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- 2021-06-10 发布
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2016-2017 学年普通高中高三教学质量监测
数学(文)试题
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 2| 2 3 0 , | 2 1RA x x x C B x x x 或 ,则集合 A B ( )
A. 1,3 B. 1,1 C. 1,1 D. 1,3
2. 若 20171 3z i i ,则复数 z 的共轭复数为( )
A.3
10 10
i B. 3
10 10
i C.3
10 10
i D. 3
10 10
i
3. 由表数据求得 ,x y 之间的线性回归方程为 155y bx .
x 196 197 200 203 204
y 1 3 6 7 8
则下列说法正确的是( )
A.x 每增加一个单位, y 约增加 0.8个单位 B.x 每增加一个单位, y 约减少 0.8
个单位 C. x 每增加一个单位, y 约增加155个单位 D. x 每增加一个单
位, y 约减少155个单位
4. 已知实数 ,x y 满足
2 6 0
1 32
4 12
x y
y x
x y
,则 3
2
yz x
的取值范围为( )
A. 1, 2
B. 1, 3
C. 1 1,2 3
D. 1 ,3
5. 朱载堉(1536—1611) ,是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家,他的著作
《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八
度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的頻率之比完全相等,亦你“十二等程律”,
即一个八度13个音,相邻两个音之间的頻率之比相等,且最后一个音是最初那个音频率的 2
倍,设第三个音的频率为 1f ,第七个音的频率为 2f ,则 2
1
f
f
( )
A. 3 2 B. 11 2 C. 12 2 D. 6 2
6. 已知函数 2 42 , 2,0 2,41
xf x xx
,则函数 f x 的最大值与最小值之和
为( )
A.8 B. 4 C. 2 D. 0
7. 运行如图所示的程序框图,若输出的 S 值为127 ,则判断框中可以填 ( )
A. 10k ? B. 12k ? C. 14k ? D. 16k ?
8. 已知函数 sin 2f x x ,将函数 f x 的图象向右平移
6
个单位,再向上平移 3
2
个单
位移,得到
函数 g x 的图象,则当 0, 2x
时,函数 g x 的值域为 ( )
A. 3 3,2 2
B. 3 ,12
C. 30,1 2
D. 0, 3
9. 已知某四棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,则该四棱锥的体积为
( )
A. 80
3
B. 40
3
C. 160
3
D. 40
10. 已知双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
的右支上存在一点 M ,使得 PQ MQ ,其
中 ,0 , ,0P b Q b ,若 tan 2 2MQP ,则双曲线C 的渐近线方程为 ( )
A. 21
5y x B. 41
5y x C. 61
5y x D. 9
5y x
11. 若对于任意的正实数 ,x y 都有 2 lny y xx e x me
成立,则实数 m 的取值范围为
( )
A. 1 ,1e
B. 2
10, e
C. 0,1 D. 10, e
12. 已知数列 na 的通项公式为 2na n ,记数列 na 中不超过 m 的项的个数构成数列
nb ,则数列 nb 的前 m 项和 mS ( )
A.
2 1,(2
3 2,(
m
m mS
m m
为奇数)
为偶数)
B.
2 1,(4
3 2,(
m
m mS
m m
为奇数)
为偶数)
C.
2
2
1,(2
,(4
m
m m
S
m m
为奇数)
为偶数)
D.
2
2
1,(4
,(4
m
m m
S
m m
为奇数)
为偶数)
第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 已知函数 2 12lnf x x x x
,则曲线 y f x 在点 1, 1f 处的切线方程为
__________.
14. 已 知 椭 圆
2 2
1 2 2: 1 0x yC a ba b
与 椭 圆
2 2
2 2 2: 1 0y xC a ba b
相 交 于
, , ,A B C D 四点,若椭圆 1C 的一个焦点为 2,0F ,且四边形 ABCD 的面积为16
3
,则
椭圆 1C 的离心率 e 为 __________.
15. 已知正三棱锥 A BCD 内接于球O ,且球O 的体积为36 ,过三棱锥一侧棱以及球心
O 作截面得到的图形如图所示,则侧面三角形 ABC 的面积为_________.
16. 如图所示,已知直角梯形 ABCO 中,
90 , 1, 3, 2ABC BCO AB BC OC ,设 ,OM mOA ON nOC (其中
0 , 1m n ), 1 ,4mn G 为线段 MN 的中点,则 OG
的最小值为 _________.
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分)如图,在 ABC 中, 15sin 4C ,且 , 82 C AB ,若
12sin sinBAC AB B .
(1)求 ABC 的面积;
(2)已知 D 在线段 BC 上,且 BAD CAD ,求sin CAD 的值以及 AD 的值.
18.(本小题满分 12 分)已知函数 2 2 1 4
mf x x m x ,现有一组数据(该组数
据量庞大),从中随机10个,绘制所得的茎叶图如图所示,且茎叶图中平的数据的平均数为
2 .
(1)现从茎叶图的数据中任抽取任取 4 个数据分别替换 m 的值,求至少有 2 个数据,使得
函数 f x 没有零点的概率;
(2)以频率估计概率,若从该组数据中随机抽取 4 个数据分别替换 m 的值,记使得函数
f x 没有零点的个数为 ,求 的分布列及数学期望、方差.
19.(本小题满分 12 分)已知正方形 1 1BCC B ,如图(1)所示, E 是线段 1CC 的中点,现
以 1CC 为轴,将正方形 1 1BCC B 旋转到 1 1ACC A 使得 2AB AC ,得到的图形如图(2)
所示,连接 1 1 1 1 1 1, , , , , ,AB A B AE B E AB B C BC .
(1)证明: 1BC 平面 1AB C ;
(2)求二面角 1E AB C 的大小.
(1) (2)
20.(本小题满分 12 分)已知抛物线 2: 2 0C y px p 的焦点 F 与椭圆
2 2
': 16 5
x yC
的一个焦点重合,点 0 ,2A x 在抛物线上,过焦点 F 的直线l 交抛物线于 ,M N 两点.
(1)求抛物线C 的方程以及 AF 的值;
(2)记抛物线C 的准线与 x 轴交于点 B ,若 2 2, 40MF FN BM BN ,求实数 的
值.
21.(本小题满分 12 分)已知函数 2
2ln
xe af x a x a Rx x
.
(1)当 a e 时,讨论函数 f x 的单调性;
(2)若 f x 存在三个不同的极值点,分别为 1 2, ,2x x ,且 1 20 2x x ,求实数 a 的取
值范围, 并证明: 1 2 1x x .
请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为 1 cos (sin
x
y
为参数),曲线 2C 的普通
方程为
2 2
116 4
x y ,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 1C 的普通方程和 2C 的极坐标方程;
(2)若 ,A B 是曲线 2C 上的两点,且 OA OB ,求 2 2
1 1
OA OB
的值.
23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
已知函数 4 1f x x x ,若不等式 3f x 的解集为 P .
(1)求 P ;
(2)若 ,a b P ,且 1a b ,证明: 2
1 1 91a b a b
.
山西省孝义市九校 2017 届高三上学期教学质量监测(三模)
数学(文)试题参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1-5. CDABA 6-10. ABCBB 11-12. DD
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13. 1 0x y 14. 2
2
15. 9 15
4
16. 3
2
三、解答题
17.解:(1)记 15, , sin 4AC b BC a C ,且
2 C ,故
2 1cos 1 sin ; 12sin sin4C C BAC AB B ,且 8AB ,故
12sin 8sinBAC B ,即3 2a b ,在 ABC 中,
2
2 2 2 2 29 2 12 cos 2 64 44 2 4
a ac a b ab C a a a ,解得 4a ,又3 2a b ,
故 6b ;故 ABC 的面积 1 1 15sin 4 6 3 152 2 4S ab C .
(2)依题意,
2 2 2
27cos ,cos 1 2sin2 8
b c aBAC BAC DACbc
,即
1sin 4CAD ,故 1 1 15 15 7sin sin 4 4 4 4 8ADC DAC C
,故
对于函数 2 2 1 , 04
mf x x m x ,解得 1 22 m ;则茎叶图中,有 4 个数
据满足 1 22 m ,故所求概率
4 3 1
6 6 4
4 4
10 10
1 8 231 1 14 21 42
C C CP C C
.
(2)由(1)可知任取1个数据,能够使得函数 f x 没有零点的概率 2
5P ;故 的可能
取值为 0,1,2,3,4 ;则
4 3
1
4
3 81 2 3 2160 , 15 625 5 5 625P P C
,
2 2 3 4
1 3
4 4
2 3 216 2 3 96 2 162 , 3 , 4 ,5 5 625 5 5 625 5 625P C P C P
故所求分布列为:
0 1 2 3 4
P 81
625
216
625
216
625
96
625
16
625
因为 24, 5B
,故 2 8 2 3 244 , 45 5 5 5 25E D .
19.解:(1)因为 2
2AC BC AB ,故 2 2 2AC BC AB ,故 AC BC ,;因为棱柱
1 1 1ABC A B C 为直棱柱,故 1CC 平面 ,ABC AC 平面 ABC ,故
1 1,AC CC BC CC C ,故 AC 平面 1 1 1,BCC B BC 平面 1 1BCC B ,故
1AC BC ;又因为 1BC CC ,故 1 1 1;B C BC AC B C C ,故 1BC 平面 1AB C .
(2)以C 为坐标原点,CA 所在直线为 x 轴,CB 所在直线为 y 轴, 1CC 所在直线为 z 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz ,不妨设 2AC ,则
1 10,0,0 , 2,0,0 , 0,2,2 , 0,0,2 , 0,2,0 , 0,0,1C A B C B E ,则
1 12,0,1 , 2,2,2 , 0, 2,2AE AB BC ,易知, 1BC 平面
1 1, 0, 2,2AB C BC ,则平面 1AB C 的一个法向量 0, 1,1m ,设 , ,1n x y 是平面
1AB E 的一个法向量,则
1
0 2 1 0, 2 2 2 00
n AE x
x yn AB
,得 1 1, ,12 2n
,所以
2 2
1 1 32cos 21 12 12 2
m n
m n
m n
,因为二面角 1E AB C 为锐角,故
二面角 1E AB C 的大小为30 .
20.解:(1)依题意,椭圆
2 2
': 16 5
x yC 中, 2 26, 5a b ,故 2 2 2 1c a b ,故 1,0F ,
故 12
p ,
则 2 4p ,故抛物线 C 的方程为 2 4y x ,将 0 ,2A x 代人 2 4y x ,解得 0 1x ,故
1 22
pAF .
(2)依题意, 1,0F ,设 : 1l x my ,设 1 1 2 2, , ,M x y N x y ,联立方程
2 4
1
y x
x my
,
消去 x ,得 2 4 4 0y my . 1 2
1 2
4
4
y y m
y y
,① 且 1 1
2 2
1
1
x my
x my
,又 MF FN ,则
1 1 2 21 , 1,x y x y ,即 1 2y y ,代人 ①得 2
2
2
1 4
4
y m
y
,消去 2y 得
2 14 2m ,易得 1,0B ,则 1 1 2 21, , 1,BM x y BN x y ,则
2 22 2 2 22 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 21 1 2 2BM BN BM BN x y x y x x x x y y
2 2 2 2
1 2 1 2 1 21 1 2 2 2my my my my y y
2 2 2
1 2 1 21 4 8m y y m y y
2 2 4 21 16 8 4 4 8 16 40 16m m m m m m .由 4 216 40 16 40m m ,解得
2 1
2m ,
故 2 3 .
21.解:(1)
3 2 3
22 2'
xx x e axx e a af x x x x x
. ①当 0a 时,
30, 0xe ax x ,所以
当 0 2x 时, ' 0,f x f x 单调递减,当 2x 时, ' 0,f x f x 单调递增.② 当
0e a 时,令 xh x e ax ,则 ' xh x e a ,令 ' 0h x ,得 lnx a ,故 h x
在 0,ln a 上单调递减,在 ln ,a 上单调递增,
ln ln ln , 0, 0 1a ah a a a a a e ae e
,即 ln 0h a ,所
以当 0e a 时, 0xe ax 恒成立,故 f x 在 0,2 上单调递减,在 2, 上单调
递增,综上,当 a e 时, f x 在 0,2 上单调递减,在 2, 上单调递增.
(2)由(1)知 h x 在 0,ln a 上单调递减,在 ln ,a 上单调递增,若要 0h x
的两个不同根为 1 2,x x 且 1 20 2x x ,则必有
0 0
2 0
ln 0
0 ln 2
h
h
h a
a
,解得
2
,2
e a e 由
1 1
2 2
1 1 1
2 2 2
0 0
0 0
x x
x x
h x e ax e ax
h x e ax e ax
,两边取对数得
1 1
2 2
ln ln
ln ln
x a x
x a x
,两式
相加得 1 2 1 22ln lnx x a x x ,故要证 1 2 1x x ,只需证明 1 2 2lnx x a 即可.易
知 1 2lnx a x ,设 2lng x h x h a x ,其中
2
0 ln , ' 2 2 2 0x
x
ax a g x e a a ae
,故 g x 在 0,ln a x 上单调
递增,故 ln 0g x g a ,故 2ln 0 lnh x h a x x a ,令 1x x
得 1 1 1 22ln , 0h x h a x h x h x ,故 2 12lnh x h a x .又因为
2 1,2ln ln ,x a x a ,且 h x 在 ln ,a 上单调递增,因此有
2 12lnx a x ,即 1 2 2lnx x a 成立,原命题得证.
22.解:(1)依题意, 曲线 1C 的普通方程为 2 21 1x y ,即 2 22 0x x y ,曲线 2C
的极坐标方程为 2 2 2 2cos 4 sin 16 (只要写出 , 的关系式均给分).
(2)曲线 2C 的极坐标方程为
2 2 2 2cos sin 116 4
,设 1 2, , , 2A B
,代
人得
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2cos sin sin cos1, 116 4 16 4
,故
2 2 2 2 2 2
1 2
2 22 2 2 2
1 2 1 2
1 1 cos sin sin cos 5 1 1 5,16 4 16 4 16 16OA OB
.
23.解:(1)
5, 4
2 3, 4 1
5, 1
x
f x x x
x
,则当 4x 时, 5 3 不成立,当 4 1x 时,
2 3 3x ,解得 0 1x ;当 1x 时, 5 3 成立,故 | 0P x x .
(2) 2 2
0, , 2 4
a b a ba b a a b a
,当且仅当 2b a 时取等号,故
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
4 11 1 4 1 4 11 5 91 1 1 1
b bb ba b a b b b b b b b
,当且仅当
2 2
2 2
2
4 1
1
b a
b b
b b
,即 6 6,6 3a b 时取等号.