【数学】2019届一轮复习人教A版圆锥曲线几何性质学案（理） 15页

母题7 圆锥曲线几何性质 ‎【母题原题1】【2018天津，理7】‎ 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点．设到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意首先求得的坐标，然后利用点到直线距离公式求得的值，之后求 则，则，双曲线的离心率：，‎ 据此可得：，则双曲线的方程为，故选C．‎ ‎【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据及渐近线之间的关系，求出的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 ‎，再由条件求出的值即可．‎ ‎【母题原题2】【2017天津，理5】‎ 已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 x, w ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，选B．‎ ‎【考点】 双曲线的标准方程 ‎【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程．‎ ‎【母题原题3】【2016天津，理4】‎ 已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A． ‎ ‎【解析】由题意，得又，所以所以双曲线的方程为，选A．x w 考点：双曲线渐近线 ‎ ‎【母题原题4】【2015天津，文5理6】‎ 已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力．‎ ‎【名师点睛】本题是圆与双曲线的交汇题，虽有一定的综合性，但方法容易想到，仍属于基础题．不过要注意解析几何问题中最容易出现运算错误，所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性，基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因． ‎ ‎【命题意图】本类题通常主要考查对椭圆的离心率、椭圆的几何性质、双曲线的离心率、双曲线的几何性质、双曲线的渐近线、抛物线的几何性质等基本知识的理解，以及对直线与圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）、与圆锥曲线定义有关的问题、与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）等知识的理解与简单的应用．‎ ‎【命题规律】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题与填空题的形式出现，也会出现在解答题中第一问，难度一般中等，有时中等偏上，一般不会作为把关题，在考查内容上一般以求离心率，求双曲线的渐近线，求最值，求范围，利用性质求曲线方程等，着重考查对基本概念和基本性质的理解与应用，题型稳定，中规中矩，不偏不怪，内容及位置也很稳定，计算量比过去减少，但思考量增大，思维层次的要求并没有降低．若再按以前的“解几套路”解题显然难以成功．‎ ‎【答题模板】以2017年高考题为例，求取椭圆或双曲线离心率，一般可由下面三个方面着手： ． ‎ ‎（1）根据已知条件确定的等量关系，然后把用代换，求的值；‎ ‎（2）已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用 ‎，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围．‎ ‎（3）求离心率的范围问题关键是确立一个关于的不等式，再根据的关系消掉得到关于的不等式，由这个不等式确定的关系．‎ 总体来说，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数． ‎ ‎【方法总结】‎ ‎1．圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础．因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求，双曲线的定义中要求，抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值1(点M与定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于1)，常常利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的焦半径问题与焦点到准线的距离问题互相转化．‎ ‎2．求圆锥曲线标准方程常用的方法：(1)定义法；(2)待定系数法，若顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为或 ()，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时不具有的几何意义．若椭圆的焦点位置不确定，椭圆的标准方程可设为，也可设椭圆方程为，若双曲线的焦点位置不确定，双曲线的标准方程可设为，也可设双曲线的方程为，其中异号且都不为0，若已知双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线的标准方程为（）可避免分类讨论，这样可以避免讨论和繁琐的计算． 学 ‎ ‎3．求解与二次曲线性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图像．对椭圆当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．对双曲线应围绕双曲线中的“六点”（两个顶点、两个焦点、虚轴的两个端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心、焦点、虚轴端点构成的特征三角形，双曲线上一点与两个交点构成的三角形），研究它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．‎ ‎4．椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用，椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为[ ．在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形的周长为定值等于，面积等于，其中是短半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为．双曲线取值范围实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用，双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取值范围为[)．在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在双曲线上，称该三角形为焦点三角形，则面积等于，其中是虚半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为．抛物线中：抛物线上一点，F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：　 ．焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式．设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A，B， AB的倾斜角为，则有或，以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求．在抛物线中，以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切． ‎ ‎5．求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定的等量关系，然后把用代换，求的值；椭圆求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围．离心率与的关系为：=．双曲线求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于 的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围．离心率与的关系为：=，在双曲线中由于，故双曲线的渐近线与离心率密切相关．求离心率的范围问题关键是确立一个关于的不等式，再根据的关系消掉得到关于的不等式，由这个不等式确定的关系．求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数．学-- / ‎ ‎6．抛物线（）上点的坐标可设为（），在计算时，可以降低计算量．‎ ‎7． 焦点三角形问题的求解技巧 ‎(1)所谓焦点三角形，就是以椭圆或双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆或双曲线上的三角形．‎ ‎(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：‎ ‎①椭圆或双曲线的定义； ‎ ‎②勾股定理或余弦定理；‎ ‎③基本不等式与三角形的面积公式．‎ ‎1．【2018年天津市河西区高三三模】已知双曲线：的虚轴长为，右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎，解得，‎ 则双曲线的方程为，故选A．‎ ‎【名师点睛】用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．‎ ‎2．【天津市部分区2018年高三质量调查（二）】已知双曲线的一条渐近线方程是，且它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查求双曲线方程，属于基础题．‎ ‎3．【天津市河东区2018届高三高考二模】双曲线方程为，其中，双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 结合题意有，结合的条件，求得，‎ 所以，所以有，故选A．‎ ‎【名师点睛】该题考查的是直线与圆的位置关系以及双曲线的离心率问题，在解题的过程中，需要根据双曲线的方程求得渐近线的方程，利用圆的方程得到圆心的坐标和半径长，利用直线与圆相切，求得圆心到直线的距离等于半径，应用点到直线的距离等于半径求得相应的参数的值，最后应用双曲线的离心率公式求得其离心率的大小．‎ ‎4．【2018年天津市河北区高三数学二模】已知点A(-1，0)、B(1，0)分别为双曲线的左、右顶点，点M在双曲线上，且△ABM是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由条件可得，不妨设点M在双曲线的右支上，由题意可得等腰△ABM中，且，由此可得点M的坐标，然后根据点M在双曲线上可得，故可得曲线方程．‎ 详解：由题意得，故双曲线的方程为．‎ 设点M在双曲线的右支上且在第一象限，则在等腰△ABM中，有且，‎ ‎∴点M的横坐标为，纵坐标为，∴点M的坐标为．‎ 又点在双曲线上，∴，解得，∴双曲线的方程为．故选D．‎ ‎【名师点睛】对于圆锥曲线中的特殊几何图形的问题，解题时要根据题意将几何图形的性质转化为曲线中的有关系数的问题处理，如根据等腰三角形可得线段相等、底边上的高与底边垂直等．‎ ‎5．【天津市十二校2018年高三二模联考】双曲线的左、右焦点分别为，，点，在双曲线上，且，，线段交双曲线于点，，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 可得，可得，‎ 由在双曲线上，可得，‎ 消去整理可得，，故选D．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值．学 ‎ ‎6．【2018届天津市滨海新区七所重点学校高三毕业班联考】已知双曲线 的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为，的面积为，则抛物线的焦点为( )‎ A．() B．（） C． D．‎ ‎【答案】D ‎【点睛】‎ 圆锥曲线是历年高考命题的重点和热点，也是一大难点．命题的热点主要有四个方面：一是直线和圆锥曲线的位置关系中的基本运算；二是最值与范围问题；三是定点与定值问题；四是有关探究性的问题．命题多与函数、方程、不等式、数列、向量等多种知识综合，考查考生的各种数学思想与技能，因此也是高考的难点．本题是圆锥曲中的基本量运算．‎ ‎7．【2018天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）】设为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2或3 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】∵分别为双曲线的左、右焦点，∴，，∵，‎ ‎∴点在双曲线的右支，的内切圆半径为．‎ 设，则．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系，处理方法与椭圆相同，但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值，可得；（2）建立的齐次关系式，将用表示，令两边同除以或化为的关系式，解方程或者不等式求值或取值范围．‎ ‎8．【天津市十二重点中学2018年高三毕业班联考】已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将代入，可得，抛物线方程为，准线方程为，则，又，可得，双曲线方程为，故选D．学 ‎ ‎9．【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【考点】 双曲线的标准方程 ‎【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程．‎ ‎10．【2018年天津市南开中学高三模拟】已知抛物线的参数方程为(为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为．若，点的横坐标为3，则__________．‎ ‎【答案】2．‎ ‎【解析】分析：把抛物线的参数方程化为普通方程，则由抛物线的定义以及，可得为等边三角形，设点的坐标为，则，把点的坐标代入抛物线的方程可得，再由，解方程可得的值．‎ 把点的坐标代入抛物线的方程可得，‎ 即，再由，可得，即，‎ 解得或（舍去），故答案是2．‎ ‎【名师点睛】该题考查的是有关抛物线方程的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有抛物线的定义，有关三角形的边的关系，对应的等量关系式的建立，最后求得结果．‎ ‎11．【2018年天津市河西区高三三模】在极坐标系中，直线的极坐标方程为，设抛物线的参数方程为（为参数，），其焦点为，点（）是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】分析：先将直线的极坐标方程和抛物线的参数方程转化为直角坐标方程，利用点在抛物线上求出点的坐标，再利用直线和圆的弦长公式和抛物线的定义进行求解．‎ 详解：将直线的方程化为，将抛物线的方程为（为参数，）化为，则抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，所以，解得，圆与线段相交于点，且被直线解得的弦长为，所以，‎ 因为，又，所以，所以，‎ 所以，解得，则．学 / ‎ ‎【名师点睛】1．进行曲线的参数方程和直角坐标方程的互化时，要注意参数的选择，因为参数的不同，导致转化后的方程和曲线不同；‎ ‎2．涉及抛物线的过焦点的弦时，往往利用抛物线的定义将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离，如抛物线上的点到焦点的距离为．‎ ‎12．【天津市河东区2018届高三高考二模】抛物线焦点为F，原点为O，过抛物线焦点垂直于轴的直线与抛物线交于点P，若，则的值为_______．‎ ‎【答案】6‎ ‎【名师点睛】该题考查的是有关曲线方程中参数的求解问题，在解题的过程中，需要把握住题的条件，因为等量关系就有，所以关键是点P的坐标，利用点p的条件，得到其横坐标，代入抛物线方程，求得点P的纵坐标，之后应用两点间距离公式求得结果．‎ ‎13．【2018年天津市河北区高三数学二模】若点在以F为焦点的抛物线上，则等于_________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】分析：由题意先求出点的坐标，然后再根据抛物线的定义求解可得．‎ 详解：∵点在抛物线上，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴点的坐标为．‎ 又抛物线的准线方程为，‎ ‎∴．‎ ‎【名师点睛】抛物线的定义有两个作用，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，由此可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．‎ ‎14．【2018天津市和平区上学期期末考试】若双曲线 （ ）的左焦点在抛物线 的准线上，则 __________．‎