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  • 2021-06-10 发布

高中数学选修2-2课件1_1_1&1_1_2

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第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念 问题 引航 1. 平均变化率的定义是什么?怎么求平均变化率? 2. 瞬时变化率的定义是怎样的?如何求瞬时变化率? 3. 如何用定义求函数在某一点处的导数? 1. 函数 y=f(x) 从 x 1 到 x 2 的平均变化率 (1) 定义式: =____________. (2) 实质: _______ 的改变量与 _______ 的改变量之比 . (3) 意义:刻画函数值在区间[ x 1 , x 2 ]上变化的 _____. 函数值 自变量 快慢 2. 函数 y=f(x) 在 x=x 0 处的瞬时变化率 定义式 _______________ 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时, ___________ 趋近的值 作用 刻画函数在 _______ 处变化的快慢 平均变化率 某一点 3. 导数的概念 定义式 _______________ 记法 _______ 或 实质 函数 y=f(x) 在 x=x 0 处的导数就是 y=f(x) 在 x=x 0 处的 ___________ f′(x 0 ) 瞬时变化率 1 .判一判 ( 正确的打“√”,错误的打“ ×”) (1) 函数 y=f(x) 在 x=x 0 处的导数值与 Δx 值的正、负无关 .( ) (2) 瞬时变化率是刻画某函数值在区间[ x 1 , x 2 ]上变化快慢的物理量 .( ) (3) 在导数的定义中, Δx , Δy 都不可能为零 .( ) 【 解析 】 (1) 正确 . 函数 y=f(x) 在 x=x 0 处的导数值是一个固定值,与 Δx 值的正、负无关, Δx 值可正,可负 . (2) 错误 . 刻画某函数值在区间[ x 1 , x 2 ]上变化快慢的是平均变化率 . (3) 错误 .Δx 不能为零, Δy 可能为零 . 答案: (1)√ (2)× (3)× 2 .做一做 ( 请把正确的答案写在横线上 ) (1) 自变量 x 从 1 变到 2 时,函数 f(x)=2x+1 的函数值的增量与相应自变量的增量之比是 _______. (2) 函数 f(x)=x 2 在 x=1 处的瞬时变化率是 ________. (3) 函数 y=f(x)= 在 x=-1 处的导数可表示为 ________. 【 解析 】 (1) 自变量 x 从 1 变到 2 时,函数 f(x)=2x+1 的函数值的增量为 Δy=5-3=2 ,故增量之比是 2. 答案: 2 (2) 函数 f(x)=x 2 在 x=1 处的瞬时变化率是 答案: 2 (3) 函数 y=f(x)= 在 x=-1 处的导数可表示为 f′(-1) 或 y′| x=-1 . 答案: f ′ (-1) 或 y ′| x=-1 . 【 要点探究 】 知识点 1 函数 y=f(x) 从 x 1 到 x 2 的平均变化率 1. 对平均变化率的四点说明 (1) 函数 f(x) 在 x 1 处有定义 . (2)Δx 是变量 x 2 在 x 1 处的改变量,且 x 2 是 x 1 附近的任意一点,即 Δx=x 2 -x 1 ≠0 ,但 Δx 可以为正,也可以为负 . (3) 注意自变量与函数值的对应关系,公式中若 Δx=x 2 -x 1 ,则 Δy=f(x 2 )-f(x 1 ) ;若 Δx=x 1 -x 2 ,则 Δy=f(x 1 )-f(x 2 ). (4) 在公式 中,当 x 1 取定 值, Δx 取不同的数值时,函数的平均变化率是不同的;当 Δx 取定值, x 1 取不同的数值时,函数的平均变化率也是不同的 . 特别地,当函数 f(x) 为常数函数时, Δy=0 ,则 =0. 2. 对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x) 在区间[ x 1 , x 2 ]上的平均变化率是曲线 y=f(x) 在 区间[ x 1 , x 2 ]上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平 均变化率的“视觉化”. (2) 平均变化率的几何意义就是函数 y=f(x) 图象上两点 P 1 (x 1 , f(x 1 )) , P 2 (x 2 , f(x 2 )) 所在直线的斜率 . (3) 平均变化率的物理意义是把位移 s 看成时间 t 的函数 s=s(t), 在时间段[ t 1 , t 2 ]上的平均速度,即 【 知识拓展 】 认识两个增量 正确理解平均变化率的概念,首先要把握好两个增量 . 一是自变量的增量 . 习惯上用 Δx 表示 x 2 -x 1 ,即 Δx=x 2 -x 1 .Δx 看作自变量相对于 x 1 的一个增量 . 二是函数值的增量 Δy=f(x 2 )-f(x 1 ). 如上所说,令 Δx=x 2 -x 1 ,则 Δy 又可写为: f(x 1 +Δx)-f(x 1 ) ,此即函数值在 x 1 处的增量 . 【 微思考 】 (1) 函数 f(x) 在区间[ x 1 , x 2 ]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x) 在区间[ x 1 , x 2 ]上的“陡峭”程度有什么关系 ? 提示: 平均变化率的绝对值越大,曲线 y=f(x) 在区间[ x 1 , x 2 ]上越 “ 陡峭 ” ,反之亦然 . (2) 平均变化率可以是零吗 ? 举例说明 . 提示: 可以是零,如函数 f(x)=a(a 为常数 ). 【 即时练 】 1. 自变量 x 从 x 0 变到 x 1 时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( ) A. 在区间[ x 0 , x 1 ]上的平均变化率 B. 在 x 0 处的变化率 C. 在 x 1 处的变化量 D. 在区间[ x 0 , x 1 ]上的导数 2. 函数 y=x 2 -2x+3 在 x=2 附近的平均变化率是 ________. 【 解析 】 1. 选 A. 当自变量由 x 0 变化到 x 1 时,自变量的 “ 增量 ” 为 x 1 -x 0 ,对应的函数值的 “ 增量 ” 为 f(x 1 )-f(x 0 ) ,比值 为函数在区间[ x 0 , x 1 ]上的平均变化率.故选 A. 2. 因为 Δy=(2+Δx) 2 -2(2+Δx)+3-(2 2 -2×2+3)=(Δx) 2 +2Δx , 所以 答案: Δx+2 知识点 2 函数 y=f(x) 在 x=x 0 处的瞬时变化率及导数 1. 对瞬时速度的两点说明 (1) 瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率 . (2) 当 Δt 在变化中趋近于 0 时,比值 趋近于一个确定的常数,这时此常数称为 t 0 时刻的瞬时速度 . 2. 对瞬时变化率的两点说明 (1) 平均变化率与瞬时变化率的关系: ①区别:平均变化率刻画函数值在区间 [x 1 , x 2 ] 上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在 x 0 点处变化的快慢; ②联系:当 Δx 趋于 0 时,平均变化率 趋于一个常数,这个常数即为函数在 x 0 处的瞬时变化率,它是一个固定值 . (2) “ Δx 无限趋近于 0 ” 的含义: Δx 趋于 0 的距离要多近有多近,即 |Δx-0| 可以小于给定的任意小的正数,且始终 Δx≠0. 3. 对导数概念的两点说明 (1) 当 Δx≠0 时,比值 的极限存在,则 f(x) 在点 x 0 处可导;若 的极限不存在,则 f(x) 在点 x 0 处不可导或无导数 . (2) 在点 x=x 0 处的导数的定义可变形为 f′(x 0 )= 或 f′(x 0 )= 4. 导数的物理意义 不同的物理量有着不同的物理意义 . 例如,变速直线运动路程 s=s(t) 的导数,就是速度,即 s′(t 0 )=v(t 0 ). 我们也常说路程函数 s(t) 对时间的导数就是速度 . 【 微思考 】 (1) 匀速直线运动的瞬时速度和平均速度相等吗 ? 提示: 因为匀速直线运动速度的瞬时变化率为零,所以瞬时速度和平均速度相等 . (2) 物体的平均速度能反映它在某一时刻的瞬时速度吗 ? 提示: 不一定,物体的瞬时速度是指某一时刻的速度,而平均速度是指某一段时间或一段路程的速度,当物体在某一时间段做匀速直线运动时,可以反映 . 【 即时练 】 1. 已知 f′(x 0 )=a ,则 的值为 ( ) A . -2a B . 2a C . a D . -a 2. 物体沿直线运动过程中,位移 s 与时间 t 的关系式是 s(t)= 3t 2 +t .我们计算在 t 时刻的附近区间[ t , t+Δt ]内的平均速 度 =________ ,当 Δt 趋近于 0 时,平均速度 趋近于确定的值,即瞬时速度,由此可得到 t 时刻的瞬时速度 为 _________ . 【 解析 】 1. 选 B. 若 f′(x 0 )=a , 则 所以 2. 因为物体沿直线运动过程中,位移 s 与时间 t 的关系式是 s(t)=3t 2 +t ,所以在 t 时刻的附近区间[ t , t+Δt ]内的平均速度 所以 s′(t)=6t+1. 答案: 6t+1+3Δt 6t+1 【 题型示范 】 类型一 求函数的平均变化率 【 典例 1】 (1)(2014 · 衡水高二检测 ) 函数 y=x 2 +1 在 [1 , 1+Δx] 上的平均变化率是 (    ) A.2     B.2x     C.2+Δx     D.2+(Δx) 2 (2) 求 y=2x 2 +1 在 x 0 到 x 0 +Δx 之间的平均变化率,并求 x 0 =1 , Δx= 时函数的平均变化率的值 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中函数 y=f(x) 在 [1 , 1+Δx] 上自变量与函数值的改变量各是什么 ? 2. 题 (2) 中, Δy 的表达式是什么 ? 【 探究提示 】 1. 自变量的改变量 Δx=(1+Δx)-1 ,函数值的改变量 Δy=f(1+Δx)-f(1). 2.Δy 的表达式为 Δy=f(x 0 +Δx)-f(x 0 ). 【 自主解答 】 (1) 选 C. (2) 当自变量从 x 0 变到 x 0 +Δx 时,函数的平均变化率为 当 x 0 =1 , Δx= 时,函数的平均变化率的值为 4×1+2× =5. 【 方法技巧 】 1. 求函数平均变化率的三个步骤 第一步,求自变量的增量 Δx=x 2 -x 1 . 第二步,求函数值的增量 Δy=f(x 2 )-f(x 1 ). 第三步,求平均变化率 2. 求平均变化率的一个关注点 求点 x 0 附近的平均变化率,可用 的形式 . 【 变式训练 】 设函数 f(x)=x 2 -1 ,求: (1) 当自变量 x 由 1 变到 1.1 时,自变量的增量 Δx. (2) 当自变量 x 由 1 变到 1.1 时,函数的增量 Δy. (3) 当自变量 x 由 1 变到 1.1 时,函数的平均变化率 . 【 解析 】 (1)Δx=1.1-1=0.1. (2)Δy=(1.1 2 -1)-(1 2 -1)=0.21. (3) 【 补偿训练 】 已知自由落体运动的位移 s(m) 与时间 t(s) 的关系为 s=f(t)= gt 2 ,计算 t 从 3 秒到 3.1 秒、 3.001 秒、 3.0001 秒 … 各段时间内的平均速度 (g=9.8m/s 2 ). 【 解题指南 】 先求出 Δs ,再求出 即为各段时间内的平均速度 . 【 解析 】 设 Δt=(t+d)-t 指时间改变量, Δs=f(t+d)-f(t) 指位移改变量. 则 Δs=f(t+d)-f(t)= g(t+d) 2 - gt 2 =gtd+ gd 2 , 所以 t 从 3 秒到 3.1 秒的平均速度 =29.89(m/s) ; t 从 3 秒到 3.001 秒的平均速度 =29.404 9(m/s) ; t 从 3 秒到 3.000 1 秒的平均速度 =29.400 49(m/s). 类型二 求瞬时速度 【 典例 2】 (1) 以初速度 v 0 (v 0 >0) 垂直上抛的物体, t 秒时的高度为 s(t)=v 0 t- gt 2 ,则物体在 t 0 时刻的瞬时速度为 ________. (2) 某物体的运动方程为 s=2t 3 ,则物体在第 t=1 时的瞬时速度是 ________. 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中运动物体的瞬时速度与平均速度有什么关系 ? 2. 题 (2) 中 Δs 如何计算 ? 【 探究提示 】 1. 运动物体在某一时刻的瞬时速度是这一时刻平均速度的极限 . 2.Δs=2(t+Δt) 3 -2t 3 . 【 自主解答 】 (1) 因为 Δs=v 0 (t 0 +Δt)- g(t 0 +Δt) 2 -(v 0 t 0 - gt 0 2 )=(v 0 -gt 0 )Δt- g(Δt) 2 , 所以 =v 0 -gt 0 - gΔt , 所以当 Δt 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 v 0 -gt 0 , 故物体在时刻 t 0 的瞬时速度为 v 0 -gt 0 . 答案: v 0 -gt 0 (2)t=1 时, Δs=2(1+Δt) 3 -2×1 3 =2[1+(Δt) 3 +3Δt+3(Δt) 2 ]-2 =2+2(Δt) 3 +6Δt+6(Δt) 2 -2 =2(Δt) 3 +6(Δt) 2 +6Δt 所以物体在第 t=1 时的瞬时速度是 6. 答案: 6 【 延伸探究 】 若把题 (1) 中的“ v 0 ” 改为“ v 0 =20” ,求物体在 t=3 时刻的瞬时速度 . 【 解析 】 因为 Δs=20(3+Δt)- g(3+Δt) 2 -(20×3- ×3 2 g) =(20-3g)Δt- g(Δt) 2 , 所以 所以当 Δt 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 20-3g , 故物体在 t=3 时刻的瞬时速度为 20-3g. 【 方法技巧 】 1. 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1) 求时间改变量 Δt 和位移改变量 Δs=s(t 0 +Δt)-s(t 0 ). (2) 求平均速度 (3) 求瞬时速度,当 Δt 无限趋近于 0 时, 无限趋近于常数 v ,即为瞬时速度 . 2. 求 ( 当 Δx 无限趋近于 0 时 ) 的极限的方法 (1) 在极限表达式中,可把 Δx 作为一个数来参与运算 . (2) 求出 的表达式后, Δx 无限趋近于 0 就是令 Δx=0 ,求出结果即可 . 【 变式训练 】 一个小球自由下落,它在下落 3 秒时的速度是多少? 并说明它的意义 ( 重力加速度为 9.8 m/s 2 ). 【 解题指南 】 先求 Δs ,再求 ,然后求速度 . 【 解析 】 自由落体的运动公式是 s= gt 2 ( 其中 g 是重力加速度 ) , Δs=s(3+Δt)-s(3)=4.9(3+Δt) 2 -4.9×3 2 =29.4Δt+4.9(Δt) 2 , =29.4+4.9Δt. 所以 说明在第 3 秒附近小球以 29.4 m/s 的速率下降 . 【补偿训练】 (2014 · 潍坊高二检测 ) 有一个光滑斜面与水平桌面成 α 角,设有一质点在 t=0 时,从斜面的顶点 A 处开始由静止状态自由释放,如图所示 . 如果忽略摩擦力,斜面的长度 s=300cm , α=65°. 求 T=0.1 , 0.2 , 0.3 , … , 1.0s 时质点的速度 . 【 解析 】 由于斜面的长度 s=300 cm , α=65° ,则质点在斜面上运动时,它的加速度 a=gsin 65° ,又由位移公式 s= at 2 = gsin αt 2 ,取 s=300 ,得: 所以在 1 秒时质点仍在斜面上运动,所以 T=0.1 , 0.2 , 0.3 , … , 1.0 s 时质点的速度分别为: 0.1gsin 65° , 0.2gsin 65° , … , gsin 65°. 类型三 求函数在某点处的导数 【 典例 3】 (1) 函数 y= 在 x=1 处的导数为 ______. (2)(2014· 邢台高二检测 ) 如果一个质点由定点 A 开始运动,在时间 t 的位移函数为 y=f(t)=t 3 +3 , ①当 t 1 =4 , Δt=0.01 时,求 Δy 和比值 ②求 t 1 =4 时的导数 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中,当 x=1 时, Δy 等于什么 ? 2. 题 (2) 中① Δy 如何计算?②计算 的值能不能将 Δt=0 直接代入 的化简式子中? 【 探究提示 】 1. 当 x=1 时, 2.①Δy=f(t 1 +Δt)-f(t 1 ) ;②可以将 Δt=0 直接代入 的化简式子中进行计算 . 【 自主解答 】 (1)Δy= 所以 y′| x=1 = 答案: (2)①Δy=f(t 1 +Δt)-f(t 1 )=3t 1 2 · Δt+3t 1 · (Δt) 2 +(Δt) 3 ,故当 t 1 =4 , Δt=0.01 时, Δy=0.481 201 , =48.120 1. ② [ 3t 1 2 +3t 1 · Δt+(Δt) 2 ] = 3t 1 2 =48 , 故函数 y=t 3 +3 在 t 1 =4 处的导数是 48 ,即 【 方法技巧 】 1. 求函数 y=f(x) 在点 x 0 处的导数的三个步骤 简称:一差、二比、三极限 . 2. 瞬时变化率的变形形式 =f′(x 0 ). 【 变式训练 】 若 则 f′(x 0 ) 等于 ____. 【 解析 】 =1 , 所以 f′(x 0 )= 答案: 【 补偿训练 】 求函数 y=x- 在 x=1 处的导数. 【 解题指南 】 求 的极限时,要对 进行化简,确保 Δx 趋于 0 时 有意义 . 【 解析 】 因为 Δy=(1+Δx)- -(1- ) = 所以 当 Δx →0 时, → 2 , 所以函数 y=x- 在 x=1 处的导数为 2. 【 易错误区 】 对导数的概念理解不清致误 【 典例 】 若函数 f(x) 在 x=a 的导数为 m ,那么 的值为 ________. 【 解析 】 = 2m+2m =4m. 答案: 4m 【 常见误区 】 错解 错因剖析 2m 阴影处不能正确地把已知条件转化为平均变化率的极限,误认为 导致错误 【 防范措施 】 弄清导数的含义 函数在某一点的导数,是该点函数平均变化率的极限,函数在某一点自变量的增量,既可以是正数,也可以是负数,导数是函数值的改变量与 “ 相应 ” 自变量改变量比值的极限,如本例中 与 均为函数 f(x) 在 x=a 处的导数的表达式 . 【 类题试解 】 若 f′(x 0 )=m ,则 =( ) 【 解析 】 选 B. 因为 = 所以选 B.

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