【数学】2020届一轮复习人教A版反证法教案 3页

一、知识与技能 ‎1．了解命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；‎ ‎2．能正确判断命题的真假，掌握四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．合理进行思维的方法。‎ ‎3．会用反证法证明简单的数学问题 二、过程与方法 ‎1．从实例出发，抽象出命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；‎ ‎2．由具体事例入手，让学生发现命题、逆命题、否命题与逆否命题的关系；‎ ‎3．由互为逆否命题的真假一致引导学生学会准确地判断命题的真假。[来源:学优高考网]‎ 三、情感态度与价值观 初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识。‎ 四、新课学习 ‎1．反证法的逻辑依据 ‎【师生互动】‎ ‎【例7】证明：若，且，则。‎ 分析：对于该命题的证明，从正面着手：‎ ‎∵ ∴‎ 又∵， ∴且，即 直接证明也可以。但总给人一种说理不是那么很得劲，美中不足的感觉。如果采用了证明方法：‎ 假设不全为0，不妨设，则 ‎∵ ∴‎ 这与已知的矛盾，故。‎ 就会给人一种无可辩驳，不得不服的感觉。‎ ‎【师】对于后一种证明方法，大家能把它以“若则”的形式表述出来再看看合原来要证明的命题是什么关系吗？‎ ‎【生】后面要证明的命题写成“若则”的形式是：“若不全为0，则”原命题写成“若则”的形式是：“若，则”。‎ 它们两者之间互为逆否命题，真假一致。‎ ‎【师】像这样的证明方法我们把它叫做反证法。‎ ‎2．反证法的概念 通过否定命题的结论而导出矛盾（可以是与原命题条件矛盾，也可以是与定义、定理、性质矛盾）来达到肯定命题的结论的一种数学证明方法.‎ 关于反证法，实际上我们在初中学习平行线时，就早已遇到过了.‎ 我们知道，在同一个平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种.我们学过了平行公理：“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”.下面我们用反证法来证明它的一个推论：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.‎ 已知：如图，∥，∥，求证：∥.‎ 证明：假设不平行于，即，则 ‎∵∥，∥，‎ 于是经过点就将有两条直线和都与平行，根据平行公理，这是不可能的.‎ ‎∴与不能相交，只能平行.‎ ‎3．反证法的主要步骤 仔细分析上述问题不难看出，运用反证法时，其主要步骤可以概括为：否定——推理——否定——肯定，四个步骤，即 ‎⑴否定结论——假设命题的结论不对，即肯定结论的反面成立；‎ ‎⑵推出矛盾——由结论的反面（称为“暂时假设”）出发，通过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾；‎ ‎⑶否定假设——由正确推理导出了矛盾，说明“暂时假设”不对；‎ ‎⑷肯定结论——由于否定结论是不对的，于是肯定结论成立.‎ 在上述四步中，关键是第二步，即“由‘暂时假设’推出矛盾”，怎样导出矛盾？通常有以下几种情况：‎ ‎①推出与定义、公理、定理相矛盾的结论；[来源:学优高考网]‎ ‎②推出与已知条件相矛盾的结论；‎ ① 推出与“暂时假设”相矛盾的结论；‎ ‎④在证明过程中，推出自相矛盾的结论.‎ ‎【例8】用反证法证明：如果，那么.‎ 证明：假设不大于，则或者，或者.‎ ‎∵，‎ ‎∴当<与<与；=.这些都同已知条件矛盾， ∴.‎ 五、课堂小结：本节主要学习了反证法的基本原理及其四个步骤.它的四个步骤实则是两大阶段，前三步是第一阶段，它是以矛盾律为依据，采用了一种特殊方法—先假设论题的反面为真，然后进行推理，推出一个与已知的事实相矛盾的结果，从而说明的反面是谬误的；于是进入第二阶段，它是根据排中律说明，既然的反面是谬误的，那么论题 就一定是正确的，至此，论题得证. ‎ 六、作业布置：课本第8页习题1.1组第4题，组第1题