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  • 2021-06-10 发布

数学卷·2018届江苏省江都中学、省扬中学、省溧中学、江浦高中、六合高中五校联考高二上学期期中数学试卷 (解析版)

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‎2016-2017学年江苏省江都中学、省扬中学、省溧中学、江浦高中、六合高中五校联考高二(上)期中数学试卷 ‎ ‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)‎ ‎1.双曲线﹣=1的焦距为  .‎ ‎2.命题“∃x∈R,x2﹣2≤0”的否定是  .‎ ‎3.直线l1:x+ay+6=0与l2:(a﹣2)x+3y+2a=0平行,则a的值为  .‎ ‎4.直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为  .‎ ‎5.已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3,则点M到y轴的距离为  .‎ ‎6.点A(4,5)关于直线l的对称点为B(﹣2,7),则l的方程为  .‎ ‎7.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为  .‎ ‎8.两圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0(r>0)相交,则r的取值范围是  .‎ ‎9.已知a∈R,则“a>2”是“a2>2a”的  条件(填:充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)‎ ‎10.已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程是  .‎ ‎11.若不等式|x﹣1|<a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是  .‎ ‎12.一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为  .‎ ‎13.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: +=1(a>b>0)与不过坐标原点O的直线l:y=kx+m相交与A、B两点,线段AB的中点为M,若AB、OM的斜率之积为﹣,则椭圆C的离心率为  .‎ ‎14.若点(x,y)在双曲线﹣y2=1上,则3x2﹣2xy的最小值是  .‎ ‎ ‎ 二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的一边AB在x轴上,另一边CD在x轴上方,且AB=8,BC=6,其中A(﹣4,0)、B(4,0).‎ ‎(1)若A、B为椭圆的焦点,且椭圆经过C、D两点,求该椭圆的方程;‎ ‎(1)若A、B为双曲线的焦点,且双曲线经过C、D两点,求双曲线的方程.‎ ‎16.在平面直角坐标系xOy中,设命题p:椭圆C: +=1的焦点在x轴上;命题q:直线l:x﹣y+m=0与圆O:x2+y2=9有公共点. 若命题p、命题q中有且只有一个为真命题,求实数m的取值范围.‎ ‎17.如图,直角三角形ABC的顶点坐标A(﹣2,0),直角顶点B(0,﹣2),顶点C在x轴上,点P为线段OA的中点,三角形ABC外接圆的圆心为M.‎ ‎(1)求BC边所在直线方程;‎ ‎(2)求圆M的方程;‎ ‎(3)直线l过点P且倾斜角为,求该直线被圆M截得的弦长.‎ ‎18.已知椭圆的右焦点F(m,0),左、右准线分别为l1:x=﹣m﹣1,l2:x=m+1,且l1,l2分别与直线y=x相交于A,B两点.‎ ‎(1)若离心率为,求椭圆的方程;‎ ‎(2)当•<7时,求椭圆离心率的取值范围.‎ ‎19.已知圆M:x2+(y﹣4)2=4,点P是直线l:x﹣2y=0上的一动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.‎ ‎(1)当切线PA的长度为时,求点P的坐标;‎ ‎(2)若△PAM的外接圆为圆N,试问:当P在直线l上运动时,圆N是否过定点?若存在,求出所有的定点的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎(3)求线段AB长度的最小值.‎ ‎20.如图,在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率e=,左顶点为A(﹣4,0),过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D,交y轴于点E.‎ ‎(1)求椭圆C的方程; ‎ ‎(2)已知P为AD的中点,是否存在定点Q,对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ,若存在,求出点Q的坐标;若不存在说明理由;‎ ‎(3)若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M,求的最小值.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年江苏省江都中学、省扬中学、省溧中学、江浦高中、六合高中五校联考高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)‎ ‎1.双曲线﹣=1的焦距为 8 .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由双曲线的标准方程可知:a2=9,b2=7,则c2=a2+b2=16,即可求得c,则焦距为2c=8.‎ ‎【解答】解:由双曲线﹣=1可知:a2=9,b2=7,‎ 则c2=a2+b2=16,‎ ‎∴c=4,‎ 焦距2c=8,‎ 故答案为:8.‎ ‎ ‎ ‎2.命题“∃x∈R,x2﹣2≤0”的否定是 ∀x∈R,x2﹣2>0 .‎ ‎【考点】命题的否定.‎ ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.‎ ‎【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“∃x∈R,x2﹣2≤0”的否定是:∀x∈R,x2﹣2>0.‎ 故答案为:∀x∈R,x2﹣2>0.‎ ‎ ‎ ‎3.直线l1:x+ay+6=0与l2:(a﹣2)x+3y+2a=0平行,则a的值为 ﹣1 .‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.‎ ‎【分析】由于l2的斜率存在,因此l1∥l2⇔且截距不等.即可得出.‎ ‎【解答】解:∵l1∥l2,∴,‎ 化为a2﹣2a﹣3=0,‎ 解得a=3或﹣1.‎ 当a=3时,l1与l2重合,应舍去.‎ 因此a=﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎ ‎ ‎4.直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为  .‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】通过圆的方程求出圆心坐标与半径,求出圆心到直线的距离,利用圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长的关系,求出直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长即可.‎ ‎【解答】解:圆x2+y2﹣4x+4y+6=0化为(x﹣2)2+(y+2)2=2,所以圆的圆心坐标(2,﹣2),半径为:,‎ 圆心到直线x﹣y﹣5=0的距离为:d==.‎ 圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长满足勾股定理,即半弦长为: =.‎ 所以弦长为:.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎5.已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3,则点M到y轴的距离为 2 .‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】先设出该点的坐标,根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等,进而利用点到直线的距离求得x的值,‎ 代入抛物线方程求得y值,即可得到所求点的坐标.‎ ‎【解答】解:∵抛物线方程为y2=4x ‎∴焦点为F(1,0),准线为l:x=﹣1‎ 设所求点坐标为M(x,y)‎ 作MQ⊥l于Q 根据抛物线定义可知M到准线的距离等于M、Q的距离 即x+1=3,解之得x=2,‎ 代入抛物线方程求得y=±4‎ 故点M坐标为:(2,y)‎ 即点M到y轴的距离为2‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎6.点A(4,5)关于直线l的对称点为B(﹣2,7),则l的方程为 3x﹣y+3=0 .‎ ‎【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程.‎ ‎【分析】先求出A、B的中点,再求AB的斜率,求出中垂线的斜率,然后用点斜式求出直线方程.‎ ‎【解答】解:对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线.‎ A、B的中点坐标(1,6),AB的斜率为:‎ 中垂线的斜率为:3‎ 则l的方程为:y﹣6=3(x﹣1)即:3x﹣y+3=0‎ 故答案为:3x﹣y+3=0‎ ‎ ‎ ‎7.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为 4 .‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】由椭圆+=1,可得a2=6,b2=2,可得c=,可得右焦点F(c,0).由抛物线y2=2px可得焦点.利用=c即可得出.‎ ‎【解答】解:由椭圆+=1,可得a2=6,b2=2,‎ ‎∴c==2,‎ ‎∴右焦点F(2,0).‎ 由抛物线y2=2px可得焦点.‎ ‎∴=2,‎ 解得p=4.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎8.两圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0(r>0)相交,则r的取值范围是 2<r<8 .‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定.‎ ‎【分析】求出两个圆的圆心与半径,利用圆心距与半径和与差的关系,‎ ‎【解答】解:圆x2+y2=9的圆心(0,0),半径为3,‎ 圆x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0(r>0)的圆心(﹣4,3),半径为:r,‎ 因为圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0(r>0)相交,‎ 所以,‎ 解得2<r<8.‎ 故答案为:2<r<8.‎ ‎ ‎ ‎9.已知a∈R,则“a>2”是“a2>2a”的 充分不必要 条件(填:充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】求解a2>2a,得出a>2或a<0,根据充分必要的定义判断即可得出答案.‎ ‎【解答】解:∵a2>2a,‎ ‎∴a>2或a<0,‎ 根据充分必要的定义判断:“a>2”是“a2>2a”的充分不必要条件,‎ 故答案为:充分不必要.‎ ‎ ‎ ‎10.已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程是 x2﹣y2=1 .‎ ‎【考点】双曲线的标准方程.‎ ‎【分析】设双曲线方程为y2﹣x2=λ,代入点,求出λ,即可求出双曲线的标准方程.‎ ‎【解答】解:设双曲线方程为y2﹣x2=λ,‎ 代入点,可得3﹣=λ,‎ ‎∴λ=﹣1,‎ ‎∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1.‎ 故答案为: x2﹣y2=1.‎ ‎ ‎ ‎11.若不等式|x﹣1|<a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是 [3,+∞) .‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法.‎ ‎【分析】先求出不等式|x﹣1|<a的解集为集合B,再根据条件可知{x|0<x<4}⊂B,建立关于a的不等式组,解之从而确定 a的取值范围.‎ ‎【解答】解:|x﹣1|<a⇒1﹣a<x<a+1‎ 由题意可知﹣≤x<0 0<x<4是1﹣a<x<a+1成立的充分不必要条件 ‎∴解得a≥3‎ ‎∴实数a的取值范围是[3,+∞)‎ 故答案为:[3,+∞)‎ ‎ ‎ ‎12.一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为  .‎ ‎【考点】椭圆的标准方程.‎ ‎【分析】设椭圆方程为=1,(a>b>0),由已知结合椭圆性质及等差数列性质列出方程求出a,b,由此能求出椭圆方程.‎ ‎【解答】解:∵个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,‎ ‎∴设椭圆方程为=1,(a>b>0),‎ ‎∵P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,‎ ‎∴,且a2=b2+c2,‎ 解得a=2,b=,c=,‎ ‎∴椭圆方程为.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎13.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: +=1(a>b>0)与不过坐标原点O的直线l:y=kx+m相交与A、B两点,线段AB的中点为M,若AB、OM的斜率之积为﹣,则椭圆C的离心率为  .‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2).线段AB的中点M(x0,y0).可得+=1, +=1,相减可得: +=0,利用中点坐标公式、斜率计算公式及其•k=,即可得出,再利用离心率计算公式即可得出.‎ ‎【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2).线段AB的中点M(x0,y0).‎ ‎∵+=1, +=1,‎ 相减可得: +=0,‎ 把x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, =k代入可得: +=0,‎ 又•k=,∴﹣=0,解得=.‎ ‎∴e==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.若点(x,y)在双曲线﹣y2=1上,则3x2﹣2xy的最小值是 6+4 .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由双曲线的标准方程可知:则x=2secα,y=tanα,由3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα=+,由﹣1<sinα<1,1﹣sinα>0,1+sinα>0,由基本不等式的性质可知∴[(1﹣sinα)+(1+sinα)]•(+)≥12+2=12+8,则+≥6+4,即可求得3x2﹣2xy的最小值.‎ ‎【解答】解:由线﹣y2=1,设x=2secα,y=tanα,‎ ‎3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα,‎ ‎=﹣,‎ ‎=‎ ‎=,‎ ‎=+‎ ‎∵﹣1<sinα<1,‎ ‎1﹣sinα>0,1+sinα>0‎ ‎∴[(1﹣sinα)+(1+sinα)]•(+),‎ ‎=12++≥12+2=12+8,‎ 当且仅当=等号成立,‎ 解得:sinα=3﹣2(3+2舍去)时,取得最小值,‎ ‎∵[(1﹣sinα)+(1+sinα)]•(+)=2(+),‎ ‎+≥6+4,‎ ‎∴3x2﹣2xy的最小值是6+4,‎ 故答案为:6+4.‎ ‎ ‎ 二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的一边AB在x轴上,另一边CD在x轴上方,且AB=8,BC=6,其中A(﹣4,0)、B(4,0).‎ ‎(1)若A、B为椭圆的焦点,且椭圆经过C、D两点,求该椭圆的方程;‎ ‎(1)若A、B为双曲线的焦点,且双曲线经过C、D两点,求双曲线的方程.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)由椭圆的定义:丨CA丨+丨CB丨=16=2a,求得a=8,则b2=a2﹣c2=64﹣16=48,即可求得椭圆方程;‎ ‎(2)根据双曲线的定义:丨CA丨﹣丨CB丨=4=2a′,则求得a′=2,则b2=c2﹣a′2=16﹣4=12,即可求得双曲线的标准方程.‎ ‎【解答】解:(1)∵A、B为椭圆的焦点,且椭圆经过C、D两点,‎ 根据椭圆的定义:丨CA丨+丨CB丨=16=2a,‎ ‎∴a=8,…4分 在椭圆中:b2=a2﹣c2=64﹣16=48,…6分 ‎∴椭圆方程为:;…8分 ‎(2)∵A、B为双曲线的焦点,且双曲线经过C、D两点,‎ 根据双曲线的定义:丨CA丨﹣丨CB丨=4=2a′,‎ ‎∴a′=2,…10分 在双曲线中:b2=c2﹣a′2=16﹣4=12,…12分 ‎∴双曲线方程为:.…14分.‎ ‎ ‎ ‎16.在平面直角坐标系xOy中,设命题p:椭圆C: +=1的焦点在x轴上;命题q:直线l:x﹣y+m=0与圆O:x2+y2=9有公共点. 若命题p、命题q中有且只有一个为真命题,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】求出命题p,q为真时,m的范围,结合命题p、命题q中有且只有一个为真命题,分类讨论,综合后可得实数m的取值范围.‎ ‎【解答】解:命题p为真:由题意得,m>8﹣m>0,解得4<m<8.…3分 命题q为真:x﹣y+m=0与圆O:x2+y2=9有公共点 则圆心O到直线l的距离:d=≤3,‎ ‎ 解得:﹣3≤m≤3.…7分 因为命题p、命题q中有且只有一个为真命题 若p真q假,则: 解得:3<m<8.…10分 若p假q真,则: 解得:﹣3≤m≤4 …13分 综上:实数m的取值范围是3<m<8或﹣3≤m≤4. …14分.‎ ‎ ‎ ‎17.如图,直角三角形ABC的顶点坐标A(﹣2,0),直角顶点B(0,﹣2),顶点C在x轴上,点P为线段OA的中点,三角形ABC外接圆的圆心为M.‎ ‎(1)求BC边所在直线方程;‎ ‎(2)求圆M的方程;‎ ‎(3)直线l过点P且倾斜角为,求该直线被圆M截得的弦长.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】(1)求出BC的斜率,可得BC边所在直线方程;‎ ‎(2)求出圆心与半径,即可求圆M的方程;‎ ‎(3)直线l过点P且倾斜角为,得出直线方程,即可求该直线被圆M截得的弦长.‎ ‎【解答】解:(1)∵kAB=﹣,AB⊥BC …1分 ‎∴kBC=,‎ ‎∴BC边所在直线方程y=x﹣2.…4分 ‎(2)在上式中,令y=0得:C(4,0)…5分 ‎∴圆心M(1,0)‎ ‎ 又∵AM=3 …7分 ‎∴外接圆的方程为(x﹣1)2+y2=9 …9分 ‎(3)∵P(﹣1,0),直线l过点P且倾斜角为,∴直线l的方程为y=(x+1)…10分 点M到直线l的距离为 …12分 直线l被圆M截得的弦长为2. …14分.‎ ‎ ‎ ‎18.已知椭圆的右焦点F(m,0),左、右准线分别为l1:x=﹣m﹣1,l2:x=m+1,且l1,l2分别与直线y=x相交于A,B两点.‎ ‎(1)若离心率为,求椭圆的方程;‎ ‎(2)当•<7时,求椭圆离心率的取值范围.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)由题意可知:(a>b>0),由准线方程为:x==m+1,即可求得a2=m(m+1),b2=m,由e===,即可求得b=c,求得m的值,代入求得a和b的值,即可求得椭圆方程;‎ ‎(2)A(﹣m﹣1,﹣m﹣1),B(m+1,m+1),求得=(2m+1,m+1),=(1,m+1),由•=m2+4m+2<7,即可求得0<m<1,由离心率e===,即可求得椭圆离心率的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)椭圆的右焦点F(m,0),故焦点在x轴上,设椭圆方程为:(a>b>0),‎ ‎∴c=m,准线方程为:x==m+1,‎ ‎∴a2=m(m+1),b2=m …2分 由e===,可得b=c,从而m=1,…4分 故a=,b=1,‎ ‎∴椭圆方程:; …6分 ‎(2)由题意可知:A(﹣m﹣1,﹣m﹣1),B(m+1,m+1),‎ ‎∴=(2m+1,m+1),=(1,m+1),…9分 故•=2m+1+(m+1)2=m2+4m+2<7,‎ 解得:0<m<1,…12分 由离心率e===,…14分 故所求的离心率范围为(0,).…16分.‎ ‎ ‎ ‎19.已知圆M:x2+(y﹣4)2=4,点P是直线l:x﹣2y=0上的一动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.‎ ‎(1)当切线PA的长度为时,求点P的坐标;‎ ‎(2)若△PAM的外接圆为圆N,试问:当P在直线l上运动时,圆N是否过定点?若存在,求出所有的定点的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎(3)求线段AB长度的最小值.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】(1)根据圆M的标准方程即可求出半径r=2和圆心M坐标(0,4),并可设P(2b,b),从而由条件便可求出|MP|=,这样便可求出b的值,即得出点P的坐标;‎ ‎(2)容易求出圆N的圆心坐标(b,),及半径,从而可得出圆N的标准方程,化简后可得到(2x+y﹣4)b﹣(x2+y2﹣4y)=0,从而可建立关于x,y的方程,解出x,y,便可得出圆N所过的定点坐标;‎ ‎(3)可写出圆N和圆M的一般方程,联立这两个一般方程即可求出相交弦AB的直线方程,进而求出圆心M到直线AB的距离,从而求出弦长,显然可看出b=时,AB取最小值,并求出该最小值.‎ ‎【解答】解:(1)由题意知,圆M的半径r=2,M(0,4),设P(2b,b),‎ ‎∵PA是圆M的一条切线,∴∠MAP=90°,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴P(0,0)或.‎ ‎(2)设P(2b,b),∵∠MAP=90°,∴经过A,P,M三点的圆N以MP为直径,‎ 其方程为,‎ 即(2x+y﹣4)b﹣(x2+y2﹣4y)=0,‎ 由,解得或,‎ ‎∴圆过定点(0,4),.‎ ‎(3)因为圆N方程为,‎ 即x2+y2﹣2bx﹣(b+4)y+4b=0,‎ 圆M:x2+(y﹣4)2=4,即x2+y2﹣8y+12=0,‎ ‎②﹣①得:圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为:2bx+(b﹣4)y+12﹣4b=0,‎ 点M到直线AB的距离,‎ 相交弦长即:,‎ 当时,AB有最小值.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率e=,左顶点为A(﹣4,0),过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D,交y轴于点E.‎ ‎(1)求椭圆C的方程; ‎ ‎(2)已知P为AD的中点,是否存在定点Q,对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ,若存在,求出点Q的坐标;若不存在说明理由;‎ ‎(3)若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M,求的最小值.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)由椭圆的离心率和左顶点,求出a,b,由此能求出椭圆C的标准方程.‎ ‎(2)直线l的方程为y=k(x+4),与椭圆联立,得,(x+4)[(4k2+3)x+16k2﹣12)]=0,由此利用韦达定理、直线垂直,结合题意能求出结果.‎ ‎(3)OM的方程可设为y=kx,与椭圆联立得M点的横坐标为,由OM∥l,能求出结果.‎ ‎【解答】解:(1)∵椭圆C: =1(a>b>0)的离心率e=,左顶点为A(﹣4,0),‎ ‎∴a=4,又,∴c=2.…‎ 又∵b2=a2﹣c2=12,‎ ‎∴椭圆C的标准方程为.…‎ ‎(2)直线l的方程为y=k(x+4),‎ 由消元得,.‎ 化简得,(x+4)[(4k2+3)x+16k2﹣12)]=0,‎ ‎∴x1=﹣4,.…‎ 当时,,‎ ‎∴.‎ ‎∵点P为AD的中点,∴P的坐标为,‎ 则.…‎ 直线l的方程为y=k(x+4),令x=0,得E点坐标为(0,4k),‎ 假设存在定点Q(m,n)(m≠0),使得OP⊥EQ,‎ 则kOPkEQ=﹣1,即恒成立,‎ ‎∴(4m+12)k﹣3n=0恒成立,∴,即,‎ ‎∴定点Q的坐标为(﹣3,0).…‎ ‎(3)∵OM∥l,∴OM的方程可设为y=kx,‎ 由,得M点的横坐标为,…‎ 由OM∥l,得 ‎=…‎ ‎=,‎ 当且仅当即时取等号,‎ ‎∴当时,的最小值为. …‎ ‎ ‎ ‎2016年12月9日

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