重庆市七校2020届高三下学期复学联考数学（文）试题（解析版） 22页

数学试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．设集合M＝{0，1}，N＝{x|lgx≤0}，则集合M∪N＝（　　）‎ A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]‎ ‎2．已知复数z满足：zi＝4﹣2i（i为虚数单位），则（　　）‎ A．﹣2﹣4i B．2+4i C．﹣2+4i D．2﹣4i ‎3．已知命题P：∀x≥1，2x﹣log2x≥1，则￢p为（　　）‎ A．∀x＜1，2x﹣log2x＜1 B．∀x≥1，2x﹣log2x＜1 ‎ C．∃x＜1，2x﹣log2x＜1 D．∃x≥1，2x﹣log2x＜1‎ ‎4．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度，某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱贫的户数占当年贫困户总数的比）为70%，2015年开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加户数占2019年贫困总户数的比）及该项目的脱贫率见表：‎ 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 参加占户比 ‎45%‎ ‎45%‎ ‎10%‎ 脱贫率 ‎96%‎ ‎96%‎ ‎90%‎ 那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（　　）倍．‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知首项为正数的等比数列{an}中，a2．a4，a7．a9，则a14＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知向量，则当取最小值时，实数t＝（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎7．已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点O及点A，则双曲线C的方程为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深对今天的几何学和其他学科仍有深刻的影响．右图就是《易经》中记载的几何图形﹣﹣八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边长为‎8m，代表阴阳太极图的圆的半径为‎2m，则每块八卦田的面积约为（　　）‎ A．‎42m2‎ B．‎37m‎2‎ ‎C．‎32m2‎ D．‎‎84m2‎ ‎9．锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，b，c，则角B＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．函数y＝sin|x|+x在x∈[﹣2π，2π]上的大致图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．若定义在R上的增函数y＝f（x﹣2）图象关于点（2，0）对称，且f（2）＝2，令g（x）＝f（x）+1，则下列结论不一定成立的是（　　）‎ A．g（0）＝1 B．g（﹣1）＝0 ‎ C．g（﹣1）+g（1）＞0 D．g（﹣1）+g（2）＞2‎ ‎12．如图，棱长为1的正方形体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，P为线段AB1的中点，M、N 分别为体对角线AC1和棱C1D1上任意一点，则PMMN的最小值为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上 ‎13．已知函数，则f（f（﹣2））＝　 　．‎ ‎14．已知x，y满足，则z＝x+3y的最小值为　 　．‎ ‎15．数列{an}满足an＝（2n﹣1）cos（nπ+2019π），则其前2021项的和S2021＝　 　．‎ ‎16．在Rt△ABC中，，BC＝9，以BC的中点为圆心，作直径为3的圆，分别交BC于点P、Q，则|AB|2+|AP|2+|AQ|2+|AC|2＝　 　．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知f（x）＝acos（2x）+cos（π﹣2x）（a＞0），x∈R，函数f（x）的最大值为2．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）若，α是第二象限角，求的值．‎ ‎18．在三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，M，M1分别为AB，A1B1中点．‎ ‎（1）求证：C‎1M1∥面A1MC；‎ ‎（2）若面ABC⊥面ABB‎1A1，△AB1B为正三角形，AB＝2，BC＝1，，求四棱锥B1﹣AA‎1C1C的体积．‎ ‎19．2020年春，新型冠状病毒在我国湖北武汉爆发并讯速蔓延，病毒传染性强并严重危害人民生命安全，国家卫健委果断要求全体人民自我居家隔离，为支援湖北武汉新型冠状病毒疫情防控工作，各地医护人员纷纷逆行，才使得病毒蔓延得到了有效控制．某社区为保障居民的生活不受影响，由社区志愿者为其配送蔬菜、大米等生活用品，记者随机抽查了男、女居民各100名对志愿者所买生活用品满意度的评价，得到下面的2×2列联表．‎ 特别满意 基本满意 男 ‎80‎ ‎20‎ 女 ‎95‎ ‎5‎ ‎（1）被调查的男性居民中有5个年轻人，其中有2名对志愿者所买生活用品特别满意，现在这5名年轻人中随机抽取3人，求至多有1人特别满意的概率．‎ ‎（2）能否有99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异？‎ 附：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001 ‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎20．椭圆C：1（a＞b＞0），焦距为2，P为椭圆C上一点，F为焦点，且PF⊥x轴，|PF|．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设Q为y轴正半轴上的定点，过点Q的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，且S△AOBtan∠AOB，求点Q的坐标．‎ ‎21．已知函数f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．‎ ‎（1）求实数a的取值范围；‎ ‎（2）设两个极值点分别为x1，x2，x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22．‎ 请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点A的极坐标为，点B为曲线C上的一动点，求线段AB的中点P到直线l的距离的最大值．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分)‎ ‎23．已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|．‎ ‎（1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；‎ ‎（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求证：b‎3c+c‎3a+a3b＞abc．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．设集合M＝{0，1}，N＝{x|lgx≤0}，则集合M∪N＝（　　）‎ A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]‎ 求出集合N，再求出并集．‎ 集合M＝{0，1}，N＝{x|lgx≤0}＝{x|0＜x≤1}，‎ 则集合M∪N＝[0，1]，‎ 故选：A．‎ 考查集合的并集及其运算，基础题．‎ ‎2．已知复数z满足：zi＝4﹣2i（i为虚数单位），则（　　）‎ A．﹣2﹣4i B．2+4i C．﹣2+4i D．2﹣4i 利用复数的运算性质即可得出．‎ zi＝4﹣2i（i为虚数单位），‎ ‎∴﹣i•zi＝﹣i（4﹣2i），∴z＝﹣2﹣4i．‎ 则2+4i．‎ 故选：C．‎ 本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎3．已知命题P：∀x≥1，2x﹣log2x≥1，则￢p为（　　）‎ A．∀x＜1，2x﹣log2x＜1 B．∀x≥1，2x﹣log2x＜1 ‎ C．∃x＜1，2x﹣log2x＜1 D．∃x≥1，2x﹣log2x＜1‎ 根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．‎ 全称命题的否定为特称命题，改变量词，否定结论即可．‎ 即∃x≥1，2x﹣log2x＜1，‎ 故选：D．‎ 本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎4．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度，某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱贫的户数占当年贫困户总数的比）为70%，2015年开始全面实施“精准扶贫”‎ 政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加户数占2019年贫困总户数的比）及该项目的脱贫率见表：‎ 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 参加占户比 ‎45%‎ ‎45%‎ ‎10%‎ 脱贫率 ‎96%‎ ‎96%‎ ‎90%‎ 那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（　　）倍．‎ A． B． C． D．‎ 利用百分率的意义即可得出结论．‎ ‎2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的倍．‎ 故选：B．‎ 本题考查了函数的应用、百分率的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎5．已知首项为正数的等比数列{an}中，a2．a4，a7．a9，则a14＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ 根据等比数列的性质：．求解等比数列的公比q，再根据等比数列的通项公式求解即可．‎ 首项为正数的等比数列{an}中，设公比为q，‎ ‎，‎ 解得，‎ 对应的q或q．‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ 本题主要考查等比数列的通项公式和基本性质，注意首项为正的条件，是基础题．‎ ‎6．已知向量，则当取最小值时，实数t＝（　　）‎ A． B． C． D．1‎ 根据以及向量的坐标即可得出，从而可得出，然后配方即可求出t取何值时，取到最小值．‎ ‎∵，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴（1﹣t，2t），‎ ‎∴，‎ ‎∴时，取得最小值．‎ 故选：A．‎ 本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，向量坐标的加法和数乘运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，配方法的运用，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎7．已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点O及点A，则双曲线C的方程为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 由题意可得|OA|的值，及渐近线的倾斜角的正切值，进而求出余弦值，再由题意可得OF与OA的关系，及a，b，c的关系求出a，b的值，进而求出双曲线的方程．‎ 由题意可得OA2，且OA⊥AF，，‎ tan∠AOF，所以cos∠AOF，所以OF•cos∠AOF＝OA，即c2，所以c，‎ c2＝a2+b2，解得：b2＝1，a2＝4，‎ 所以双曲线的方程为：y2＝1，‎ 故选：B．‎ 本题考查由线段为直径的圆的性质及双曲线的性质，属于中档题．‎ ‎8．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深对今天的几何学和其他学科仍有深刻的影响．右图就是《易经》中记载的几何图形﹣﹣八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边长为‎8m，代表阴阳太极图的圆的半径为‎2m，则每块八卦田的面积约为（　　）‎ A．‎42m2‎ B．‎37m‎2‎ ‎C．‎32m2‎ D．‎‎84m2‎ 根据块八卦田的面积为补全三角形的面积减去八分之一圆的面积，分别求面积，作差即可．‎ 每一块八卦田对应的圆心角为45°，‎ 则每块八卦田的面积为补全三角形的面积减去八分之一圆的面积，‎ 设其中心到每个顶点的距离为x；‎ 则△OAB中，82＝x2+x2﹣2x•x•cos45°⇒x2；‎ ‎∴S△AOBx2•sin45°16（1）；‎ 而八分之一圆的面积为：•π×22；‎ ‎∴每块八卦田的面积为：16（1）37．‎ 故选：B．‎ 本题主要考查面积的求解，其中涉及到三角形的面积和扇形的面积，阅读量较大，属于基础题．‎ ‎9．锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，b，c，则角B＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ 由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA，结合范围A∈（0，π），可求A，由余弦定理可得a的值，进而根据正弦定理可得sinB的值，根据b＜a，B为锐角，可求B的值．‎ ‎∵，‎ ‎∴sinAcosAcosA＝0，可得tanA，‎ ‎∵A∈（0，π），‎ ‎∴A．‎ ‎∵b，c，‎ ‎∴由余弦定理可得a，‎ ‎∴由正弦定理可得sinB，‎ ‎∵b＜a，B为锐角，‎ ‎∴B．‎ 故选：B．‎ 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎10．函数y＝sin|x|+x在x∈[﹣2π，2π]上的大致图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 分x∈[﹣2π，0]以及x∈[0，2π]讨论，求导，利用导数得解．‎ 当x∈[﹣2π，0]时，y＝sin（﹣x）+x，y′＝﹣cos（﹣x）+1≥0，‎ 当x从负方向慢慢趋近于0时，导函数也慢慢趋近于0，由导数的几何意义可知，选项BC不合题意；‎ 当x∈[0，2π]时，y＝sinx+x，y′＝cosx+1＞0，y′|x＝0＝2，可排除A．‎ 故选：D．‎ 本题考查利用导数确定函数图象，考查数形结合思想及推理能力，属于基础题．‎ ‎11．若定义在R上的增函数y＝f（x﹣2）图象关于点（2，0）对称，且f（2）＝2，令g（x）＝f（x）+1，则下列结论不一定成立的是（　　）‎ A．g（0）＝1 B．g（﹣1）＝0 ‎ C．g（﹣1）+g（1）＞0 D．g（﹣1）+g（2）＞2‎ 根据条件即可得出f（x）是R上的奇函数且是增函数，从而得出f（0）＝0，f（﹣1）+f（1）＝0，从而判断选项A，C一定成立；根据f（2）＝2可得出f（﹣1）＞﹣2，从而可得出g（﹣1）+g（2）＞2，从而判断选项D一定成立，从而得出不一定成立的只能选B．‎ ‎∵y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）对称，‎ ‎∴f（x）的图象关于点（0，0）对称，且y＝f（x﹣2）是定义在R上的增函数，‎ ‎∴f（x）是R上的奇函数，且是R上的增函数，‎ ‎∴f（0）＝0，f（﹣1）+f（1）＝0，‎ ‎∴g（0）＝1，g（﹣1）+g（1）＝2＞0，‎ ‎∵f（2）＝2，∴f（﹣1）＞f（﹣2）＝﹣2，‎ ‎∴g（﹣1）+g（2）＝f（﹣1）+4＞2，‎ ‎∵f（﹣1）不一定等于﹣1，∴g（﹣1）＝0不一定成立．‎ 故选：B．‎ 本题考查了图象的平移变换，奇函数图象的对称性，增函数的定义，奇函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎12．如图，棱长为1的正方形体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，P为线段AB1的中点，M、N分别为体对角线AC1和棱C1D1上任意一点，则PMMN的最小值为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ PMMN，转化为P到平面CDD‎1C1的距离，求解即可．‎ 如图：MN的最小值就是M到C1D1的距离，恰好是MN与平面CDD‎1C1所成角的正弦函数值，就是M到平面CDD‎1C1的距离，‎ PMMN的最小值为，P到CDD‎1C1平面的距离．‎ 所以PMMN的最小值为：1．‎ 故选：C．‎ 本题考查空间的点到平面的距离的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上 ‎13．已知函数，则f（f（﹣2））＝　　．‎ 根据题意，由函数的解析式求出f（﹣2）的值，进而计算可得答案．‎ 根据题意，函数，则f（﹣2）＝1﹣2﹣2＝1，‎ 则f（f（﹣2））；‎ 故答案为：．‎ 本题考查分段函数函数值的计算，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．‎ ‎14．已知x，y满足，则z＝x+3y的最小值为　﹣8　．‎ 画出满足条件的平面区域，将直线变形为yxz，通过图象求解即可．‎ 画出满足条件的平面区域，如图示：‎ ‎，‎ 由z＝x+3y得：yxz，‎ 显然直线过C时，z最小，‎ ‎⇒C（﹣2，﹣2）‎ z的最小值是：﹣2+3×（﹣2）＝﹣8，‎ 故答案为：﹣8．‎ 本题考察了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．‎ ‎15．数列{an}满足an＝（2n﹣1）cos（nπ+2019π），则其前2021项的和S2021＝　2021　．‎ 本题先利用诱导公式对余弦式进行化简，然后根据n分别为奇数和偶数两种情况对余弦式进行进一步化简，可得到数列{an}的通项公式，然后运用分组求和法计算前2021项和S2021的值．‎ 由题意，可知 cos（nπ+2019π）＝cos（nπ+π+2018π）＝cos（n+1）π，‎ an＝（2n﹣1）cos（n+1）π，‎ ‎①当n为奇数时，n+1为偶数，此时cos（n+1）π＝1，an＝2n﹣1，‎ ‎②当n为偶数时，n+1为奇数，此时cos（n+1）π＝﹣1，an＝﹣（2n﹣1），‎ ‎∴an，‎ ‎∴S2021＝a1+a2+a3+a4+…+a2019+a2020+a2021‎ ‎＝1﹣3+5﹣7+…+4037﹣4039+4041‎ ‎＝（1﹣3）+（5﹣7）+…+（4037﹣4039）+4041‎ ‎＝（﹣2）×1010+4041‎ ‎＝2021．‎ 故答案为：2021．‎ 本题主要考查数列与三角函数的综合，以及运用分组求和法计算前n项和． 考查了分类讨论思想，转化与化归思想，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．‎ ‎16．在Rt△ABC中，，BC＝9，以BC的中点为圆心，作直径为3的圆，分别交BC于点P、Q，则|AB|2+|AP|2+|AQ|2+|AC|2＝　126　．‎ 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设出B，C的坐标，根据题意及定比分点坐标公式得到P，Q的坐标，再利用两点间的距离公式化简得解．‎ 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 设B（m，0），C（0，n），则m2+n2＝81，‎ 易知，则，‎ 同理由，可得，‎ ‎∴|AB|2+|AP|2+|AQ|2+|AC|2．‎ 故答案为：126．‎ 本题考查三角形中的几何计算，在解答过程中综合运用了平面向量的运用，定比分点的坐标公式，两点间的距离公式，考查了数形结合思想以及计算能力，难度一般．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知f（x）＝acos（2x）+cos（π﹣2x）（a＞0），x∈R，函数f（x）的最大值为2．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）若，α是第二象限角，求的值．‎ ‎（1）结合诱导公式先进行化简，然后结合正弦函数的最值取得条件可求；‎ ‎（2）由已知结合同角平方关系及和差角公式进行化简可求．‎ ‎（1）f（x）＝acos（2x）+cos（π﹣2x）（a＞0），‎ ‎，tan，‎ 故函数的最大值为2，a＞0，‎ 解可得a，‎ ‎（2）由（1）知f（x）＝2sin（2x），‎ 所以f（）＝2sinα，‎ ‎∴sin，‎ ‎∵α是第二象限角，故cos，‎ ‎．‎ 本题主要考查了正弦函数的性质，和差角公式及诱导公式，同角平方关系在三角化简求值中的应用．‎ ‎18．在三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，M，M1分别为AB，A1B1中点．‎ ‎（1）求证：C‎1M1∥面A1MC；‎ ‎（2）若面ABC⊥面ABB‎1A1，△AB1B为正三角形，AB＝2，BC＝1，，求四棱锥B1﹣AA‎1C1C的体积．‎ ‎（1）连结M‎1M，推导出四边形MCC‎1M1是平行四边形，从而C‎1M1∥CM，由此能证明C‎1M1∥面A1MC．‎ ‎（2）推导出B‎1M⊥AB，B‎1M⊥面ABC，B‎1M是三棱柱ABC﹣A1B‎1C1的高，四棱锥B1﹣AA‎1C1C的体积为．‎ ‎【解答】解：（1）证明：连结M‎1M，本题考查线面平行的证明，‎ ‎∵在三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，M，M1分别为AB，A1B1中点．‎ ‎∴M‎1M∥B1B，且M‎1M＝B1B，C‎1C∥B1B，且C‎1C＝B1B，‎ ‎∴M‎1M∥C‎1C，且M‎1M＝C‎1C，‎ ‎∴四边形MCC‎1M1是平行四边形，‎ ‎∴C‎1M1∥CM，‎ ‎∵C‎1M1⊄平面A1MC，CM⊂平面A1MC，‎ ‎∴C‎1M1∥面A1MC．‎ ‎（2）解：∵△ABB1是正三角形，面ABC⊥面ABB‎1A1，M为AB中点，‎ ‎∴B‎1M⊥AB，∴B‎1M⊥面ABC，‎ ‎∴B‎1M是三棱柱ABC﹣A1B‎1C1的高，‎ ‎∵AB＝2，BC＝1，，∴BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴四棱锥B1﹣AA‎1C1C的体积为：‎ shsh1．‎ 本题考查线面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎19．2020年春，新型冠状病毒在我国湖北武汉爆发并讯速蔓延，病毒传染性强并严重危害人民生命安全，国家卫健委果断要求全体人民自我居家隔离，为支援湖北武汉新型冠状病毒疫情防控工作，各地医护人员纷纷逆行，才使得病毒蔓延得到了有效控制．某社区为保障居民的生活不受影响，由社区志愿者为其配送蔬菜、大米等生活用品，记者随机抽查了男、女居民各100名对志愿者所买生活用品满意度的评价，得到下面的2×2列联表．‎ 特别满意 基本满意 男 ‎80‎ ‎20‎ 女 ‎95‎ ‎5‎ ‎（1）被调查的男性居民中有5个年轻人，其中有2名对志愿者所买生活用品特别满意，现在这5名年轻人中随机抽取3人，求至多有1人特别满意的概率．‎ ‎（2）能否有99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异？‎ 附：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001 ‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎（1）根据题意设五个人，求出所有事件，找出符合题意的事件，求出概率，‎ ‎（2）根据题中数据带入求值，比较，判断．‎ ‎（1）设5个人记为ABCDE，满意的两人为AB，‎ 任取3人事件为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种，‎ 其中3人至多有1人特别满意有7种，‎ 则至多有1人特别满意的概率为．‎ ‎（2）10.286＞6.635，‎ 有99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异．‎ 本题考查概率的求法，以及独立性检验，属于基础题．‎ ‎20．椭圆C：1（a＞b＞0），焦距为2，P为椭圆C上一点，F为焦点，且PF⊥x轴，|PF|．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设Q为y轴正半轴上的定点，过点Q的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，且S△AOBtan∠AOB，求点Q的坐标．‎ ‎（1）由题意求得c＝1，由条件可得，结合a，b．，c的关系可得a，b，进而得到椭圆方程；‎ ‎（2）设Q（0，m），直线l的方程设为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理，结合向量数量积的定义和坐标表示，化简整理解得m，可得Q的坐标．‎ ‎（1）由题意可得‎2c＝2，即c＝1，则a2﹣b2＝c2＝1，又因为PF⊥x轴，‎ 且|PF|，可得，解得a＝2，b，则椭圆的方程为1；‎ ‎（2）设Q（0，m），直线l的方程设为y＝kx+m，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由S△OAB|OA|•|OB|•sin∠AOBtan∠AOB，‎ 则|OA|•|OB|•cos∠AOB＝﹣3，即•3，‎ 由可得（3+4k2）x2+8kmx+‎4m2‎﹣12＝0，‎ ‎△＝（‎8km）2﹣4（3+4k2）（‎4m2‎﹣12）＝48（4k2﹣m2+3）＞0，‎ x1+x2， x1x2，‎ 则•x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝﹣3，‎ 即有（1+k2）•km（）+m2＝﹣3，‎ 可得4（k‎2m2‎﹣3k2+m2﹣3）﹣8k‎2m2‎+（4k‎2m2‎+12k2+‎3m2‎+9）＝0，‎ 解得m，‎ 则M的坐标为（0，）．‎ 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．‎ ‎21．已知函数f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．‎ ‎（1）求实数a的取值范围；‎ ‎（2）设两个极值点分别为x1，x2，x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22．‎ ‎（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数正负即可求解函数单调性，结合单调性即可求解；‎ ‎（2）分析要证明不等式特点，进行合理的变形，然后构造函数，结合导数及函数性质可证．‎ ‎（1）由题意可知，f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝alnx﹣2x，‎ 令g（x）＝alnx﹣2x（x＞0），‎ 则函数f（x）在定义域内有两个不同的极值点等价于g（x）在区间（0，+∞）内至少有两个不同的零点，‎ 由可知，‎ 当a≤0时，g'（x）＜0恒成立，即函数g（x）在（0，+∞）上单调，不符合题意，舍去．‎ 当a＞0时，由g'（x）＞0得，，即函数g（x）在区间上单调递增；‎ 由g'（x）＜0得，，即函数g（x）在区间上单调递减；‎ 故要满足题意，必有，‎ 解得：a＞2e；‎ ‎（2）证明：由（1）可知，，‎ 故要证：，‎ 只需证明：，‎ 即证：不妨设0＜x1＜x2，即证，‎ 构造函数：h（t）＝lnt﹣t2+1（t＞1）其中，‎ 由，所以函数h（t）在区间（1，+∞）内单调递减，所以h（t）＜h（1）＝0得证，‎ 或证：即证：，‎ 只需证明：，‎ 而由（1）可知，‎ 故上式成立，‎ 即可得：．‎ 本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，考查了考试逻辑推理的能力．‎ 请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点A的极坐标为，点B为曲线C上的一动点，求线段AB的中点P到直线l的距离的最大值．‎ ‎（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．‎ ‎（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．‎ ‎（1）曲线C的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝1．‎ 直线l的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．‎ ‎（2）A的极坐标为，转换为直角坐标为A（2，2），设点B（1+cosα，﹣1+sinα），‎ 所以点P（），所以点P到直线l的距离d，‎ 即点P到直线l的距离的最大值为．‎ 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分)‎ ‎23．已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|．‎ ‎（1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；‎ ‎（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求证：b‎3c+c‎3a+a3b＞abc．‎ ‎（1）法1：去绝对值，化为分段函数，求出最值，‎ 法2：根据绝对值三角不等式，求出最值，‎ ‎（2）法1：根据基本不等式即可证明，‎ 法2：根据柯西不等式即可证明．‎ ‎（1）因为a＝b＝c＝1，‎ 所以f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝2|x+1|+|x﹣1|，‎ 法1：由上可得：‎ 所以，当x＝﹣1时，函数f（x）的最小值为2；‎ 法2：f（x）＝）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝|x+1|+|x+1|+|x﹣1|≥|x+1|+|x+1﹣x+1|＝2+|x+1|≥2，‎ 当且仅当，即x＝﹣1时取得最小值2；‎ 证明（2）：因为a，b，c为正数，所以要证，‎ 即证明就行了，‎ 法1：因为2222（a+b+c），当且仅当a＝b＝c时取等号．‎ 又因为f（0）＝1即 a+b+c＝1且a，b，c不全相等，‎ 所以，‎ 即，‎ 法2：因为（a+b+c）（）≥1，当且仅当取等号，‎ 又因为f（0）＝1即 a+b+c＝1且a，b，c不全相等，‎ 所以，‎ 即．‎ 本题考查重要不等式的应用，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力．‎