数学卷·2018届江苏省江都中学、省扬中学、省溧中学、江浦高中、六合高中五校联考高二上学期期中数学试卷 （解析版） 17页

‎2016-2017学年江苏省江都中学、省扬中学、省溧中学、江浦高中、六合高中五校联考高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）‎ ‎1．双曲线﹣=1的焦距为　　．‎ ‎2．命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是　　．‎ ‎3．直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a的值为　　．‎ ‎4．直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为　　．‎ ‎5．已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为　　．‎ ‎6．点A（4，5）关于直线l的对称点为B（﹣2，7），则l的方程为　　．‎ ‎7．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为　　．‎ ‎8．两圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，则r的取值范围是　　．‎ ‎9．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的　　条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）‎ ‎10．已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是　　．‎ ‎11．若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎12．一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为　　．‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）与不过坐标原点O的直线l：y=kx+m相交与A、B两点，线段AB的中点为M，若AB、OM的斜率之积为﹣，则椭圆C的离心率为　　．‎ ‎14．若点（x，y）在双曲线﹣y2=1上，则3x2﹣2xy的最小值是　　．‎ ‎　‎ 二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB=8，BC=6，其中A（﹣4，0）、B（4，0）．‎ ‎（1）若A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，求该椭圆的方程；‎ ‎（1）若A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，求双曲线的方程．‎ ‎16．在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆C： +=1的焦点在x轴上；命题q：直线l：x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点． 若命题p、命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎17．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0），直角顶点B（0，﹣2），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，三角形ABC外接圆的圆心为M．‎ ‎（1）求BC边所在直线方程；‎ ‎（2）求圆M的方程；‎ ‎（3）直线l过点P且倾斜角为，求该直线被圆M截得的弦长．‎ ‎18．已知椭圆的右焦点F（m，0），左、右准线分别为l1：x=﹣m﹣1，l2：x=m+1，且l1，l2分别与直线y=x相交于A，B两点．‎ ‎（1）若离心率为，求椭圆的方程；‎ ‎（2）当•＜7时，求椭圆离心率的取值范围．‎ ‎19．已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．‎ ‎（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；‎ ‎（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎（3）求线段AB长度的最小值．‎ ‎20．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．‎ ‎（1）求椭圆C的方程； ‎ ‎（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；‎ ‎（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省江都中学、省扬中学、省溧中学、江浦高中、六合高中五校联考高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）‎ ‎1．双曲线﹣=1的焦距为　8　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线的标准方程可知：a2=9，b2=7，则c2=a2+b2=16，即可求得c，则焦距为2c=8．‎ ‎【解答】解：由双曲线﹣=1可知：a2=9，b2=7，‎ 则c2=a2+b2=16，‎ ‎∴c=4，‎ 焦距2c=8，‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎2．命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是　∀x∈R，x2﹣2＞0　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是：∀x∈R，x2﹣2＞0．‎ 故答案为：∀x∈R，x2﹣2＞0．‎ ‎　‎ ‎3．直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a的值为　﹣1　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】由于l2的斜率存在，因此l1∥l2⇔且截距不等．即可得出．‎ ‎【解答】解：∵l1∥l2，∴，‎ 化为a2﹣2a﹣3=0，‎ 解得a=3或﹣1．‎ 当a=3时，l1与l2重合，应舍去．‎ 因此a=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎4．直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为　　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】通过圆的方程求出圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长的关系，求出直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长即可．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2﹣4x+4y+6=0化为（x﹣2）2+（y+2）2=2，所以圆的圆心坐标（2，﹣2），半径为：，‎ 圆心到直线x﹣y﹣5=0的距离为：d==．‎ 圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长满足勾股定理，即半弦长为： =．‎ 所以弦长为：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎5．已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为　2　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，‎ 代入抛物线方程求得y值，即可得到所求点的坐标．‎ ‎【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x ‎∴焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1‎ 设所求点坐标为M（x，y）‎ 作MQ⊥l于Q 根据抛物线定义可知M到准线的距离等于M、Q的距离 即x+1=3，解之得x=2，‎ 代入抛物线方程求得y=±4‎ 故点M坐标为：（2，y）‎ 即点M到y轴的距离为2‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎6．点A（4，5）关于直线l的对称点为B（﹣2，7），则l的方程为　3x﹣y+3=0　．‎ ‎【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．‎ ‎【分析】先求出A、B的中点，再求AB的斜率，求出中垂线的斜率，然后用点斜式求出直线方程．‎ ‎【解答】解：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线．‎ A、B的中点坐标（1，6），AB的斜率为：‎ 中垂线的斜率为：3‎ 则l的方程为：y﹣6=3（x﹣1）即：3x﹣y+3=0‎ 故答案为：3x﹣y+3=0‎ ‎　‎ ‎7．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为　4　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，可得c=，可得右焦点F（c，0）．由抛物线y2=2px可得焦点．利用=c即可得出．‎ ‎【解答】解：由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，‎ ‎∴c==2，‎ ‎∴右焦点F（2，0）．‎ 由抛物线y2=2px可得焦点．‎ ‎∴=2，‎ 解得p=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎8．两圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，则r的取值范围是　2＜r＜8　．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】求出两个圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系，‎ ‎【解答】解：圆x2+y2=9的圆心（0，0），半径为3，‎ 圆x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）的圆心（﹣4，3），半径为：r，‎ 因为圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，‎ 所以，‎ 解得2＜r＜8．‎ 故答案为：2＜r＜8．‎ ‎　‎ ‎9．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的　充分不必要　条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求解a2＞2a，得出a＞2或a＜0，根据充分必要的定义判断即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵a2＞2a，‎ ‎∴a＞2或a＜0，‎ 根据充分必要的定义判断：“a＞2”是“a2＞2a”的充分不必要条件，‎ 故答案为：充分不必要．‎ ‎　‎ ‎10．已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是　x2﹣y2=1　．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．‎ ‎【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，‎ 代入点，可得3﹣=λ，‎ ‎∴λ=﹣1，‎ ‎∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．‎ 故答案为： x2﹣y2=1．‎ ‎　‎ ‎11．若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是　[3，+∞）　．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】先求出不等式|x﹣1|＜a的解集为集合B，再根据条件可知{x|0＜x＜4}⊂B，建立关于a的不等式组，解之从而确定 a的取值范围．‎ ‎【解答】解：|x﹣1|＜a⇒1﹣a＜x＜a+1‎ 由题意可知﹣≤x＜0 0＜x＜4是1﹣a＜x＜a+1成立的充分不必要条件 ‎∴解得a≥3‎ ‎∴实数a的取值范围是[3，+∞）‎ 故答案为：[3，+∞）‎ ‎　‎ ‎12．一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为　　．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），由已知结合椭圆性质及等差数列性质列出方程求出a，b，由此能求出椭圆方程．‎ ‎【解答】解：∵个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，‎ ‎∴设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），‎ ‎∵P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，‎ ‎∴，且a2=b2+c2，‎ 解得a=2，b=，c=，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）与不过坐标原点O的直线l：y=kx+m相交与A、B两点，线段AB的中点为M，若AB、OM的斜率之积为﹣，则椭圆C的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．线段AB的中点M（x0，y0）．可得+=1， +=1，相减可得： +=0，利用中点坐标公式、斜率计算公式及其•k=，即可得出，再利用离心率计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．线段AB的中点M（x0，y0）．‎ ‎∵+=1， +=1，‎ 相减可得： +=0，‎ 把x1+x2=2x0，y1+y2=2y0， =k代入可得： +=0，‎ 又•k=，∴﹣=0，解得=．‎ ‎∴e==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．若点（x，y）在双曲线﹣y2=1上，则3x2﹣2xy的最小值是　6+4　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线的标准方程可知：则x=2secα，y=tanα，由3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα=+，由﹣1＜sinα＜1，1﹣sinα＞0，1+sinα＞0，由基本不等式的性质可知∴[（1﹣sinα）+（1+sinα）]•（+）≥12+2=12+8，则+≥6+4，即可求得3x2﹣2xy的最小值．‎ ‎【解答】解：由线﹣y2=1，设x=2secα，y=tanα，‎ ‎3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα，‎ ‎=﹣，‎ ‎=‎ ‎=，‎ ‎=+‎ ‎∵﹣1＜sinα＜1，‎ ‎1﹣sinα＞0，1+sinα＞0‎ ‎∴[（1﹣sinα）+（1+sinα）]•（+），‎ ‎=12++≥12+2=12+8，‎ 当且仅当=等号成立，‎ 解得：sinα=3﹣2（3+2舍去）时，取得最小值，‎ ‎∵[（1﹣sinα）+（1+sinα）]•（+）=2（+），‎ ‎+≥6+4，‎ ‎∴3x2﹣2xy的最小值是6+4，‎ 故答案为：6+4．‎ ‎　‎ 二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB=8，BC=6，其中A（﹣4，0）、B（4，0）．‎ ‎（1）若A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，求该椭圆的方程；‎ ‎（1）若A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，求双曲线的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由椭圆的定义：丨CA丨+丨CB丨=16=2a，求得a=8，则b2=a2﹣c2=64﹣16=48，即可求得椭圆方程；‎ ‎（2）根据双曲线的定义：丨CA丨﹣丨CB丨=4=2a′，则求得a′=2，则b2=c2﹣a′2=16﹣4=12，即可求得双曲线的标准方程．‎ ‎【解答】解：（1）∵A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，‎ 根据椭圆的定义：丨CA丨+丨CB丨=16=2a，‎ ‎∴a=8，…4分 在椭圆中：b2=a2﹣c2=64﹣16=48，…6分 ‎∴椭圆方程为：；…8分 ‎（2）∵A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，‎ 根据双曲线的定义：丨CA丨﹣丨CB丨=4=2a′，‎ ‎∴a′=2，…10分 在双曲线中：b2=c2﹣a′2=16﹣4=12，…12分 ‎∴双曲线方程为：．…14分．‎ ‎　‎ ‎16．在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆C： +=1的焦点在x轴上；命题q：直线l：x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点． 若命题p、命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】求出命题p，q为真时，m的范围，结合命题p、命题q中有且只有一个为真命题，分类讨论，综合后可得实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：命题p为真：由题意得，m＞8﹣m＞0，解得4＜m＜8．…3分 命题q为真：x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点 则圆心O到直线l的距离：d=≤3，‎ ‎ 解得：﹣3≤m≤3．…7分 因为命题p、命题q中有且只有一个为真命题 若p真q假，则： 解得：3＜m＜8．…10分 若p假q真，则： 解得：﹣3≤m≤4 …13分 综上：实数m的取值范围是3＜m＜8或﹣3≤m≤4． …14分．‎ ‎　‎ ‎17．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0），直角顶点B（0，﹣2），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，三角形ABC外接圆的圆心为M．‎ ‎（1）求BC边所在直线方程；‎ ‎（2）求圆M的方程；‎ ‎（3）直线l过点P且倾斜角为，求该直线被圆M截得的弦长．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）求出BC的斜率，可得BC边所在直线方程；‎ ‎（2）求出圆心与半径，即可求圆M的方程；‎ ‎（3）直线l过点P且倾斜角为，得出直线方程，即可求该直线被圆M截得的弦长．‎ ‎【解答】解：（1）∵kAB=﹣，AB⊥BC …1分 ‎∴kBC=，‎ ‎∴BC边所在直线方程y=x﹣2．…4分 ‎（2）在上式中，令y=0得：C（4，0）…5分 ‎∴圆心M（1，0）‎ ‎ 又∵AM=3 …7分 ‎∴外接圆的方程为（x﹣1）2+y2=9 …9分 ‎（3）∵P（﹣1，0），直线l过点P且倾斜角为，∴直线l的方程为y=（x+1）…10分 点M到直线l的距离为 …12分 直线l被圆M截得的弦长为2． …14分．‎ ‎　‎ ‎18．已知椭圆的右焦点F（m，0），左、右准线分别为l1：x=﹣m﹣1，l2：x=m+1，且l1，l2分别与直线y=x相交于A，B两点．‎ ‎（1）若离心率为，求椭圆的方程；‎ ‎（2）当•＜7时，求椭圆离心率的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：（a＞b＞0），由准线方程为：x==m+1，即可求得a2=m（m+1），b2=m，由e===，即可求得b=c，求得m的值，代入求得a和b的值，即可求得椭圆方程；‎ ‎（2）A（﹣m﹣1，﹣m﹣1），B（m+1，m+1），求得=（2m+1，m+1），=（1，m+1），由•=m2+4m+2＜7，即可求得0＜m＜1，由离心率e===，即可求得椭圆离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）椭圆的右焦点F（m，0），故焦点在x轴上，设椭圆方程为：（a＞b＞0），‎ ‎∴c=m，准线方程为：x==m+1，‎ ‎∴a2=m（m+1），b2=m …2分 由e===，可得b=c，从而m=1，…4分 故a=，b=1，‎ ‎∴椭圆方程：； …6分 ‎（2）由题意可知：A（﹣m﹣1，﹣m﹣1），B（m+1，m+1），‎ ‎∴=（2m+1，m+1），=（1，m+1），…9分 故•=2m+1+（m+1）2=m2+4m+2＜7，‎ 解得：0＜m＜1，…12分 由离心率e===，…14分 故所求的离心率范围为（0，）．…16分．‎ ‎　‎ ‎19．已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．‎ ‎（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；‎ ‎（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎（3）求线段AB长度的最小值．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）根据圆M的标准方程即可求出半径r=2和圆心M坐标（0，4），并可设P（2b，b），从而由条件便可求出|MP|=，这样便可求出b的值，即得出点P的坐标；‎ ‎（2）容易求出圆N的圆心坐标（b，），及半径，从而可得出圆N的标准方程，化简后可得到（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，从而可建立关于x，y的方程，解出x，y，便可得出圆N所过的定点坐标；‎ ‎（3）可写出圆N和圆M的一般方程，联立这两个一般方程即可求出相交弦AB的直线方程，进而求出圆心M到直线AB的距离，从而求出弦长，显然可看出b=时，AB取最小值，并求出该最小值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，圆M的半径r=2，M（0，4），设P（2b，b），‎ ‎∵PA是圆M的一条切线，∴∠MAP=90°，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴P（0，0）或．‎ ‎（2）设P（2b，b），∵∠MAP=90°，∴经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，‎ 其方程为，‎ 即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，‎ 由，解得或，‎ ‎∴圆过定点（0，4），．‎ ‎（3）因为圆N方程为，‎ 即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0，‎ 圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0，‎ ‎②﹣①得：圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0，‎ 点M到直线AB的距离，‎ 相交弦长即：，‎ 当时，AB有最小值．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．‎ ‎（1）求椭圆C的方程； ‎ ‎（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；‎ ‎（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．‎ ‎（2）直线l的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果．‎ ‎（3）OM的方程可设为y=kx，与椭圆联立得M点的横坐标为，由OM∥l，能求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），‎ ‎∴a=4，又，∴c=2．…‎ 又∵b2=a2﹣c2=12，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为．…‎ ‎（2）直线l的方程为y=k（x+4），‎ 由消元得，．‎ 化简得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，‎ ‎∴x1=﹣4，．…‎ 当时，，‎ ‎∴．‎ ‎∵点P为AD的中点，∴P的坐标为，‎ 则．…‎ 直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得E点坐标为（0，4k），‎ 假设存在定点Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，‎ 则kOPkEQ=﹣1，即恒成立，‎ ‎∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立，∴，即，‎ ‎∴定点Q的坐标为（﹣3，0）．…‎ ‎（3）∵OM∥l，∴OM的方程可设为y=kx，‎ 由，得M点的横坐标为，…‎ 由OM∥l，得 ‎=…‎ ‎=，‎ 当且仅当即时取等号，‎ ‎∴当时，的最小值为． …‎ ‎　‎ ‎2016年12月9日