• 749.00 KB
  • 2021-06-10 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版高考中的立体几何问题教案

  • 14页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
(浙江专用)2018 版高考数学大一轮复习 高考专题突破五 高考中的 立体几何问题教师用书 1.多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为( ) A. 4 3 B.2 C. 8 3 D. 10 3 答案 D 解析 由三视图可知该几何体为一个三棱柱削去一个三棱锥得到的几何体,该三棱柱的体积 为 1 2 ×2×2×2=4,三棱锥的体积为 1 3 × 1 2 ×2×2×1= 2 3 ,所以该几何体的体积为 4- 2 3 = 10 3 , 故选 D. 2.正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC中点,E为A1C1中点,则DE与平面A1B1BA的位置关系为( ) A.相交 B.平行 C.垂直相交 D.不确定 答案 B 解析 如图取 B1C1中点为 F,连接 EF,DF,DE, 则 EF∥A1B1,DF∥B1B, ∴平面 EFD∥平面 A1B1BA, ∴DE∥平面 A1B1BA. 3.(2016·沈阳模拟)设α,β,γ是三个平面,a,b是两条不同直线,有下列三个条件: ①a∥γ,b⊂β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a⊂γ.如果命题“α∩β=a,b⊂γ,且________, 则 a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________.(把所有正确的序号填上) 答案 ①或③ 解析 由线面平行的性质定理可知,①正确;当 b∥β,a⊂γ时,a 和 b 在同一平面内,且 没有公共点,所以平行,③正确.故应填入的条件为①或③. 4.在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则直线 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于 ________. 答案 2 3 解析 以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图, 设 AA1=2AB=2,则 D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则DC → =(0,1,0),DB → =(1,1,0), DC1 → =(0,1,2). 设平面 BDC1的法向量为 n=(x,y,z),则 n⊥DB → ,n⊥DC1 → , 则 x+y=0, y+2z=0, 令 y=-2,得平面 BDC1的一个法向量为 n=(2,-2,1). 设 CD 与平面 BDC1所成的角为θ, 则 sin θ=|cos〈n,DC → 〉|= | n·DC → |n||DC → | | = 2 3 . 题型一 求空间几何体的表面积与体积 例 1 (2016·全国甲卷)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E,F 分别在 AD, CD 上,AE=CF,EF 交 BD 于点 H,将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置. (1)证明:AC⊥HD′; (2)若 AB=5,AC=6,AE= 5 4 ,OD′=2 2,求五棱锥 D′ABCFE 的体积. (1)证明 由已知得 AC⊥BD,AD=CD,又由 AE=CF 得 AE AD = CF CD ,故 AC∥EF,由此得 EF⊥HD, 折后 EF 与 HD 保持垂直关系,即 EF⊥HD′,所以 AC⊥HD′. (2)解 由 EF∥AC 得 OH DO = AE AD = 1 4 . 由 AB=5,AC=6 得 DO=BO= AB2-AO2 =4, 所以 OH=1,D′H=DH=3, 于是 OD′2 +OH2 =(2 2) 2 +1 2 =9=D′H2 , 故 OD′⊥OH. 由(1)知 AC⊥HD′,又 AC⊥BD,BD∩HD′=H, 所以 AC⊥平面 DHD′,于是 AC⊥OD′, 又由 OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以 OD′⊥平面 ABC. 又由 EF AC = DH DO 得 EF= 9 2 . 五边形 ABCFE 的面积 S= 1 2 ×6×8- 1 2 × 9 2 ×3= 69 4 . 所以五棱锥 D′ABCFE 的体积 V= 1 3 × 69 4 ×2 2= 23 2 2 . 思维升华 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行 求解.其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积. (2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何 体,再利用公式求解. (3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求 解. 正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6,内有一个球与它的四个面都相切(如图).求: (1)这个正三棱锥的表面积; (2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积. 解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为 1 3 × 3 2 ×2 6= 2, 则正棱锥侧面的斜高为 1 2 + 2 2 = 3. ∴S 侧=3× 1 2 ×2 6× 3=9 2. ∴S 表=S 侧+S 底=9 2+ 1 2 × 3 2 ×(2 6)2 =9 2+6 3. (2)设正三棱锥 P-ABC 的内切球球心为 O,连接 OP,OA,OB,OC,而 O 点到三棱锥的四个面 的距离都为球的半径 r. ∴VP-ABC=VO-PAB+VO-PBC+VO-PAC+VO-ABC = 1 3 S 侧·r+ 1 3 S△ABC·r= 1 3 S 表·r =(3 2+2 3)r. 又 VP-ABC= 1 3 × 1 2 × 3 2 ×(2 6) 2 ×1=2 3, ∴(3 2+2 3)r=2 3, 得 r= 2 3 3 2+2 3 = 2 3 3 2-2 3 18-12 = 6-2. ∴S 内切球=4π( 6-2) 2 =(40-16 6)π. V 内切球= 4 3 π( 6-2)3= 8 3 (9 6-22)π. 题型二 空间点、线、面的位置关系 例 2 (2016·济南模拟)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC =2,BC=1,E,F分别是 A1C1,BC 的中点. (1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE; (3)求三棱锥 E-ABC 的体积. (1)证明 在三棱柱 ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面 ABC. 因为 AB⊂平面 ABC,所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC,BC∩BB1=B, 所以 AB⊥平面 B1BCC1. 又 AB⊂平面 ABE, 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)证明 方法一 如图 1,取 AB 中点 G,连接 EG,FG. 因为 E,F 分别是 A1C1,BC 的中点, 所以 FG∥AC,且 FG= 1 2 AC. 因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1, 所以 FG∥EC1,且 FG=EC1, 所以四边形 FGEC1为平行四边形, 所以 C1F∥EG. 又因为 EG⊂平面 ABE,C1F⊄ 平面 ABE, 所以 C1F∥平面 ABE. 方法二 如图 2,取 AC 的中点 H,连接 C1H,FH. 因为 H,F 分别是 AC,BC 的中点,所以 HF∥AB, 又因为 E,H 分别是 A1C1,AC 的中点, 所以 EC1綊 AH, 所以四边形 EAHC1为平行四边形, 所以 C1H∥AE, 又 C1H∩HF=H,AE∩AB=A, 所以平面 ABE∥平面 C1HF, 又 C1F⊂平面 C1HF, 所以 C1F∥平面 ABE. (3)解 因为 AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 所以 AB= AC2 -BC2 = 3. 所以三棱锥 E-ABC 的体积 V= 1 3 S△ABC·AA1= 1 3 × 1 2 × 3×1×2= 3 3 . 思维升华 (1)①证明面面垂直,将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题,再将“线面 垂直”问题转化为“线线垂直”问题.②证明 C1F∥平面 ABE:(ⅰ)利用判定定理,关键是在 平面 ABE 中找(作)出直线 EG,且满足 C1F∥EG.(ⅱ)利用面面平行的性质定理证明线面平行, 则先要确定一个平面 C1HF 满足面面平行,实施线面平行与面面平行的转化.(2)计算几何体 的体积时,能直接用公式时,关键是确定几何体的高,不能直接用公式时,注意进行体积的 转化. (2016·南京模拟)如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB⊥平面 SBC,AB⊥BC, AS=AB.过 A 作 AF⊥SB,垂足为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点. 求证:(1)平面 EFG∥平面 ABC; (2)BC⊥SA. 证明 (1)由 AS=AB,AF⊥SB 知 F 为 SB 中点, 则 EF∥AB,FG∥BC,又 EF∩FG=F,AB∩BC=B, 因此平面 EFG∥平面 ABC. (2)由平面 SAB⊥平面 SBC,平面 SAB∩平面 SBC=SB,AF⊂平面 SAB,AF⊥SB, 所以 AF⊥平面 SBC,则 AF⊥BC. 又 BC⊥AB,AF∩AB=A,则 BC⊥平面 SAB, 又 SA⊂平面 SAB,因此 BC⊥SA. 题型三 空间角的计算 例 3 (2016·金华十校调研)如图,在矩形 ABCD 中,已知 AB=2,AD=4,点 E,F 分别在 AD, BC 上,且 AE=1,BF=3,将四边形 AEFB 沿 EF 折起,使点 B 在平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上. (1)求证:CD⊥BE; (2)求线段 BH 的长度; (3)求直线 AF 与平面 EFCD 所成角的正弦值. (1)证明 ∵BH⊥平面 CDEF,∴BH⊥CD, 又 CD⊥DE,BH∩DE=H, ∴CD⊥平面 DBE,∴CD⊥BE. (2)解 方法一 设 BH=h,EH=k,过 F作 FG 垂直 ED 于点 G, ∵线段 BE,BF 在翻折过程中长度不变,根据勾股定理得 BE2 =BH2 +EH2 , BF2 =BH2 +FH2 =BH2 +FG2 +GH2 ⇒ 5=h2 +k2 , 9=2 2 +h2 + 2-k 2 , 解得 h=2, k=1, ∴线段 BH 的长度为 2. 方法二 如图,过点 E作 ER∥DC,过点 E作 ES⊥平面 EFCD, 分别以直线 ER,ED,ES 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 设点 B(0,y,z)(y>0,z>0), 由于 F(2,2,0),BE= 5,BF=3, ∴ y2 +z2 =5, 4+ y-2 2+z2=9, 解得 y=1, z=2, 于是 B(0,1,2), ∴线段 BH 的长度为 2. (3)解 方法一 延长 BA 交 EF 于点 M, ∵AE∶BF=MA∶MB=1∶3, ∴点 A 到平面 EFCD 的距离为点 B 到平面 EFCD 距离的 1 3 , ∴点 A 到平面 EFCD 的距离为 2 3 ,而 AF= 13, 故直线 AF 与平面 EFCD 所成角的正弦值为 2 13 39 . 方法二 由(2)方法二知FB → =(-2,-1,2), 故EA → = 1 3 FB → =(- 2 3 ,- 1 3 , 2 3 ), FA → =FE → +EA → =(- 8 3 ,- 7 3 , 2 3 ), 设平面 EFCD 的一个法向量为 n=(0,0,1), 直线 AF 与平面 EFCD 所成角的大小为θ, 则 sin θ= |FA → ·n| |FA → ||n| = 2 13 39 . (2016·杭州学军中学高三 5 月模拟)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥PA, AB∥CD,且 PB=BC=BD= 6,CD=2AB=2 2,∠PAD=120°. (1)求证:平面 PAD⊥平面 PCD; (2)求直线 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值. (1)证明 ∵BC=BD,取 CD 的中点 E,连接 BE, ∴BE⊥CD, ∵AB∥CD,且 CD=2AB, ∴AB∥DE,且 AB=DE, ∴四边形 ABED 是矩形, ∴BE∥AD,且 BE=AD,AB⊥AD, 又∵AB⊥PA,PA∩AD=A,PA⊂平面 PAD,AD⊂平面 PAD, ∴AB⊥平面 PAD,∴CD⊥平面 PAD, 又∵CD⊂平面 PCD,∴平面 PAD⊥平面 PCD. (2)解 以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y轴,建立空间直角坐标系,如图所示. ∵PB=BC=BD= 6,CD=2AB=2 2,∠PAD=120°, ∴PA= PB2 -AB2 = 6-2=2, AD=BE= BD2 -AB2 = 6-2=2, BC= BE2 +CE2 = 4+2= 6, 则 P(0,-1, 3),D(0,2,0),B( 2,0,0),C(2 2,2,0), PD → =(0,3,- 3),BP → =(- 2,-1, 3), BC → =( 2,2,0). 设平面 PBC 的法向量为 n=(x,y,z), 则 n·BC → = 2x+2y=0, n·BP → =- 2x-y+ 3z=0, 取 x= 2,得 n=( 2,-1, 3 3 ), 设直线 PD 与平面 PBC 所成的角为θ, 则 sin θ=|cos〈PD → ,n〉|= | PD → ·n |PD → ||n| | = | -3-1 12· 10 3 | = 10 5 , ∴直线 CD 与平面 PBC 所成角的正弦值为 10 5 . 1.(2016·山东牟平一中期末)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥B1D,BB1⊥底面 ABCD, E,F,H分别为 AD,CD,DD1的中点,EF 与 BD 交于点 G. (1)证明:平面 ACD1⊥平面 BB1D; (2)证明:GH∥平面 ACD1. 证明 (1)∵BB1⊥平面 ABCD,AC⊂平面 ABCD, ∴AC⊥BB1. 又 AC⊥B1D,BB1∩B1D=B1, ∴AC⊥平面 BB1D. ∵AC⊂平面 ACD1, ∴平面 ACD1⊥平面 BB1D. (2)设 AC∩BD=O,连接 OD1. ∵E,F 分别为 AD,CD 的中点, EF∩OD=G, ∴G为 OD 的中点. ∵H为 DD1的中点,∴HG∥OD1. ∵GH⊄ 平面 ACD1,OD1⊂平面 ACD1, ∴GH∥平面 ACD1. 2.(2016·咸阳模拟)如图,梯形 ABEF 中,AF∥BE,AB⊥AF,且 AB=BC=AD=DF=2CE=2, 沿 DC 将梯形 CDFE 折起,使得平面 CDFE⊥平面 ABCD. (1)证明:AC∥平面 BEF; (2)求三棱锥 D-BEF 的体积. (1)证明 如图,取 BF 的中点 M,设 AC 与 BD 交点为 O,连接 MO,ME. 由题设知,CE 綊 1 2 DF,MO 綊 1 2 DF, ∴CE 綊 MO,故四边形 OCEM 为平行四边形, ∴EM∥CO,即 EM∥AC. 又 AC⊄ 平面 BEF,EM⊂平面 BEF, ∴AC∥平面 BEF. (2)解 ∵平面 CDFE⊥平面 ABCD,平面 CDFE∩平面 ABCD=DC,BC⊥DC, ∴BC⊥平面 DEF. ∴三棱锥 D-BEF 的体积为 VD-BEF=VB-DEF= 1 3 S△DEF·BC= 1 3 × 1 2 ×2×2×2= 4 3 . 3.(2016·宁波高三上学期期末)如图,在多面体 EF-ABCD 中,四边形 ABCD,ABEF 均为直角 梯形,∠ABE=∠ABC=90°,四边形 DCEF 为平行四边形,平面 DCEF⊥平面 ABCD. (1)求证:DF⊥平面 ABCD; (2)若 BC=CD=CE= 1 2 AB,求直线 BF 与平面 ADF 所成角的正弦值. (1)证明 由四边形 DCEF 为平行四边形,知 EF∥CD,所以 EF∥平面 ABCD. 又平面 ABEF∩平面 ABCD=AB,从而有 AB∥CD∥EF. 因为∠ABE=∠ABC=90°,所以 AB⊥BE,AB⊥BC, 又因为 BE∩BC=B,所以 AB⊥平面 BCE, 因为 CE⊂平面 BCE,所以 AB⊥CE. 又四边形 DCEF 为平行四边形,有 DF∥CE, 所以 DC⊥DF, 又因为平面 DCEF⊥平面 ABCD, 平面 DCEF∩平面 ABCD=DC, 所以 DF⊥平面 ABCD. (2)解 不妨设 BC=1,则 BC=CD=CE=1,AB=2, 四边形 ABCD 为直角梯形,连接 BD, 则有 BD=AD= 2, 则 BD⊥AD, 由 DF⊥平面 ABCD,知 DF⊥BD, 因为 DF∩AD=D,所以 BD⊥平面 FAD, 则∠BFD 即为直线 BF 与平面 ADF 所成角, 在△BFD 中,DF⊥BD,BD= 2,DF=1, 则 BF= 3, 所以 sin∠BFD= BD DF = 2 3 = 6 3 , 所以直线 BF 与平面 ADF 所成角的正弦值为 6 3 . 4.(2016·全国乙卷)如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,平面 ABEF 为正方形, AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60°. (1)证明:平面 ABEF⊥EFDC; (2)求二面角 E-BC-A 的余弦值. (1)证明 由已知可得 AF⊥DF,AF⊥FE,DF∩FE=F, 所以 AF⊥平面 EFDC, 又 AF⊂平面 ABEF, 故平面 ABEF⊥平面 EFDC. (2)解 过 D 作 DG⊥EF,垂足为 G, 由(1)知 DG⊥平面 ABEF.以 G 为坐标原点,GF → 的方向为 x轴正方向,|GF → |为单位长,建立如图 所示的空间直角坐标系 Gxyz.由(1)知∠DFE 为二面角 D-AF-E 的平面角,故∠DFE=60°,则 DF=2,DG= 3,可得 A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0, 3). 由已知,AB∥EF,AB⊄ 平面 EFDC,EF⊂平面 EFDC, 所以 AB∥平面 EFDC, 又平面 ABCD∩平面 EFDC=CD, 故 AB∥CD,CD∥EF, 由 BE∥AF,可得 BE⊥平面 EFDC, 所以∠CEF 为二面角 CBEF 的平面角,∠CEF=60°, 从而可得 C(-2,0, 3). 所以EC → =(1,0, 3),EB → =(0,4,0),AC → =(-3,-4, 3),AB → =(-4,0,0). 设 n=(x,y,z)是平面 BCE 的法向量,则 n·EC → =0, n·EB → =0, 即 x+ 3z=0, 4y=0. 所以可取 n=(3,0,- 3). 设 m是平面 ABCD 的法向量,则 m·AC → =0, m·AB → =0. 同理可取 m=(0, 3,4), 则 cos〈n,m〉= n·m |n||m| =- 2 19 19 . 故二面角 E-BC-A 的余弦值为- 2 19 19 . 5.(2016·绍兴期末)如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为梯形,AD∥BC,AB⊥平面 BEC, EC⊥CB,已知 BC=2AD=2AB=2. (1)证明:BD⊥平面 DEC; (2)若二面角 A-ED-B的大小为 30°,求 EC 的长度. (1)证明 因为 AB⊥平面 BEC,所以 AB⊥EC. 又因为 EC⊥BC,AB∩BC=B,所以 EC⊥平面 ABCD. 因为 BD⊂平面 ABCD,所以 EC⊥BD. 由题意可知,在梯形 ABCD 中,有 BD=DC= 2, 所以 BD2+DC2=BC2,所以 BD⊥DC. 又 EC∩CD=C,所以 BD⊥平面 DEC. (2)解 如图,以点 B 为坐标原点,以 BA 所在直线为 z 轴,BC 所在直线为 y 轴,以过点 B 且 平行于 CE 的直线为 x 轴,建立空间直角坐标系. 设|EC → |=a>0,则 B(0,0,0),E(a,2,0),A(0,0,1),C(0,2,0),D(0,1,1). 设平面 AED 的法向量为 m=(x,y,z), 则 m·AD → =0, m·ED → =0, 即 y=0, -ax-y+z=0, 令 x=1,得平面 AED 的一个法向量为 m=(1,0,a), 设平面 BED 的法向量为 n=(x,y,z), 则 n·BD → =0, n·BE → =0, 即 y+z=0, ax+2y=0, 令 x=2,得平面 BED 的一个法向量为 n=(2,-a,a). 又二面角 A-ED-B 的大小为 30°, 所以 cos 30°=| m·n |m||n| |= 2+a2 a2 +1· 2a2 +4 = 3 2 , 得 a=1,所以 EC=1.

相关文档