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- 2021-06-10 发布
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文科数学试卷
(考试时间:120分钟)
一、 选择题(本大题共12小题,每小题5分,总分60分)
1. 以下四个命题既是特称命题又是真命题是( )
A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角 B. 至少有一个实数x,使
C. 两个无理数的和必是无理数 D. 存在一个负数,使
2.水平放置的的斜二测直观图如图所示,若,的面积为,则的长为( )
(A) (B) (C) (D)
3.以下命题中真命题的序号是( )
①若棱柱被一平面所截,则分成的两部分不一定是棱柱;
②有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱;
③有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥;
④当球心到平面的距离小于球面半径时,球面与平面的交线总是一个圆 .
(A)①④ (B)②③④ (C)①②③ (D)①②③④
4.若曲线表示椭圆,则的取值范围是( )
A B. C. D. 或
5.已知双曲线的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列,则双曲线的离心率e为 ( )
A. 2 B. 3 C. D.
6.如图,平面α∥平面β,过平面α,β外一点P引直线l1分别交平面α,平面β于A、B两点,PA=6,AB=2,引直线l2分别交平面α,平面β于C,D两点,已知BD=12,则AC的长等于( )
A.10 B.9 C.8 D.7
7.函数在区间上最小值是( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥PABC中,已知PC⊥BC,PC⊥AC,点E、F、G分别是所在棱的中点,则下面结论中错误的是( )
A.平面EFG∥平面PBC
B.平面EFG⊥平面ABC
C.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
9. 函数的一个单调递增区间为 ( )
A. B. C. D.
10.已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点.若点到该抛物线焦点的距离为,则( )
A. B. C. D.
11. 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 已知的三个顶点在以为球心的球面上,且,,,三棱锥的体积为,则球的表面积为( )
A. B. C. D.
一、 填空题(本大题共4小题,每小题5分,总分20分)
13.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行,则a的值是 .
14.动点到点距离比它到直线的距离大1,则动点的轨迹方程为
.
15.一个长方体被一平面截去一部分后,所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
.
16.已知函数,现给出下列结论:
①有极小值,但无最小值
②有极大值,但无最大值
③若方程恰有一个实数根,则
④若方程恰有三个不同实数根,则
其中所有正确结论的序号为
一、 解答题(本大题共6小题,第17题10分,其余各小题均12分)
17.设命题:,命题:关于的方程有实根.
(1)若为真命题,求的取值范围.
(2)若“”为假命题,且“”为真命题,求的取值范围.
18.如图,在四棱柱中,底面为正方形,侧棱底面,为棱的中点,,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
19. 在直角坐标系中,圆的方程为.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程;
(Ⅱ)直线的参数方程是(为参数),与交于两点,,求的斜率.
20.已知椭圆的离心率为,其中左焦点为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆交于不同的两点、,且线段的中点在圆上,求的值.
21. 如图,在三棱锥中,平面平面,,,.
求:(Ⅰ)求三棱锥的体积;
(Ⅱ)求点到平面的距离.
22.已知:函数,其中.
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围
文科数学答案
一、1.B 2.B 3.A 4.D 5.D 6.B 7.A 8.D 9.A 10.C 11.D 12.C
二、13. 1 14. 15. 48
16. ②④
【解析】
所以当 时, ;当 时, ;当 时, ;
因此有极小值,也有最小值,有极大值,但无最大值;若方程恰有一个实数根,则或; 若方程恰有三个不同实数根,则,即正确结论的序号为②④
三、17.【答案】(1)(2)
18.【解析】(Ⅰ)证明:因为侧棱底面, 底面,
所以,
因为底面为正方形,所以,
因为=,所以平面,
因为平面,所以;
(Ⅱ)因为侧棱底面于,为棱 的中点,且,
所以,即三棱锥的高为,
由底面正方形的边长为,得,
所以.
19.解析:(Ⅰ)化圆的一般方程可化为.由,可得圆的极坐标方程.
(Ⅱ)在(Ⅰ)中建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
设,所对应的极径分别为,,将的极坐标方程代入的极坐标方程得.
于是,.
.
由得,
所以的斜率为或.
20.【详解】(1)由题意可得,,则,
因此,椭圆的方程为;
(2)设点、,
将直线的方程与椭圆的方程联立,得,
,解得.
由韦达定理得,则,.
所以,点的坐标为,
代入圆的方程得,解得,合乎题意.
综上所述,.
21.【解析】(Ⅰ)因为,,
所以,,,
所以,又因为平面,所以平面,
所以==;
(也可以直接取中点和点连接,即为三棱锥的高,底面积为三角形的面积来算)
(Ⅱ)由(1)得:平面,所以,,
因为,即,
得.
22.【解析】
(1)解:.
当时,
.
令,解得,,.
当变化时,,的变化情况如下表:
↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以在,内是增函数,在,内是减函数.
(2)解:由条件可知,从而恒成立.
当时,;当时,.
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者.
为使对任意的,不等式在上恒成立,当且仅当
即
在上恒成立.
所以,因此满足条件的的取值范围是.