2019届二轮复习　圆锥曲线学案（全国通用） 24页

第 2 讲　圆锥曲线 [考情考向分析]　1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2. 以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)． 热点一　圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)． (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于点 M. 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数 法求出方程中的 a2，b2，p 的值． 例 1　(1)(2018·银川模拟)已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为 F1，F2，左、右顶点 为 M，N，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点(异于 M，N)，△AF1B 的周长为 4 3，且直线 AM 与 AN 的斜率之积为－2 3，则 C 的方程为(　　) A.x2 12＋y2 8＝1 B.x2 12＋y2 4＝1 C.x2 3＋y2 2＝1 D.x2 3＋y2＝1 答案　C 解析　由△AF1B 的周长为 4 3，可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4 3， 解得 a＝ 3，则 M(－ 3，0)，N( 3，0)． 设点 A(x0，y0)(x0≠± 3)， 由直线 AM 与 AN 的斜率之积为－2 3， 可得 y0 x0＋ 3· y0 x0－ 3 ＝－2 3， 即 y20＝－2 3(x20－3)，① 又x20 3＋y20 b2＝1，所以 y20＝b2(1－x20 3 )，② 由①②解得 b2＝2. 所以 C 的方程为x2 3＋y2 2＝1. (2)(2018·龙岩质检)已知以圆 C：(x－1)2＋y2＝4 的圆心为焦点的抛物线 C1 与圆 C 在第一象限 交于 A 点，B 点是抛物线 C2：x2＝8y 上任意一点，BM 与直线 y＝－2 垂直，垂足为 M，则|BM| －|AB|的最大值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．8 答案　A 解析　因为圆 C：(x－1)2＋y2＝4 的圆心为 C(1,0)， 所以可得以 C(1,0)为焦点的抛物线方程为 y2＝4x， 由Error!解得 A(1,2)． 抛物线 C2：x2＝8y 的焦点为 F(0,2)， 准线方程为 y＝－2， 即有|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|＝1， 当且仅当 A，B，F(A 在 B，F 之间)三点共线时，可得最大值 1. 思维升华　(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐 标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式． (2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定． 跟踪演练 1　(1)(2018·石嘴山模拟)已知双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1， F2，以 F1，F2 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4 )，则双曲线的方程为(　　) A.x2 16－y2 9＝1 B.x2 3－y2 4＝1 C.x2 4－y2 3＝1 D.x2 9－y2 16＝1 答案　D 解析　∵点(3,4)在以|F1F2|为直径的圆上， ∴c＝5，可得 a2＋b2＝25.① 又∵点(3,4)在双曲线的渐近线 y＝b ax 上， ∴b a＝4 3.② ①②联立，解得 a＝3 且 b＝4， 可得双曲线的方程为x2 9－y2 16＝1. (2)如图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A，B，交其准线于点 C，若 |BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为(　　) A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝ 3x 答案　C 解析　如图分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设准线交 x 轴于点 G. 设|BF |＝a，则由已知得|BC |＝2a， 由抛物线定义，得|BD |＝a，故∠BCD＝30°， 在 Rt△ACE 中， ∵|AE |＝|AF|＝3，|AC |＝3＋3a，|AC|＝2|AE|， ∴3＋3a＝6，从而得 a＝1，|FC |＝3a＝3. ∴p＝|FG |＝1 2|FC |＝3 2， 因此抛物线方程为 y2＝3x，故选 C. 热点二　圆锥曲线的几何性质 1．椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为 e＝c a＝ 1－(b a )2. (2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为 e＝c a＝ 1＋(b a )2. 2．双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝± b ax.注意离心率 e 与渐近线的斜率的关 系． 例 2　(1)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，若△AF1F2 的面积是△BF1F2 面积的三倍，cos∠AF2B＝3 5，则椭圆 E 的离心率 为(　　) A.1 2 B.2 3 C. 3 2 D. 2 2 答案　D 解析　设|F1B|＝k(k > 0 )， 依题意可得|AF1|＝3k，|AB|＝4k， ∴|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. ∵cos∠AF2B＝3 5， 在△ABF2 中，由余弦定理可得 |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B， ∴(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－6 5(2a－3k)(2a－k)， 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0， 而 a＋k>0，故 a－3k＝0，a＝3k， ∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k， ∴|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2， ∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2 是等腰直角三角形． ∴c＝ 2 2 a，椭圆的离心率 e＝c a＝ 2 2 . (2)已知双曲线 M：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，|F1F2 |＝2c.若双曲线 M 的右支上存在点 P，使 a sin∠PF1F2＝ 3c sin∠PF2F1，则双曲线 M 的离心率的取值范围为(　　) A.(1，2＋ 7 3 ) B.(1，2＋ 7 3 ] C．(1,2) D.(1，2 ] 答案　A 解析　根据正弦定理可知sin∠PF1F2 sin∠PF2F1＝|PF2| |PF1|， 所以|PF2| |PF1|＝ a 3c，即|PF2|＝ a 3c|PF1|， |PF1|－ |PF2|＝2a， 所以(1－ a 3c)|PF1 |＝2a，解得|PF1 |＝ 6ac 3c－a， 而|PF1 |>a＋c，即 6ac 3c－a>a＋c， 整理得 3e2－4e－1<0，解得2－ 7 3 1，所以 1b>0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上，△PF1F2 为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则 C 的离心率为(　　) A.2 3 B.1 2 C.1 3 D.1 4 答案　D 解析　如图，作 PB⊥x 轴于点 B. 由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则 c＝1， 由∠F1F2P＝120°， 可得|PB|＝ 3，|BF2|＝1， 故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2， tan∠PAB＝|PB| |AB|＝ 3 a＋2＝ 3 6 ， 解得 a＝4， 所以 e＝c a＝1 4. 故选 D. (2)已知双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的焦距为 2c，直线 l 过点(2 3a，0)且与双曲线 C 的一条 渐近线垂直，以双曲线 C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线 l 交于 M，N 两点，若|MN| ＝4 2 3 c，则双曲线 C 的渐近线方程为(　　) A．y＝± 2x B．y＝± 3x C．y＝±2x D．y＝±4x 答案　B 解析　方法一　由题意可设渐近线方程为 y＝b ax， 则直线 l 的斜率 kl＝－a b， 直线 l 的方程为 y＝－a b(x－2 3a)， 整理可得 ax＋by－2 3a2＝0. 焦点(c,0)到直线 l 的距离 d＝ |ac－2 3a2| a2＋b2 ＝ |ac－2 3a2| c ， 则弦长为 2 c2－d2＝2 c2－ (ac－2 3a2)2 c2 ＝4 2 3 c， 整理可得 c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0， 即 e4－9e2＋12e－4＝0， 分解因式得(e－1 )(e－2 )(e2＋3e－2)＝0. 又双曲线的离心率 e>1，则 e＝c a＝2， 所以b a＝ c2－a2 a2 ＝ (c a )2－1＝ 3， 所以双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± 3x. 方法二　圆心到直线 l 的距离为 c2－(2 2 3 c )2＝c 3， ∴ |ac－2 3a2| c ＝c 3， ∴c2－3ac＋2a2＝0， ∴c＝2a，b＝ 3a， ∴渐近线方程为 y＝± 3x. 热点三　直线与圆锥曲线 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 (1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x，y 的方程组，消去 y(或 x)得一元二 次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数． 例 3　(2018·衡水金卷调研)已知椭圆 x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的 直线交椭圆于 A，B 两点． (1)若直线 AB 与椭圆的长轴垂直，|AB|＝1 2a，求椭圆的离心率； (2)若直线 AB 的斜率为 1，|AB|＝ 2a3 a2＋b2，求椭圆的短轴与长轴的比值． 解　(1)由题意可知，直线 AB 的方程为 x＝－c， ∴|AB|＝2b2 a ＝1 2a， 即 a2＝4b2， 故 e＝c a＝ a2－b2 a2 ＝ 1－b2 a2＝ 3 2 . (2)设 F1(－c,0)，则直线 AB 的方程为 y＝x＋c， 联立Error!消去 y， 得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2c2－a2b2＝0， Δ＝4a4c2－4a2(a2＋b2)(c2－b2)＝8a2b4. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－ 2a2c a2＋b2，x1x2＝a2(c2－b2) a2＋b2 ， ∴|AB|＝ 1＋1|x1－x2| ＝ 2· (x1＋x2)2－4x1x2＝ 2· 8a2b4 a2＋b2 ＝ 4ab2 a2＋b2＝ 2a3 a2＋b2， ∴a2＝2b2，∴b2 a2＝1 2， ∴2b 2a＝ 2 2 ，即椭圆的短轴与长轴之比为 2 2 . 思维升华　解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思 想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解． 跟踪演练 3　如图，过抛物线 M：y＝x2 上一点 A(点 A 不与原点 O 重合)作抛物线 M 的切线 AB 交 y 轴于点 B，点 C 是抛物线 M 上异于点 A 的点，设 G 为△ABC 的重心(三条中线的交 点)，直线 CG 交 y 轴于点 D.设点 A(x0，x20)(x0≠0)． (1)求直线 AB 的方程； (2)求|OB| |OD|的值． 解　(1)因为 y′＝2x， 所以直线 AB 的斜率 k＝y′＝2x0. 所以直线 AB 的方程 y－x20＝2x0(x－x0)， 即 y＝2x0x－x20， 即直线 AB 的方程为 2x0x－y－x20＝0. (2)由题意得，点 B 的纵坐标 yB＝－x20， 所以 AB 的中点坐标为(x0 2，0). 设 C(x1，y1)，G(x2，y2)， 直线 CG 的方程为 x＝my＋1 2x0. 由Error! 联立得 m2y2＋(mx0－1)y＋1 4x20＝0. Δ＝(mx0－1)2－4×m2×x20 4＝1－2mx0>0， 即 mx0<1 2. 因为 G 为△ABC 的重心，所以 y1＝3y2. 由根与系数的关系，得 y1＋y2＝4y2＝1－mx0 m2 ， y1y2＝3y22＝ x20 4m2. 所以 (1－mx0)2 16m4 ＝ x20 12m2， 解得 mx0＝－3±2 3，满足 Δ>0. 所以点 D 的纵坐标 yD＝－ x0 2m＝ x20 6 ± 4 3 ， 故|OB| |OD|＝|yB| |yD|＝4 3±6. 真题体验 1．(2017·北京)若双曲线 x2－y2 m＝1 的离心率为 3，则实数 m＝________. 答案　2 解析　由双曲线的标准方程知， a＝1，b2＝m，c＝ 1＋m， 故双曲线的离心率 e＝c a＝ 1＋m＝ 3， ∴1＋m＝3，解得 m＝2. 2．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线 C： x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4 所 截得的弦长为 2，则双曲线 C 的离心率为________． 答案　2 解析　设双曲线的一条渐近线方程为 y＝b ax， 圆的圆心为(2,0)，半径为 2， 由弦长为 2，得圆心到渐近线的距离为 22－12＝ 3. 由点到直线的距离公式，得 |2b| a2＋b2＝ 3，解得 b2＝3a2.所以双曲线 C 的离心率 e＝c a＝ c2 a2＝ 1＋b2 a2＝2. 3．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线 C：y 2＝4x 的焦点 F，且斜率为 3的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴上方)，l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN⊥l，则 M 到直线 NF 的距离为________． 答案　2 3 解析　抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.由直线方程的点斜式，可得直线 MF 的方程为 y＝ 3(x－1)． 联立方程组Error! 解得Error!或Error! ∵点 M 在 x 轴的上方，∴M(3,2 3)． ∵MN⊥l，∴N(－1,2 3)． ∴|NF|＝ (1＋1)2＋(0－2 3)2＝4， |MF|＝|MN|＝3－(－1)＝4. ∴△MNF 是边长为 4 的等边三角形． ∴点 M 到直线 NF 的距离为 2 3. 4．(2017·山东)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为 F 的 抛物线 x2＝2py(p>0)交于 A，B 两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 ________． 答案　y＝± 2 2 x 解析　设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由Error!消去 x， 得 a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， ∴y1＋y2＝2pb2 a2 . 又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|， ∴y1＋p 2＋y2＋p 2＝4×p 2，即 y1＋y2＝p， ∴2pb2 a2 ＝p，即b2 a2＝1 2，∴b a＝ 2 2 ， ∴双曲线的渐近线方程为 y＝± 2 2 x. 押题预测 1．已知 F1，F2 是双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过 F2 作双曲线一条渐近线的垂 线，垂足为点 A，交另一条渐近线于点 B，且AF2→ ＝1 3F2B → ，则该双曲线的离心率为(　　) A. 6 2 B. 5 2 C. 3 D．2 押题依据　圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热 点． 答案　A 解析　由 F2(c,0)到渐近线 y＝b ax 的距离为 d＝ bc a2＋b2＝b，即|AF2→ |＝b，则|BF2→ |＝3b. 在△AF2O 中，|OA → |＝a , |OF2→ |＝c，tan∠F2OA＝b a，tan∠AOB＝4b a ＝ 2 × b a 1－(b a )2 ，化简可得 a2 ＝2b2，即 c2＝a2＋b2＝3 2a2，即 e＝c a＝ 6 2 ，故选 A. 2．已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为1 2，且点(1，3 2 )在该椭圆上． (1)求椭圆 C 的方程； (2)过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若△AOB 的面积为6 2 7 ，求圆 心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程． 押题依据　椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识 应给予充分关注． 解　(1)由题意可得 e＝c a＝1 2， 又 a2＝b2＋c2， 所以 b2＝3 4a2. 因为椭圆 C 经过点(1，3 2 )， 所以 1 a2＋ 9 4 3 4a2 ＝1， 解得 a2＝4，所以 b2＝3， 故椭圆 C 的方程为x2 4＋y2 3＝1. (2)由(1)知 F1(－1,0)，设直线 l 的方程为 x＝ty－1， 由Error!消去 x，得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0， 显然 Δ>0 恒成立，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1＋y2＝ 6t 4＋3t2，y1y2＝－ 9 4＋3t2， 所以|y1－y2|＝ (y1＋y2)2－4y1y2 ＝ 36t2 (4＋3t2)2 ＋ 36 4＋3t2＝12 t2＋1 4＋3t2 ， 所以 S△AOB＝1 2·|F1O|·|y1－y2| ＝6 t2＋1 4＋3t2 ＝6 2 7 ， 化简得 18t4－t2－17＝0， 即(18t2＋17)(t2－1)＝0， 解得 t21＝1，t22＝－17 18(舍去)． 又圆 O 的半径 r＝|0－t × 0＋1| 1＋t2 ＝ 1 1＋t2， 所以 r＝ 2 2 ，故圆 O 的方程为 x2＋y2＝1 2. A 组　专题通关 1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线 C： x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 y＝ 5 2 x，且与椭 圆x2 12＋y2 3＝1 有公共焦点，则 C 的方程为(　　) A.x2 8－y2 10＝1 B.x2 4－y2 5＝1 C.x2 5－y2 4＝1 D.x2 4－y2 3＝1 答案　B 解析　由 y＝ 5 2 x，可得b a＝ 5 2 .① 由椭圆x2 12＋y2 3＝1 的焦点为(3,0)，(－3,0)， 可得 a2＋b2＝9.② 由①②可得 a2＝4，b2＝5. 所以 C 的方程为x2 4－y2 5＝1. 故选 B. 2．(2018·全国Ⅰ)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点(－2,0)且斜率为2 3的直线与 C 交于 M， N 两点，则FM → ·FN → 等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　D 解析　由题意知直线 MN 的方程为 y＝2 3(x＋2)， 联立直线与抛物线的方程，得Error! 解得Error!或Error! 不妨设点 M 的坐标为(1,2)，点 N 的坐标为(4,4)． 又∵抛物线的焦点为 F(1,0)， ∴FM → ＝(0,2)，FN → ＝(3,4)． ∴FM → ·FN → ＝0×3＋2×4＝8. 故选 D. 3．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线 C： x2 3－y2＝1，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线 与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|等于(　　) A.3 2 B．3 C．2 3 D．4 答案　B 解析　由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y＝± 1 3 x. 设两渐近线的夹角为 2α，则有 tan α＝ 1 3 ＝ 3 3 ， 所以 α＝30°. 所以∠MON＝2α＝60°. 又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设 MN⊥ON，如图所示． 在 Rt△ONF 中，|OF|＝2，则|ON|＝ 3. 则在 Rt△OMN 中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝ 3·tan 60°＝3. 故选 B. 4．(2018·华大新高考联盟质检)设椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的焦点为 F1，F2，P 是椭圆上一点， 且∠F1PF2＝π 3，若△F1PF2 的外接圆和内切圆的半径分别为 R，r，当 R＝4r 时，椭圆的离心 率为(　　) A.4 5 B.2 3 C.1 2 D.2 5 答案　B 解析　椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的焦点为 F1(－c,0)，F2(c,0)，P 为椭圆上一点，且∠F1PF2＝π 3， |F1F2|＝2c，根据正弦定理 |F1F2| sin∠F1PF2＝ 2c sin π 3 ＝2R， ∴R＝2 3 3 c， ∵R＝4r，∴r＝ 3 6 c， 由余弦定理， (2c )2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2， 由|PF1|＋|PF2|＝2a，∠F1PF2＝π 3， 可得|PF1||PF2|＝4 3(a2－c2)， 则由三角形面积公式1 2(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)·r＝1 2|PF1||PF2|sin∠F1PF2， 可得(2a＋2c)· 3 6 c＝4 3(a2－c2)· 3 2 ， ∴e＝c a＝2 3. 5．(2017·全国Ⅱ)已知 F 是抛物线 C：y2＝8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于 点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|＝________. 答案　6 解析　如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物线 C 的准线交 x 轴于点 A，过点 M 作准线 的垂线，垂足为点 B，交 y 轴于点 P， ∴PM∥OF. 由题意知，F(2,0)， |FO|＝|AO|＝2. ∵点 M 为 FN 的中点，PM∥OF， ∴|MP|＝1 2|FO|＝1. 又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3， 故|FN|＝2|MF|＝6. 6．(2018·北京)已知椭圆 M： x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)，双曲线 N： x2 m2－y2 n2＝1.若双曲线 N 的两条渐 近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心 率为________；双曲线 N 的离心率为________． 答案　 3－1　2 解析　方法一　双曲线 N 的渐近线方程为 y＝±n mx，则n m＝tan 60°＝ 3，∴双曲线 N 的离心率 e1 满足 e21＝1＋n2 m2＝4，∴e1＝2. 由Error!得 x2＝ a2b2 3a2＋b2. 如图，设 D 点的横坐标为 x， 由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2. ∴ 4a2b2 3a2＋b2＝a2－b2，得 3a4－6a2b2－b4＝0， ∴3－6b2 a2 －(b2 a2 )2＝0，解得b2 a2＝2 3－3. ∴椭圆 M 的离心率 e2 满足 e22＝1－b2 a2＝4－2 3. ∴e2＝ 3－1. 方法二　双曲线 N 的渐近线方程为 y＝±n mx， 则n m＝tan 60°＝ 3. 又 c1＝ m2＋n2＝2m，∴双曲线 N 的离心率为c1 m＝2. 如图，连接 EC，由题意知，F，C 为椭圆 M 的两焦点， 设正六边形的边长为 1，则|FC|＝2c2＝2，即 c2＝1. 又 E 为椭圆 M 上一点，则|EF|＋|EC|＝2a，即 1＋ 3＝2a， ∴a＝1＋ 3 2 . ∴椭圆 M 的离心率为c2 a＝ 2 1＋ 3 ＝ 3－1. 7．(2018·衡阳模拟)已知抛物线 C：y 2＝2px(p>0)的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交 于 A，B 两点，且直线 l 与圆 x2－px＋y2－3 4p2＝0 交于 C，D 两点，若|AB|＝3|CD|，则直线 l 的斜率为________． 答案　± 2 2 解析　由题意得 F(p 2，0 )，由 x2－px＋y2－3 4p2＝0，配方得 (x－p 2 )2＋y2＝p2， 所以直线 l 过圆心(p 2，0 )，可得|CD|＝2p， 若直线 l 的斜率不存在，则 l：x＝p 2，|AB|＝2p，|CD|＝2p，不符合题意， ∴直线 l 的斜率存在． ∴可设直线 l 的方程为 y＝k(x－p 2 )，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立Error! 化为 x2－(p＋2p k2 )x＋p2 4 ＝0， 所以 x1＋x2＝p＋2p k2 ， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＋2p k2 ， 由|AB|＝3|CD|，所以 2p＋2p k2 ＝6p， 可得 k2＝1 2，所以 k＝± 2 2 . 8．(2018·百校联盟联考)已知 A，B 是椭圆 C 上关于原点对称的两点，若椭圆 C 上存在点 P， 使得直线 PA，PB 斜率的绝对值之和为 1，则椭圆 C 的离心率的取值范围是________． 答案　[ 3 2 ，1) 解析　不妨设椭圆 C 的方程为x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)，P(x，y)，A(x1，y1)，则 B(－x1，－y1)， 所以x2 a2＋y2 b2＝1，x21 a2＋y21 b2＝1， 两式相减得x2－x21 a2 ＝－y2－y21 b2 ， 所以y2－y21 x2－x21＝－b2 a2， 所以直线 PA，PB 斜率的绝对值之和为|y－y1 x－x1 |＋|y＋y1 x＋x1 |≥2 |y2－y21 x2－x21|＝2b a ， 由题意得2b a ≤1， 所以 a2≥4b2＝4a2－4c2，即 3a2≤4c2， 所以 e2≥3 4， 又因为 00)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|＝8. (1)求 l 的方程； (2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程． 解　(1)由题意得 F(1,0)，l 的方程为 y＝k(x－1)(k>0)． 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由Error!得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16>0，故 x1＋x2＝2k2＋4 k2 . 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1) ＝4k2＋4 k2 . 由题意知4k2＋4 k2 ＝8，解得 k＝－1(舍去)或 k＝1. 因此 l 的方程为 x－y－1＝0. (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y－2＝－(x－3)，即 y＝－x＋ 5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)， 则Error! 解得Error!或Error! 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16 或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 10．(2018·天津)设椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B.已知椭圆的离心率为 5 3 ， 点 A 的坐标为(b,0)，且|FB|·|AB|＝6 2. (1)求椭圆的方程； (2)设直线 l：y＝kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q.若|AQ| |PQ|＝5 2 4 sin∠AOQ(O 为原点)，求 k 的值． 解　(1)设椭圆的焦距为 2c，由已知有 c2 a2＝5 9， 又由 a2＝b2＋c2，可得 2a＝3b. 由已知可得|FB|＝a，|AB|＝ 2b， 由|FB|·|AB|＝6 2，可得 ab＝6，从而 a＝3，b＝2. 所以椭圆的方程为x2 9＋y2 4＝1. (2)设点 P 的坐标为(x1，y1)，点 Q 的坐标为(x2，y2)． 由已知有 y1>y2>0，故|PQ|sin∠AOQ＝y1－y2. 又因为|AQ|＝ y2 sin∠OAB，而∠OAB＝π 4， 所以|AQ|＝ 2y2. 由|AQ| |PQ|＝5 2 4 sin∠AOQ，可得 5y1＝9y2. 由方程组Error!消去 x，可得 y1＝ 6k 9k2＋4 . 由题意求得直线 AB 的方程为 x＋y－2＝0， 由方程组Error!消去 x，可得 y2＝ 2k k＋1. 由 5y1＝9y2，可得 5(k＋1)＝3 9k2＋4，两边平方， 整理得 56k2－50k＋11＝0，解得 k＝1 2或 k＝11 28. 所以 k 的值为1 2或11 28. B 组　能力提高 11．(2018·长沙模拟)2000 多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆 锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为 PH，AB 为地面直径，顶角为 2θ，那么不过顶点 P 的平面与 PH 夹角π 2>a>θ 时，截口曲线为椭圆；与 PH 夹角 a＝θ 时，截口曲线为抛物线； 与 PH 夹角 θ>a>0 时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线 AM⊥AB，过 AM 的平面截 圆锥得到的曲线为椭圆，其中与 PB 的交点为 C，可知 AC 为长轴．那么当 C 在线段 PB 上运 动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为(　　) A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 答案　D 解析　如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点 Q 到焦点 F 的距离等于长半轴 a，但短 轴的端点 Q 到直线 AM 的距离也是 a，即说明短轴的端点 Q 到定点 F 的距离等于到定直线 AM 的距离，且点 F 不在定直线 AM 上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛 物线的一部分，故选 D. 12．(2018·河南省名校联考)过双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双 曲线交于 A，B 两点，D 为虚轴的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的 取值范围为______________________． 答案　(1， 2)∪( 2＋ 2，＋∞) 解析　设双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的左焦点 F1(－c,0)， 令 x＝－c，可得 y＝±b c2 a2－1＝±b2 a ， 设 A(－c，b2 a )，B(－c，－b2 a )，D(0，b)， 可得AD → ＝(c，b－b2 a )， AB → ＝(0，－2b2 a )，DB → ＝(－c，－b－b2 a )， 若∠DAB 为钝角，则AD → ·AB → <0， 即 0－2b2 a ·(b－b2 a )<0， 化为 a>b，即有 a2>b2＝c2－a2， 可得 c2<2a2，即 e＝c a< 2， 又 e>1，可得 10， 由 e＝c a，可得 e4－4e2＋2>0， 又 e>1，可得 e> 2＋ 2； 又AB → ·DB → ＝2b2 a (b＋b2 a )>0， ∴∠DBA 不可能为钝角． 综上可得，e 的取值范围为(1， 2)∪( 2＋ 2，＋∞)． 13．已知直线 MN 过椭圆x2 2＋y2＝1 的左焦点 F，与椭圆交于 M，N 两点，直线 PQ 过原点 O 与 MN 平行，且与椭圆交于 P，Q 两点，则|PQ|2 |MN|＝________. 答案　2 2 解析　方法一　特殊化，设 MN⊥x 轴， 则|MN|＝2b2 a ＝ 2 2 ＝ 2，|PQ|2＝4，|PQ|2 |MN|＝ 4 2 ＝2 2. 方法二　由题意知 F(－1,0)，当直线 MN 的斜率不存在时，|MN|＝2b2 a ＝ 2，|PQ|＝2b＝2，则 |PQ|2 |MN|＝2 2； 当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的斜率为 k， 则 MN 的方程为 y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立方程Error! 整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0， Δ＝8k2＋8>0. 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－ 4k2 2k2＋1，x1x2＝2k2－2 2k2＋1， 则|MN|＝ 1＋k2 (x1＋x2)2－4x1x2 ＝2 2(k2＋1) 2k2＋1 . 直线 PQ 的方程为 y＝kx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 则Error!解得 x2＝ 2 1＋2k2，y2＝ 2k2 1＋2k2， 则|OP|2＝x23＋y23＝2(1＋k2) 1＋2k2 ， 又|PQ|＝2|OP|， 所以|PQ|2＝4|OP|2＝8(1＋k2) 1＋2k2 ， 所以|PQ|2 |MN|＝2 2. 综上，|PQ|2 |MN|＝2 2. 14．(2017·天津)已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点为 F(－c,0)，右顶点为 A，点 E 的坐标为 (0，c)，△EFA 的面积为b2 2 . (1)求椭圆的离心率； (2)设点 Q 在线段 AE 上，|FQ|＝3c 2 ，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P，点 M，N 在 x 轴上，PM∥QN， 且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c，四边形 PQNM 的面积为 3c. ①求直线 FP 的斜率； ②求椭圆的方程． 解　(1)设椭圆的离心率为 e. 由已知可得1 2(c＋a)c＝b2 2 . 又由 b2＝a2－c2，可得 2c2＋ac－a2＝0， 即 2e2＋e－1＝0，解得 e＝－1 或 e＝1 2. 又因为 00)， 则直线 FP 的斜率为1 m. 由(1)知 a＝2c，可得直线 AE 的方程为 x 2c＋y c＝1， 即 x＋2y－2c＝0，与直线 FP 的方程联立， 可得 x＝ (2m－2)c m＋2 ，y＝ 3c m＋2， 即点 Q 的坐标为((2m－2)c m＋2 ， 3c m＋2). 由已知|FQ|＝3c 2 ， 有 [(2m－2)c m＋2 ＋c]2＋( 3c m＋2 )2＝(3c 2 )2， 整理得 3m2－4m＝0，所以 m＝4 3(m＝0 舍去)， 即直线 FP 的斜率为3 4. ②由 a＝2c，可得 b＝ 3c， 故椭圆方程可以表示为 x2 4c2＋ y2 3c2＝1. 由①得直线 FP 的方程为 3x－4y＋3c＝0，与椭圆方程联立得Error! 消去 y，整理得 7x2＋6cx－13c2＝0， 解得 x＝－13c 7 (舍去)或 x＝c.因此可得点 P(c，3c 2 )， 进而可得|FP|＝ (c＋c)2＋(3c 2 )2＝5c 2 ， 所以|PQ|＝|FP|－|FQ|＝5c 2 －3c 2 ＝c. 由已知，线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距离，故直线 PM 和 QN 都垂直于 直线 FP. 因为 QN⊥FP， 所以|QN|＝|FQ|·tan∠QFN＝3c 2 ×3 4＝9c 8 ， 所以△FQN 的面积为1 2|FQ||QN|＝27c2 32 . 同理△FPM 的面积等于75c2 32 . 由四边形 PQNM 的面积为 3c，得75c2 32 －27c2 32 ＝3c， 整理得 c2＝2c.又由 c>0，得 c＝2. 所以椭圆的方程为x2 16＋y2 12＝1.