应用，主要用于求平面曲边图形的面积 . 解题时，一般先要画出草图，再根据图形确定被积函数以及积分的上、下限 . 2. 定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积 . 对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解 . 3. 位于 x 轴下方的曲边梯形的面积，等于相应定积分的相反数 . 一般地，设由直线 x ＝ a ， x ＝ b ( a ＜ b ) ， y ＝ 0 和曲线 y ＝ f ( x ) 所 围成的曲边梯形的面积为 S ，则 . x y a b y ＝ f ( x ) O y ＝ | f ( x )| 作业： P58 练习： （ 1 ），（ 2 ） . P60 习题 1.7B 组： 1 ， 2 ， 3.