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- 2021-06-10 发布
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第
8
节
条件概率与事件的独立性
正态分布
最新考纲
1.
了解条件概率和两个事件相互独立的概念;
2.
理解
n
次独立重复试验的模型及二项分布
.
能解决一些简单的实际问题;
3.
了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义
,
并进行简单应用
.
知
识
梳
理
1
.条件概率及其性质
条件概率的定义
条件概率公式
对于任何两个事件
A
和
B
,在
已知
____________
的
条件下
,
___________
的
概率叫做条件概率,用符号
“
_______
”
表示
P
(
B
|
A
)
=
___________
,其中
______
>
0
,
_____
称为
事件
A
与
B
的交
(
或积
).
事件
A
发生
事件
B
发生
P
(
B
|
A
)
P
(
A
)
A
∩
B
2.
事件的独立性
(1)
相互独立的定义:事件
A
是否发生对事件
B
发生的概率
__________
,即
_____________
.这时,称两个事件
A
,
B
相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件.
(2)
概率公式
没有影响
P
(
B
|
A
)
=
P
(
B
)
条件
公式
A
,
B
相互独立
P
(
A
∩
B
)
=
____________
A
1
,
A
2
,
…
,
A
n
相互独立
P
(
A
1
∩
A
2
∩…∩
A
n
)
=
_______________________
P
(
A
)
×
P
(
B
)
P
(
A
1
)
×
P
(
A
2
)
×…×
P
(
A
n
)
3.
独立重复试验与二项分布
(1)
独立重复试验
①
定义:在
_______
条件下,
_______
做
n
次试验,各次试验的结果
__________
,那么一般就称它们为
n
次独立重复试验.
②
概率公式:在一次试验中事件
A
发生的概率为
p
,则
n
次独立重复试验中,事件
A
恰好发生
k
次的概率为
P
n
(
k
)
=
____________
(
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
)
.
相同的
重复地
相互独立
(2)
二项分布:在
n
次独立重复试验中,事件
A
发生的次数设为
X
,事件
A
不发生的概率为
q
=
1
-
p
,则
n
次独立重复试验中事件
A
恰好发生
k
次的概率是
P
(
X
=
k
)
=
___________
,其中
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
.
于是
X
的分布列:
X
0
1
…
k
…
n
P
______________
______________
…
…
______
此时称离散型随机变量
X
服从参数为
n
,
p
的二项分布,记
作
___________
.
X
~
B
(
n
,
p
)
上方
x
=
μ
④
当
μ
一定时,曲线的形状由
σ
确定,
σ
_______
,
曲线越
“
瘦高
”
,表示总体的分布越集中;
σ_______
,
曲线越
“
矮胖
”
,表示总体的分布越分散
.
(3)
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①
P
(
μ
-
σ
<
X
≤
μ
+
σ
)
=
_________
;
②
P
(
μ
-
2
σ
<
X
≤
μ
+
2
σ
)
=
_________
;
③
P
(
μ
-
3
σ
<
X
≤
μ
+
3
σ
)
=
_________
.
x
=
μ
越小
越大
0.682 6
0.954 4
0.997 4
[
常用结论与微点提醒
]
1.
运用公式
P
(
AB
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
时一定要注意公式成立的条件,只有当事件
A
,
B
相互独立时,公式才成立
.
2.
注意二项分布与超几何分布的联系与区别
.
有放回抽取问题对应二项分布,不放回抽取问题对应超几何分布,当总体容量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理
.
诊
断
自
测
解析
对于
(1)
,
相互独立事件的发生互不影响
,
而互斥事件是不能同时发生
,
故
(1)
错;对于
(2)
,
只有当
A
,
B
为相互独立事件时
,
公式
P
(
AB
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
才成立;对于
(4)
,
取到红球的个数
X
服从二项分布
.
答案
(1)
×
(2)
×
(3)
√
(4)
×
答案
B
3.
(2018·
烟台调研
)
设袋中有大小相同的
4
个红球和
2
个白球,若从中有放回地依次取出一个球,则
6
次取球中取出
2
个红球的概率为
________.
5.
已知随机变量
X
服从正态分布
N
(0
,
8
2
)
,若
P
(
X
>2)
=
0.023
,则
P
(
-
2
≤
X
≤
2)
=
________.
解析
因为
μ
=
0
,
所以
P
(
X
>2)
=
P
(
X
<
-
2)
=
0.023
,
所以
P
(
-
2
≤
X
≤
2)
=
1
-
2
×
0.023
=
0.954.
答案
0.954
答案
(1)B
(2)C
答案
B
规律方法
(1)
求解该类问题在于正确分析所求事件的构成
,
将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积
,
然后利用相关公式进行计算
.
(2)
求相互独立事件同时发生的概率的主要方法
①
利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解
.
②
正面计算较繁
(
如求用
“
至少
”
表述的事件的概率
)
或难以入手时
,
可从其对立事件入手计算
.
【训练
2
】
某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的
5
个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮
.
假设某选手正确回答每个问题的概率都是
0.8
,且每个问题的回答结果相互独立
.
则该选手恰好回答了
4
个问题就晋级下一轮的概率等于
________.
解析
记
“
该选手恰好回答了
4
个问题就晋级下一轮
”
为事件
A
,
由题意
,
若该选手恰好回答了
4
个问题就晋级下一轮
,
必有第二个问题回答错误
,
第三、四个回答正确
,
第一个问题可对可错
,
故
P
(
A
)
=
1
×
0.2
×
0.8
×
0.8
=
0.128.
答案
0.128
考点三 独立重复试验与二项分布
(
易错警示
)
【例
3
】
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的
40
件产品作为样本称出它们的质量
(
单位:克
)
,质量的分组区间为
(490
,
495]
,
(495
,
500]
,
…
,
(510
,
515].
由此得到样本的频率分布直方图
(
如下图
).
(1)
根据频率分布直方图,求质量超过
505
克的产品数量;
(2)
在上述抽取的
40
件产品中任取
2
件,设
X
为质量超过
505
克的产品数量,求
X
的分布列;
(3)
从该流水线上任取
2
件产品,设
Y
为质量超过
505
克的产品数量,求
Y
的分布列
.
∴
X
的分布列为
∴
Y
的分布列为
规律方法
利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程
,
但需要注意检查该概率模型是否满足公式
P
(
X
=
k
)
=
C
p
k
(1
-
p
)
n
-
k
的三个条件:
(1)
在一次试验中某事件
A
发生的概率是一个常数
p
;
(2)
n
次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验
,
而且各次试验的结果是相互独立的;
(3)
该公式表示
n
次试验中事件
A
恰好发生了
k
次的概率
.
易错警示
1.
对于
①
,
超几何分布对应的抽取问题是不放回抽取
,
各次抽取不独立
,
而二项分布对应的抽取问题是有放回抽取
,
各次抽取是独立的
,
故
①
处不要误作二项分布来处理;对于
②
,
当超几何分布所对应的总体数量很大时
,
可近似为二项分布来处理
,
这一点不易想到
.
2
.
这两个分布列的期望是相等的
,
请思考这是否是巧合呢?
【训练
3
】
(2018·
河北
“
五个一
”
名校联盟二模
)
空气
质量指数
(AirQuality Index
,简称
AQI)
是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照
AQI
大小分为六级:
0
~
50
为优;
51
~
100
为良;
101
~
150
为轻度污染;
151
~
200
为中度污染;
201
~
300
为重度污染;
300
以上为严重污染
.
一环保人士记录去年某地六月
10
天的
AQI
的茎叶图如图
.
(1)
利用该样本估计该地六月空气质量为优良
(AQI
≤
100)
的天数;
(2)
将频率视为概率,从六月中随机抽取
3
天,记三天中空气质量为优良的天数为
ξ
,求
ξ
的分布列
.
考点四 正态分布
【例
4
】
(1)
(2018·
郑州模拟
)
已知随机变量
ξ
服从正态分布
N
(2
,
σ
2
)
,且
P
(
ξ
<4)
=
0.8
,则
P
(0<
ξ
<4)
=
(
)
A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2
(2
)
在
如图所示的正方形中随机投掷
10 000
个点,则落入阴影部分
(
曲线
C
为正态分布
N
(
-
1
,
1)
的密度曲线
)
的点的个数的估计值为
(
)
附:若
X
~
N
(
μ
,
σ
2
)
,则
P
(
μ
-
σ
<
X
<
μ
+
σ
)
=
0.682 6
,
P
(
μ
-
2
σ
<
X
<
μ
+
2
σ
)
=
0.954 4.
A.1 193
B.1
359
C.2
718 D.3 413
解析
(1)
因为随机变量
ξ
服从正态分布
N
(2
,
σ
2
)
,
μ
=
2
,
得对称轴为
x
=
2
,
P
(
ξ
<4)
=
0.8
,
∴
P
(
ξ
≥
4)
=
P
(
ξ
≤
0)
=
0.2
,
∴
P
(0<
ξ
<4)
=
0.6.
答案
(1)A
(2)B
规律方法
(1)
利用
3
σ
原则求概率问题时
,
要注意把给出的区间或范围与正态变量的
μ
,
σ
进行对比联系
,
确定它们属于
(
μ
-
σ
,
μ
+
σ
)
,
(
μ
-
2
σ
,
μ
+
2
σ
)
,
(
μ
-
3
σ
,
μ
+
3
σ
)
中的哪一个
.
(2)
利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题
,
涉及的知识主要是正态曲线关于直线
x
=
μ
对称
,
及曲线与
x
轴之间的面积为
1.
注意下面两个结论的活用:
①
P
(
X
<
a
)
=
1
-
P
(
X
≥
a
)
;
②
P
(
X
<
μ
-
σ
)
=
P
(
X
≥
μ
+
σ
).
【训练
4
】
已知某批零件的长度误差
(
单位:毫米
)
服从正态分布
N
(0
,
3
2
)
,从中随机取一件,其长度误差落在区间
(3
,
6)
内的概率为
(
附:若随机变量
ξ
服从正态分布
N
(
μ
,
σ
2
)
,
则
P
(
μ
-
σ
<
ξ
<
μ
+
σ
)
=
68.26%
,
P
(
μ
-
2
σ
<
ξ
<
μ
+
2
σ
)
=
95.44%.)
(
)
A.4.56
%
B.13.59
%
C.27.18
%
D.31.74
%
答案
B