【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第13讲变化率与导数学案 8页

第13讲　变化率与导数、导数的运算 ‎1.变化率与导数 ‎(1)平均变化率:‎ 概念 对于函数y=f(x),f(x‎2‎)-f(x‎1‎)‎x‎2‎‎-‎x‎1‎=ΔyΔx叫作函数y=f(x)从x1到x2的　　　　变化率 ‎ 几何意义 函数y=f(x)图像上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的　　　 ‎ 物理意义 若函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则ΔyΔx就是该质点在[x1,x2]上的　　　　速度 ‎ ‎(2)导数:‎ 概念 点x0处 limΔx→0‎ΔyΔx‎=limΔx→0‎f(x‎0‎+Δx)-f(x‎0‎)‎Δx,我们称它为函数y=f(x)在　　　　处的导数,记为f'(x0)或y'‎|‎x=‎x‎0‎,即f'(x0)=limΔx→0‎ΔyΔx= ‎limΔx→0‎f(x‎0‎+Δx)-f(x‎0‎)‎Δx 区间 ‎(a,b)‎ 当x∈(a,b)时,f'(x)=limΔx→0‎ΔyΔx=limΔx→0‎　　　　　　叫作函数在区间(a,b)内的导数 ‎ 几何 意义 函数y=f(x)在点x=x0处的导数f'(x0)就是函数图像在该点处切线的　　　　.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程是　　　　　　　　 ‎ 物理 意义 函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x0处的导数就是质点在x=x0时的　　　　速度,在(a,b)内的导数就是质点在(a,b)内的　　　　方程 ‎ ‎2.导数的运算 常用导数公式 原函数 导函数 特例或推广 常数 函数 C'=0(C为常数)‎ 幂函数 ‎(xn)'=　　　　(n∈Z) ‎ ‎1‎x‎'=-‎‎1‎x‎2‎ 三角 函数 ‎(sin x)'=　　　　,(cos x)'=　　　　 ‎ 偶(奇)函数的导数是 奇(偶)函数,周期函数 的导数是周期函数 指数 函数 ‎(ax)'=　　　　(a>0,且a≠1) ‎ ‎(ex)'=ex 对数 函数 ‎(logax)'=　　　　(a>0,且a≠1) ‎ ‎(ln x)'=‎1‎x,(ln|x|)'=‎‎1‎x 四则运算法则 加减 ‎[f(x)±g(x)]'=‎ ‎　　　 ‎ ‎∑‎i=1‎nfi‎(x)‎‎'=‎∑‎i=1‎nf'i(x)‎ 乘法 ‎[f(x)·g(x)]'=‎ ‎ ‎ ‎[Cf(x)]'=Cf'(x)‎ 除法 f(x)‎g(x)‎‎'=‎ ‎ ‎ ‎(g(x)≠0)‎ ‎1‎g(x)‎‎'=-‎g'(x)‎‎[g(x)‎‎]‎‎2‎ 复合函数求导 复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=　　　　,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积” ‎ 题组一　常识题 ‎1.[教材改编] 向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为　　　　. ‎ ‎2.[教材改编] 已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为c(x)=‎5284‎‎100-x(800),再根据两函数在x=a处的导数相等及切点在两曲线上列方程组,即可解得m的值.‎ ‎(1)B　(2)D　[解析] (1)∵f(x)=2ex+3ax+b,∴f'(x)=2ex+3a.‎ 由题意得f'(0)=2+3a=2,解得a=0.‎ ‎∵点(0,1)在f(x)=2ex+3ax+b的图像上,∴2+b=1,解得b=-1.‎ ‎∴a+b=0+(-1)=-1.‎ ‎(2)设两曲线在公共点(a,b)处的切线相同(a>0).‎ 由题得f'(x)=2x,h'(x)=‎6‎x-4,‎ 则b=a‎2‎-m,‎b=6lna-4a,‎‎2a=‎6‎a-4,‎解得a=1,‎b=-4,‎m=5.‎ 变式题　C　[解析] f'(x)=cosxx+1‎-ln(x+1)·sin x-a.‎ ‎∵函数f(x)=ln(x+1)·cos x-ax的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为45°,‎ ‎∴1-a=1,∴a=0,故选C.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【备选理由】 例1考查导数的运算法则等知识,意在考查学生的基本计算能力;例2在知识点的交汇处命题,分别考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式,利用导数的几何意义求切线方程等知识;例3是一道导数新概念题,需要依据新定义求解,计算量较大,供学有余力的同学学习;例4是导数几何意义的应用与求参数取值范围的综合问题,并涉及数形结合思想,有一定的综合性.‎ 例1　[配合例1使用] 设函数f(x)=x(2017+ln x).若f'(x0)=2018,则x0= (　　)‎ A.e B.e2‎ C.ln 2 D.1‎ ‎[解析] D　因为f(x)=x(2017+ln x),‎ 所以f'(x)=2018+ln x,‎ 所以f'(x0)=2018+ln x0=2018,所以x0=1.‎ 例2　[配合例2使用] [2018·荆州中学月考] 函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x3-2x2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为　　　　　　　　. ‎ ‎[答案] 7x-y-4=0‎ ‎[解析] ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x3-2x2,‎ ‎∴当x>0时,-x<0,f(-x)=(-x)3-2(-x)2=-x3-2x2=-f(x),‎ ‎∴当x>0时,f(x)=x3+2x2.‎ ‎∴f(1)=1+2=3,‎ f'(x)=3x2+4x,∴f'(1)=7,‎ ‎∴所求切线方程为y-3=7(x-1),‎ 即7x-y-4=0.‎ 例3　[配合例4使用] [2018·石家庄质检] 定义:如果函数f(x)在区间[a,b]上存在x1,x2(a0,‎g(0)=‎6‎‎5‎t-t‎2‎>0,‎g(t)=2t‎2‎-‎6‎‎5‎t>0,‎t>‎2‎‎5‎,‎ 解得‎3‎‎5‎0),‎若函数g(x)=f(x)-‎1‎‎2‎x-b有且仅有两个零点,则实数b的取值范围是　　　　. ‎ ‎[答案] 00)‎与函数y=‎1‎‎2‎x+b的图像有且仅有两个交点,‎ 作出函数f(x)=‎3‎‎-x‎(x≤0),‎x‎(x>0)‎与函数y=‎1‎‎2‎x+b的图像,如图所示.‎ 当b=0时,两函数图像有一个交点,是一个临界值.‎ 当直线y=‎1‎‎2‎x+b与f(x)=x(x>0)的图像相切时,两函数图像有一个交点,此时b的值是另一个临界值.‎ 设切点为(m,m),m>0,∵f'(x)=‎1‎‎2‎·‎1‎x(x>0),∴‎1‎‎2‎·‎1‎m=‎1‎‎2‎,解得m=1,‎ 故切点为(1,1),‎ 故b=1-‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎.‎ 结合图像可得,0