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  • 2021-06-10 发布

2019届二轮复习计数原理、概率、随机变量及其分布第8节课件(46张)

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第 8 节  条件概率与事件的独立性 正态分布 最新考纲  1. 了解条件概率和两个事件相互独立的概念; 2. 理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布 . 能解决一些简单的实际问题; 3. 了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义 , 并进行简单应用 . 知 识 梳 理 1 .条件概率及其性质 条件概率的定义 条件概率公式 对于任何两个事件 A 和 B ,在 已知 ____________ 的 条件下 , ___________ 的 概率叫做条件概率,用符号 “ _______ ” 表示 P ( B | A ) = ___________ ,其中 ______ > 0 , _____ 称为 事件 A 与 B 的交 ( 或积 ). 事件 A 发生 事件 B 发生 P ( B | A ) P ( A ) A ∩ B 2. 事件的独立性 (1) 相互独立的定义:事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率 __________ ,即 _____________ .这时,称两个事件 A , B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件. (2) 概率公式 没有影响 P ( B | A ) = P ( B ) 条件 公式 A , B 相互独立 P ( A ∩ B ) = ____________ A 1 , A 2 , … , A n 相互独立 P ( A 1 ∩ A 2 ∩…∩ A n ) = _______________________ P ( A ) × P ( B ) P ( A 1 ) × P ( A 2 ) ×…× P ( A n ) 3. 独立重复试验与二项分布 (1) 独立重复试验 ① 定义:在 _______ 条件下, _______ 做 n 次试验,各次试验的结果 __________ ,那么一般就称它们为 n 次独立重复试验. ② 概率公式:在一次试验中事件 A 发生的概率为 p ,则 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P n ( k ) = ____________ ( k = 0 , 1 , 2 , … , n ) . 相同的 重复地 相互独立 (2) 二项分布:在 n 次独立重复试验中,事件 A 发生的次数设为 X ,事件 A 不发生的概率为 q = 1 - p ,则 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率是 P ( X = k ) = ___________ ,其中 k = 0 , 1 , 2 , … , n . 于是 X 的分布列: X 0 1 … k … n P ______________ ______________ … … ______ 此时称离散型随机变量 X 服从参数为 n , p 的二项分布,记 作 ___________ . X ~ B ( n , p ) 上方 x = μ ④ 当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定, σ _______ , 曲线越 “ 瘦高 ” ,表示总体的分布越集中; σ_______ , 曲线越 “ 矮胖 ” ,表示总体的分布越分散 . (3) 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ① P ( μ - σ < X ≤ μ + σ ) = _________ ; ② P ( μ - 2 σ < X ≤ μ + 2 σ ) = _________ ; ③ P ( μ - 3 σ < X ≤ μ + 3 σ ) = _________ . x = μ 越小 越大 0.682 6 0.954 4 0.997 4 [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 运用公式 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) 时一定要注意公式成立的条件,只有当事件 A , B 相互独立时,公式才成立 . 2. 注意二项分布与超几何分布的联系与区别 . 有放回抽取问题对应二项分布,不放回抽取问题对应超几何分布,当总体容量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理 . 诊 断 自 测 解析  对于 (1) , 相互独立事件的发生互不影响 , 而互斥事件是不能同时发生 , 故 (1) 错;对于 (2) , 只有当 A , B 为相互独立事件时 , 公式 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) 才成立;对于 (4) , 取到红球的个数 X 服从二项分布 . 答案  (1) ×   (2) ×   (3) √   (4) × 答案  B 3. (2018· 烟台调研 ) 设袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球,若从中有放回地依次取出一个球,则 6 次取球中取出 2 个红球的概率为 ________. 5. 已知随机变量 X 服从正态分布 N (0 , 8 2 ) ,若 P ( X >2) = 0.023 ,则 P ( - 2 ≤ X ≤ 2) = ________. 解析   因为 μ = 0 , 所以 P ( X >2) = P ( X < - 2) = 0.023 , 所以 P ( - 2 ≤ X ≤ 2) = 1 - 2 × 0.023 = 0.954. 答案   0.954 答案   (1)B   (2)C 答案  B 规律方法   (1) 求解该类问题在于正确分析所求事件的构成 , 将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积 , 然后利用相关公式进行计算 . (2) 求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 ① 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解 . ② 正面计算较繁 ( 如求用 “ 至少 ” 表述的事件的概率 ) 或难以入手时 , 可从其对立事件入手计算 . 【训练 2 】 某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮 . 假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8 ,且每个问题的回答结果相互独立 . 则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 ________. 解析  记 “ 该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮 ” 为事件 A , 由题意 , 若该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮 , 必有第二个问题回答错误 , 第三、四个回答正确 , 第一个问题可对可错 , 故 P ( A ) = 1 × 0.2 × 0.8 × 0.8 = 0.128. 答案  0.128 考点三 独立重复试验与二项分布 ( 易错警示 ) 【例 3 】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的质量 ( 单位:克 ) ,质量的分组区间为 (490 , 495] , (495 , 500] , … , (510 , 515]. 由此得到样本的频率分布直方图 ( 如下图 ). (1) 根据频率分布直方图,求质量超过 505 克的产品数量; (2) 在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 X 为质量超过 505 克的产品数量,求 X 的分布列; (3) 从该流水线上任取 2 件产品,设 Y 为质量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列 . ∴ X 的分布列为 ∴ Y 的分布列为 规律方法  利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程 , 但需要注意检查该概率模型是否满足公式 P ( X = k ) = C p k (1 - p ) n - k 的三个条件: (1) 在一次试验中某事件 A 发生的概率是一个常数 p ; (2) n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验 , 而且各次试验的结果是相互独立的; (3) 该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率 . 易错警示   1. 对于 ① , 超几何分布对应的抽取问题是不放回抽取 , 各次抽取不独立 , 而二项分布对应的抽取问题是有放回抽取 , 各次抽取是独立的 , 故 ① 处不要误作二项分布来处理;对于 ② , 当超几何分布所对应的总体数量很大时 , 可近似为二项分布来处理 , 这一点不易想到 . 2 . 这两个分布列的期望是相等的 , 请思考这是否是巧合呢? 【训练 3 】 (2018· 河北 “ 五个一 ” 名校联盟二模 ) 空气 质量指数 (AirQuality Index ,简称 AQI) 是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照 AQI 大小分为六级: 0 ~ 50 为优; 51 ~ 100 为良; 101 ~ 150 为轻度污染; 151 ~ 200 为中度污染; 201 ~ 300 为重度污染; 300 以上为严重污染 . 一环保人士记录去年某地六月 10 天的 AQI 的茎叶图如图 . (1) 利用该样本估计该地六月空气质量为优良 (AQI ≤ 100) 的天数; (2) 将频率视为概率,从六月中随机抽取 3 天,记三天中空气质量为优良的天数为 ξ ,求 ξ 的分布列 . 考点四 正态分布 【例 4 】 (1) (2018· 郑州模拟 ) 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N (2 , σ 2 ) ,且 P ( ξ <4) = 0.8 ,则 P (0< ξ <4) = (    ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 (2 ) 在 如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点,则落入阴影部分 ( 曲线 C 为正态分布 N ( - 1 , 1) 的密度曲线 ) 的点的个数的估计值为 (    ) 附:若 X ~ N ( μ , σ 2 ) ,则 P ( μ - σ < X < μ + σ ) = 0.682 6 , P ( μ - 2 σ < X < μ + 2 σ ) = 0.954 4. A.1 193 B.1 359 C.2 718 D.3 413 解析  (1) 因为随机变量 ξ 服从正态分布 N (2 , σ 2 ) , μ = 2 , 得对称轴为 x = 2 , P ( ξ <4) = 0.8 , ∴ P ( ξ ≥ 4) = P ( ξ ≤ 0) = 0.2 , ∴ P (0< ξ <4) = 0.6. 答案  (1)A   (2)B 规律方法   (1) 利用 3 σ 原则求概率问题时 , 要注意把给出的区间或范围与正态变量的 μ , σ 进行对比联系 , 确定它们属于 ( μ - σ , μ + σ ) , ( μ - 2 σ , μ + 2 σ ) , ( μ - 3 σ , μ + 3 σ ) 中的哪一个 . (2) 利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题 , 涉及的知识主要是正态曲线关于直线 x = μ 对称 , 及曲线与 x 轴之间的面积为 1. 注意下面两个结论的活用: ① P ( X < a ) = 1 - P ( X ≥ a ) ; ② P ( X < μ - σ ) = P ( X ≥ μ + σ ). 【训练 4 】 已知某批零件的长度误差 ( 单位:毫米 ) 服从正态分布 N (0 , 3 2 ) ,从中随机取一件,其长度误差落在区间 (3 , 6) 内的概率为 ( 附:若随机变量 ξ 服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) , 则 P ( μ - σ < ξ < μ + σ ) = 68.26% , P ( μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ ) = 95.44%.) (    ) A.4.56 % B.13.59 % C.27.18 % D.31.74 % 答案  B