2020年浙江新高考数学二轮复习专题强化练：专题六　2 第2讲　古典概率与离散型随机变量的分布列、均值和方差 12页

专题强化训练 [基础达标] 1．某同学求得一离散型随机变量的分布列为 X 0 1 2 P 0.2 0.3 3a－1 则 a 的值为(　　) A．0.3　　　B．0.4　　　C．0.5　　　D．0.6 解析：选 C.由分布列性质得 0.2＋0.3＋3a－1＝1， 所以 a＝0.5，故选 C. 2．袋中装有 6 个白球，5 个黄球，4 个红球，从中任取一球，取出白球的概率为(　　) A. 2 5 B. 4 15 C. 3 5 D. 1 15 解析：选 A.从 15 个球中任取一球有 15 种取法，取出白球有 6 种，所以取出白球的概率 P ＝ 6 15＝ 2 5. 3．设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数，则 P(X＝0)等于(　　) A．0 B. 1 2 C. 1 3 D. 2 3 解析：选 C.设 X 的分布列为 X 0 1 P p 2p 即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，由 p＋2p＝1，得 p＝ 1 3，故应选 C. 4．(2019·嘉兴市一中高考适应性考试)随机变量 X 的分布列如下表，且 E(X)＝2，则 D(2X －3)＝(　　) X 0 2 a P 1 6 p 1 3 A.2 B．3 C．4 D．5 解析：选 C.由题意可得： 1 6＋p＋ 1 3＝1，解得 p＝ 1 2，因为 E(X)＝2，所以 0× 1 6＋2× 1 2＋a× 1 3＝2，解得 a＝3. D(X)＝(0－2)2× 1 6＋(2－2)2× 1 2＋(3－2)2× 1 3＝1.D(2X－3)＝4D(X)＝4.故选 C. 5．若随机变量 X 的分布列为 ，其中 C 为常数，则下列结论正确的是(　　) A．E(X)＝D(X)＝0 B．E(X)＝C，D(X)＝0 C．E(X)＝0，D(X)＝C D．E(X)＝D(X)＝C 解析：选 B.E(X)＝C×1＝C，D(X)＝(E(X)－C)2×1＝0，故选 B. 6．设随机变量 Y 的分布列如下表： Y －1 2 3 P 1 4 m 1 4 则“ 3 2≤Y≤ 7 2”的概率为(　　) A. 1 4 B. 1 2 C. 3 4 D.2 3 解析：选 C.依题意知， 1 4＋m＋ 1 4＝1，则 m＝ 1 2. 故 P(3 2 ≤ Y ≤ 7 2)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝ 1 2＋ 1 4＝ 3 4. 7．已知 M＝{1，2，3，4}，若 a∈M，b∈M，则函数 f(x)＝ax 3＋bx2＋x－3 在 R 上为增 函数的概率是(　　) A. 9 16 B. 7 16 C. 5 16 D. 3 16 解析：选 A.记事件 A 为“函数 f(x)＝ax3＋bx2＋x－3 在 R 上为增函数”． 因为 f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以 f′(x)＝3ax2＋2bx＋1.当函数 f(x)在 R 上为增函数时，f′ (x)≥0 在 R 上恒成立． 又 a>0，所以 Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0 在 R 上恒成立，即 a≥ b2 3 . 当 b＝1 时，有 a≥ 1 3，故 a 可取 1，2，3，4，共 4 个数； 当 b＝2 时，有 a≥ 4 3，故 a 可取 2，3，4，共 3 个数； 当 b＝3 时，有 a≥3，故 a 可取 3，4，共 2 个数； 当 b＝4 时，有 a≥ 16 3 ，故 a 无值可取． 综上，事件 A 包含的基本事件有 4＋3＋2＝9(个)． 又 a, b∈{1，2，3，4}，所以所有的基本事件共有 4×4＝16(个)．故所求事件 A 的概率为 P(A)＝ 9 16.故选 A. 8．一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c(a，b，c∈(0，1))．已知他投篮一次得分的数学期望为 2(不计其他得分情况)，则 ab 的最大 值为(　　) A. 1 6 B. 1 12 C. 1 24 D. 1 48 解析：选 A.由题意知该运动员投篮一次得分的数学期望为 E＝0×c＋2×b＋3×a＝3a＋ 2b＝2.由均值不等式知 3a＋2b≥2 6ab， 所以 2 6ab≤2，即 ab≤ 1 6. 9．一个射箭运动员在练习时只记射中 9 环和 10 环的成绩，未射中 9 环或 10 环就以 0 环 记，该运动员在练习时射中 10 环的概率为 a，射中 9 环的概率为 b，即未射中 9 环也未射中 10 环的概率为 c(a，b，c∈[0，1))，如果已知该运动员一次射箭射中环数的期望为 9 环，则当 10 a ＋ 1 9b取最小值时，c 的值为(　　) A. 1 11 B. 2 11 C. 5 11 D．0 解析：选 A.由该运动员一次射箭射中环数的期望为 9 环得 10a＋9b＝9，所以 10 a ＋ 1 9b＝ (10 a ＋ 1 9b)(10a 9 ＋b)＝ 101 9 ＋10(b a＋ a 81b)， 当且仅当 b a＝ a 81b，即 a＝9b 时， 10 a ＋ 1 9b取得最小值，解得{a＝ 9 11， b＝ 1 11， 此时 c＝1－a－b＝1－ 9 11－ 1 11＝ 1 11. 10．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球 3 次．一旦发球成功， 则停止发球，否则一直发到 3 次为止，设学生一次发球成功的概率为 p(p≠0)，发球次数为 X， 若 X 的数学期望 E(X)> 7 4，则 p 的取值范围是(　　) A.(0， 7 12) B.( 7 12，1) C.(0， 1 2 ) D.(1 2，1 ) 解析：选 C.由已知条件可得 P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3 ＝(1－p)2，则 E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3> 7 4， 解得 p> 5 2或 p< 1 2，又由 p∈(0, 1)可得 p∈(0， 1 2)． 11．(2019·浙江新高考联盟联考)已知随机变量 X 的分布列是： X 0 1 2 P 1 6 1 3 m 则 m＝________，E(X)＝________． 解析：因为 1 6＋ 1 3＋m＝1，所以 m＝ 1 2.所以 E(X)＝0× 1 6＋1× 1 3＋2× 1 2＝ 4 3. 答案： 1 2　 4 3 12．(2019·浙江新高考冲刺卷)某中学的十佳校园歌手有 6 名男同学，4 名女同学，其中 3 名来自 1 班，其余 7 名来自其他互不相同的 7 个班，现从 10 名同学中随机选择 3 名参加文艺 晚会，则选出的 3 名同学来自不同班级的概率为________，设 X 为选出 3 名同学中女同学的 人数，则该变量 X 的数学期望为________． 解析：设“选出的 3 名同学是来自互不相同班级”为事件 A，则 P(A)＝ C × C＋C C ＝49 60. 随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，P(X＝k)＝ CC C (k＝0，1，2，3)． 所以随机变量 X 的分布列是： X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 随机变量 X 的数学期望 E(X)＝0＋1× 1 2＋2× 3 10＋3× 1 30＝ 6 5. 答案： 49 60　 6 5 13．从 4 双不同鞋子中任取 4 只，则其中恰好有一双的不同取法有________种，记取出 的 4 只鞋子中成双的鞋子对数为 X，则随机变量 X 的数学期望 E(X)＝________． 解析：①从 4 双不同鞋子中任取 4 只，则其中恰好有一双的不同取法有 C14C23C12C12＝48. ②X＝0，1，2，P(X＝0)＝ （C）4 C ＝ 8 35，P(X＝1)＝ 48 C ＝ 24 35，P(X＝2)＝ C C＝ 3 35. X 的分布列为： X 0 1 2 P 8 35 24 35 3 35 E(X)＝0＋1× 24 35＋2× 3 35＝ 6 7. 答案：48　 6 7 14．随机变量 ξ 的分布列如下表： ξ －1 0 1 P a b c 其中 a，b，c 成等差数列．若 E(ξ)＝ 1 3，则 D(ξ)的值是________． 解析：由题意可得{－1·a＋0·b＋1·c＝1 3， a＋b＋c＝1， 2b＝a＋c， 解得{a＝1 6， b＝1 3， c＝1 2， 所以 D(ξ)＝(－1－1 3) 2 × 1 6＋(0－1 3 )2 × 1 3＋(1－1 3 ) 2 × 1 2＝ 5 9. 答案： 5 9 15．已知集合 M＝{1，2，3，4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A 是集合 N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线 OA 与抛物线 y＝x2＋1 有交点的概率是________． 解析：易知过点(0，0)与抛物线 y＝x2＋1 相切的直线为 y＝2x(斜率小于 0 的无需考虑)， 集合 N 中共有 16 个元素，其中使 OA 斜率不小于 2 的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共 4 个，由古典概型的概率计算公式知概率为 P＝ 4 16＝ 1 4. 答案：1 4 16．将两封信随机投入 A，B，C 三个空邮箱，则 A 邮箱的信件数 ξ 的数学期望 E(ξ)＝ ________． 解析：将两封信投入 A，B，C 三个空邮箱，投法种数是 32＝9， A 中没有信的投法种数是 2×2＝4，概率为 4 9； A 中仅有一封信的投法种数是 C12×2＝4，概率为 4 9； A 中有两封信的投法种数是 1，概率为 1 9. 故 A 邮箱的信件数 ξ 的数学期望 E(ξ)＝ 4 9×0＋ 4 9×1＋1 9×2＝ 2 3. 答案： 2 3 17．(2019·温州市高考模拟)袋中有 6 个编号不同的黑球和 3 个编号不同的白球，这 9 个 球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取 3 个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白 球的方法总数是________，设摸取的这三个球中所含的黑球数为 X，则 P(X＝k)取最大值时，k 的值为________． 解析：袋中有 6 个编号不同的黑球和 3 个编号不同的白球，这 9 个球的大小及质地都相 同，现从该袋中随机摸取 3 个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是： n＝C26C13＝45. 设摸取的这三个球中所含的黑球数为 X，则 X 的可能取值为 0，1，2，3， P(X＝0)＝ C C＝ 1 84， P(X＝1)＝ CC C ＝ 18 84， P(X＝2)＝ CC C ＝ 45 84， P(X＝3)＝ C C＝ 20 84， 所以 P(X＝k)取最大值时，k 的值为 2. 答案：45　2 18．(2019·湖州市高三期末考试)袋中装有 9 个形状大小相同但颜色不同的小球，其中红 色、蓝色、黄色球各 3 个，现从中随机地连取 3 次球，每次取 1 个，记事件 A 为“3 个球都是 红球”，事件 B 为“3 个球颜色不全相同”． (1)若每次取球后不放回，分别求出事件 A 和事件 B 的概率(用数字作答)； (2)若每次取球后放回，分别求出事件 A 和事件 B 的概率(用数字作答)． 解：(1)袋中装有 9 个形状大小相同但颜色不同的小球，其中红色、蓝色、黄色球各 3 个， 现从中随机地连取 3 次球，每次取 1 个，记事件 A 为“3 个球都是红球”，事件 B 为“3 个球 颜色不全相同”， 每次取后不放回，基本事件总数 n＝9×8×7＝504， 事件 A 包含的基本事件个数 mA＝3×2×1＝6， 事件 B 的对立事件是“3 个球颜色全相同”， 所以事件 A 的概率 P(A)＝ mA n ＝ 3 252 事件 B 的概率 P(B)＝1－ 6＋6＋6 504 ＝ 27 28. (2)每次取后放回，基本事件总数 n′＝9×9×9＝729，事件 A 包含的基本事件个数 mA′＝ 3×3×3＝27， 事件 B 的对立事件是“3 个球颜色全相同”， 所以事件 A 的概率 P(A)＝ mA′ n′＝ 27 729＝ 1 27. 事件 B 的概率 P(B)＝1－ 27＋27＋27 729 ＝ 8 9. 19．(2019·浙江金华十校期末调研)甲、乙同学参加学校“一站到底”闯关活动，活动规 则：①依次闯关过程中，若闯关成功则继续答题；若没通关则被淘汰；②每人最多闯 3 关；③ 闯第一关得 10 分，闯第二关得 20 分，闯第三关得 30 分，一关都没过则没有得分．已知甲每 次闯关成功的概率为 1 4，乙每次闯关成功的概率为 1 3. (1)设乙的得分总数为 ξ，求 ξ 的分布列和数学期望； (2)求甲恰好比乙多 30 分的概率． 解：(1)ξ 的取值为 0，10，30，60. P(ξ＝0)＝1－ 1 3＝ 2 3，P(ξ＝10)＝ 1 3×(1－ 1 3)＝ 2 9，P(ξ＝30)＝ 1 3× 1 3×(1－ 1 3)＝ 2 27，P(ξ＝60)＝ ( 1 3)3＝ 1 27. 则 ξ 的分布列如下表： ξ 0 10 30 60 P 2 3 2 9 2 27 1 27 E(ξ)＝0× 2 3＋10× 2 9＋30× 2 27＋60× 1 27＝ 20 3 . (2)设甲恰好比乙多 30 分为事件 A，甲恰好得 30 分且乙恰好得 0 分为事件 B1，甲恰好得 60 分且乙恰好得 30 分为事件 B2，则 A＝B1∪B2，B1、B2 为互斥事件． P(A)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝( 1 4)2× 3 4× 2 3＋( 1 4)3× 2 27＝ 7 216. 所以，甲恰好比乙多 30 分的概率为 7 216. [能力提升] 1．某射击运动员在一次射击比赛中所得环数 ξ 的分布列如下： ξ 3 4 5 6 P x 0.1 0.3 y 已知 ξ 的均值 E(ξ)＝4.3，则 y 的值为(　　) A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.1 解析：选 C.由题意知，x＋0.1＋0.3＋y＝1，又 E(ξ)＝3x＋4×0.1＋5×0.3＋6y＝4.3，两式 联立解得 y＝0.2. 2．若 p 为非负实数，随机变量 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 P 1 2－p p 1 2 则 E(ξ)的最大值为(　　) A．1 B. 3 2 C. 5 2 D．2 解析：选 B.由{0 ≤ p ≤ 1 2 0 ≤ 1 2－P ≤ 1 2 ，得 0≤p≤ 1 2，E(ξ)＝p＋1≤ 3 2. 3．设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝ 1 5(k＝2，4，6，8，10)，则 D(X)等于(　　) A．5 B．8 C．10 D．16 解析：选 B.因为 E(X)＝ 1 5(2＋4＋6＋8＋10)＝6， 所以 D(X)＝ 1 5[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8. 4．已知离散型随机变量 X 的分布列如下表，若 E(X)＝0，D(X)＝1，则 a，b 的值分别为 (　　) X －1 0 1 2 P a b c 1 12 A. 5 12， 1 4 B. 7 12， 1 4 C. 1 12， 3 4 D. 1 3， 1 4 解析：选 A.由题意知 a＋b＋c＝ 11 12，－a＋c＋ 1 6＝0，(－1)2a＋12c＋22× 1 12＝1，解得 a＝ 5 12，b＝ 1 4. 5．设掷 1 枚骰子的点数为 ξ，则(　　) A．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.52 B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝35 12 C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5 D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ 35 16 解析：选 B.随机变量 ξ 的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 6 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 从而 E(ξ)＝1× 1 6＋2× 1 6＋3× 1 6＋4× 1 6＋5× 1 6＋6× 1 6＝3.5， D(ξ)＝(1－3.5)2× 1 6＋(2－3.5)2× 1 6＋(3－3.5)2× 1 6＋(4－3.5)2× 1 6＋(5－3.5)2×1 6＋(6－3.5)2 × 1 6＝ 35 12. 6．如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅 拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 X，则 X 的均值 E(X)＝(　　) A.126 125 B. 6 5 C. 168 125 D. 7 5 解析：选 B.依题意得 X 的取值可能为 0，1，2，3，且 P(X＝0)＝ 33 125＝ 27 125，P(X＝1)＝ 9 × 6 125 ＝ 54 125，P(X＝2)＝ 3 × 12 125 ＝ 36 125，P(X＝3)＝ 8 125.故 E(X)＝0× 27 125＋1× 54 125＋2× 36 125＋3× 8 125＝ 6 5. 7．(2019·杭州高考二模)已知随机变量 ξ 的概率分布列为： ξ 0 1 2 P 1 4 1 2 1 4 则 E(ξ)＝________，D(ξ)＝________． 解析：由随机变量 ξ 的概率分布列，知 E(ξ)＝0× 1 4＋1× 1 2＋2× 1 4＝1， D(ξ)＝(0－1)2×1 4＋(1－1)2× 1 2＋(2－1)2× 1 4＝ 1 2. 答案：1　 1 2 8．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取 一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数 X 的分布列为________． 解析：X 的所有可能值为 0，1，2. P(X＝0)＝CC CC＝ 1 4， P(X＝1)＝ CC × 2 CC ＝ 1 2， P(X＝2)＝ CC CC＝ 1 4. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 4 1 2 1 4 答案： X 0 1 2 P 1 4 1 2 1 4 9.在集合 A＝{2，3}中随机取一个元素 m，在集合 B＝{1，2，3}中随机取一个元素 n，得 到点 P(m，n)，则点 P 在圆 x2＋y2＝9 内部的概率为________． 解析：点 P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6 种情况，只有 (2，1)，(2，2)这 2 种情况满足在圆 x2＋y2＝9 内部，所以所求概率为 2 6＝ 1 3. 答案： 1 3 10．一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c， a，b，c∈(0，1)，已知他投篮得分的数学期望是 2，则 2 a＋ 1 3b的最小值为________． 解析：由数学期望的定义可知 3a＋2b＝2， 所以 2 a＋ 1 3b＝ 1 2(3a＋2b)·(2 a＋ 1 3b) ＝ 1 2(6＋2 3＋4b a ＋a b)≥ 1 2(6＋2 3＋4)＝ 16 3 ， 当且仅当 4b a ＝ a b即 a＝ 1 2，b＝ 1 4时取得等号． 答案： 16 3 11．在某项大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗 位服务，每个岗位至少有一名志愿者． (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加 A 岗位服务的概率． 解：(1)记“甲、乙两人同时参加 A 岗位服务”为事件 EA，那么 P(EA)＝ A CA＝ 1 40，即甲、 乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 1 40. (2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件 E，那么 P(E)＝ A CA＝ 1 10， 所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P( E － )＝1－P(E)＝ 9 10. (3)有两人同时参加 A 岗位服务的概率 P2＝ CA CA＝ 1 4，所以仅有一人参加 A 岗位服务的概率 P1＝1－P2＝ 3 4. 12．小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以 O 为 起点，再从 A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)，这 8 个点中任取两点分别为终点得到两 个向量，记这两个向量的数量积为 X.若 X＝0 就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队． (1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求 X 的分布列． 解：(1)从 8 个点中任取两点为向量终点的不同取法共有 C28＝28(种)，当 X＝0 时，两向量 夹角为直角，共有 8 种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为 P(X＝0)＝ 8 28＝ 2 7. (2)两向量数量积 X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X＝－2 时，有 2 种情形；X＝1 时，有 8 种情形；X＝－1 时，有 10 种情形．所以 X 的分布列为 X －2 －1 0 1 P 1 14 5 14 2 7 2 7 13.某小组共 10 人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分 别为 3，3，4.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会． (1)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率； (2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期 望与方差． 解：(1)由已知，有 P(A)＝ CC＋C C ＝ 1 3. 所以，事件 A 发生的概率为 1 3. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2. P(X＝0)＝ C＋C＋C C ＝ 4 15， P(X＝1)＝ CC＋CC C ＝ 7 15， P(X＝2)＝ CC C ＝ 4 15. 所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 P 4 15 7 15 4 15 随机变量 X 的数学期望 E(X)＝0× 4 15＋1× 7 15＋2× 4 15＝1. 方差 D(X)＝ 4 15(0－1)2＋ 7 15(1－1)2＋ 4 15(2－1)2＝ 8 15. 14．袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n＝1，2， 3，4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号． (1)求 X 的分布列、期望和方差； (2)若 Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求 a，b 的值． 解：(1)X 的取值为 0，1，2，3，4，其分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 所以 E(X)＝0× 1 2＋1× 1 20＋2× 1 10＋3× 3 20＋4× 1 5＝1.5， D(X)＝(0－1.5)2× 1 2＋(1－1.5)2× 1 20＋(2－1.5)2× 1 10＋(3－1.5)2× 3 20＋(4－1.5)2× 1 5＝2.75. (2)由 D(Y)＝a2D(X)得 2.75a2＝11，得 a＝±2， 又 E(Y)＝aE(X)＋b， 所以当 a＝2 时，由 1＝2×1.5＋b，得 b＝－2； 当 a＝－2 时，由 1＝－2×1.5＋b，得 b＝4， 所以{a＝2， b＝－2或{a＝－2， b＝4.