高考文科数学专题复习练习2三角函数的概念 32页

‎47‎ 三角函数的概念 ‎1.(2015宁夏银川二中一模,文3,三角函数的概念,选择题)已知α是第二象限角,P(x,‎5‎)为其终边上一点,且cos α=‎2‎‎4‎x,则x的值是(　　)‎ A.‎3‎ B.±‎3‎ C.-‎2‎ D.-‎‎3‎ 解析:依题意,xx‎2‎‎+5‎‎=‎‎2‎x‎4‎,解得x=±‎3‎,‎ 又α是第二象限角,故x=-‎3‎,故选D.‎ 答案:D ‎48‎ 同角三角函数的基本关系 ‎1.(2015山西太原二模,文4,同角三角函数的基本关系,选择题)已知sin α+cos α=‎2‎,α∈(0,π),则tan α=(　　)‎ A.-1 B.-‎2‎‎2‎ C.‎2‎‎2‎ D.1‎ 解析:由sin α+cos α=‎2‎得(sin α+cos α)2‎ ‎=1+2sin αcos α=2,‎ 即2sin αcos α=1,‎ 又因为α∈(0,π),则当cos α=0时,sin α=1,不符合题意.‎ 所以cos α≠0,所以‎2sinαcosαsin‎2‎α+cos‎2‎α‎=‎‎2tanαtan‎2‎α+1‎=1,解得tan α=1,故选D.‎ 答案:D ‎2.(2015山西二测,文4,同角三角函数的基本关系,选择题)已知π‎2‎<α<π,sin α=‎2‎‎5‎‎5‎,则tan α=(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.-‎1‎‎2‎ C.2 D.-2‎ 解析:由题意得cos α=-‎1-sin‎2‎α=-‎5‎‎5‎,‎ 所以tan α=sinαcosα=-2,故选D.‎ 答案:D ‎4.(2015山西大附中第五次月考,文4,同角三角函数的基本关系,选择题)已知sin θ=m-3‎m+5‎,cos θ=‎4-2mm+5‎π‎2‎‎<θ<π,则tanθ‎2‎等于(　　)‎ A.m-3‎‎9-m B.m-3‎‎9-m C.3 D.‎‎1‎‎3‎ 解析:因为sin2θ+cos2θ=1,‎ 所以m-3‎m+5‎‎2‎‎+‎‎4-2mm+5‎‎2‎=1,‎ 解得m=0,则tan θ=-‎3‎‎4‎,‎ 由-‎3‎‎4‎‎=‎‎2tanθ‎2‎‎1-tan‎2‎θ‎2‎,得tanθ‎2‎=3或tanθ‎2‎=-‎1‎‎3‎,‎ 又因为π‎4‎‎<θ‎2‎<‎π‎2‎,所以tanθ‎2‎=3,故选C.‎ 答案:C ‎5.(2015河南郑州第三次质量检测,文13,同角三角函数的基本关系,填空题)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,b=3,cos B=‎4‎‎5‎,则sin A的值为　　　　　. ‎ 解析:因为cos B=‎4‎‎5‎,所以sin B=‎3‎‎5‎.‎ 由正弦定理得‎3‎‎5‎‎3‎‎=‎sinA‎2‎,sin A=‎2‎‎5‎.‎ 答案:‎‎2‎‎5‎ ‎6.(2015甘肃兰州诊断,文13,同角三角函数的基本关系,填空题)已知α∈‎0,‎π‎2‎,cos α=‎4‎‎5‎,则sin(π-α)=　　　　　. ‎ 解析:依题意得sin α=‎1-cos‎2‎α‎=‎‎3‎‎5‎,‎ sin(π-α)=sin α=‎3‎‎5‎.‎ 答案:‎‎3‎‎5‎ ‎7.(2015贵州八校二联,文13,同角三角函数的基本关系,填空题)已知cosα+‎π‎4‎‎=‎‎4‎‎5‎,则sin 2α=　　　　　. ‎ 解析:sin 2α=-cos‎2α+‎π‎2‎=-cos 2α+‎π‎4‎=1-2cos2α+‎π‎4‎=-‎7‎‎25‎.‎ 答案:-‎‎7‎‎25‎ ‎49‎ 诱导公式 ‎1.(2015河北石家庄一模,文5,诱导公式,选择题)已知cos α=k,k∈R,α∈π‎2‎‎,π,则sin(π+α)=(　　)‎ A.-‎1-‎k‎2‎ B.‎‎1-‎k‎2‎ C.-k D.±‎‎1-‎k‎2‎ 解析:因为α∈π‎2‎‎,π,所以sin α>0,‎ 则sin(π+α)=-sin α=-‎1-cos‎2‎α=-‎1-‎k‎2‎,故选A.‎ 答案:A ‎2.(2015河北石家庄二检,文1,诱导公式,选择题)sin(-750°)的值为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.-‎3‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎ D.-‎‎1‎‎2‎ 解析:利用诱导公式求解.sin(-750°)=sin(-30°)=-sin 30°=-‎1‎‎2‎,故选D.‎ 答案:D ‎4.(2015黑龙江哈尔滨第三中学二模,文1,诱导公式,选择题)cos 240°=(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.-‎1‎‎2‎ C.‎3‎‎2‎ D.-‎‎3‎‎2‎ 解析:利用诱导公式求解.‎ cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°=-‎1‎‎2‎,故选B.‎ 答案:B ‎5.(2015东北三省四市一联,文14,诱导公式,填空题)已知tan(3π-x)=2,则‎2cos‎2‎x‎2‎-sinx-1‎sinx+cosx=　　　　　. ‎ 解析:tan(3π-x)=tan(-x)=-tan x=2,‎ 故tan x=-2.‎ 故‎2cos‎2‎x‎2‎-sinx-1‎sinx+cosx‎=cosx-sinxsinx+cosx=‎‎1-tanxtanx+1‎=-3.‎ 答案:-3‎ ‎50‎ 三角函数的定义域、值域、最值 ‎1.(2015河北唐山一模,文10,三角函数的定义域、值域、最值,选择题)函数f(x)=|sin x|+2|cos x|的值域为(　　)‎ A.[1,2] B.[‎5‎,3] C.[2,‎5‎] D.[1,‎5‎]‎ 解析:对任意x∈R,存在k∈Z和t∈‎0,‎π‎2‎,使x=kπ+t或x=kπ-t,‎ 则f(x)=|sin x|+2|cos x|=|sin t|+2|cos t|‎ ‎=sin t+2cos t,t∈‎0,‎π‎2‎,‎ 即f(x)的值域可以转化为当x∈‎0,‎π‎2‎时的值域.‎ 因为f(t)=‎5‎sin(t+φ),其中tan φ=2,‎ 则φ∈π‎3‎‎,‎π‎2‎,t+φ∈φ,π‎2‎+φ,‎ 当t+φ=π‎2‎时,f(t)有最大值‎5‎,‎ 当t+φ=π‎2‎+φ时,即t=π‎2‎时,f(t)有最小值1,‎ 故f(x)的值域为[1,‎5‎],故选D.‎ 答案:D ‎2.(本小题满分12分)(2015山西二测,文17,三角函数的定义域、值域、最值,解答题)已知函数f(x)=‎3‎sin xcos x+cos2x-‎1‎‎2‎.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴;‎ ‎(2)当x∈‎0,‎π‎2‎时,求f(x)的取值范围.‎ 解:(1)f(x)=‎3‎sin xcos x+cos2x-‎‎1‎‎2‎ ‎=‎3‎‎2‎sin 2x+‎1‎‎2‎cos 2x ‎=sin‎2x+‎π‎6‎,(3分)‎ 令2x+π‎6‎‎=‎π‎2‎+kπ(k∈Z),则x=π‎6‎‎+‎kπ‎2‎(k∈Z),(5分)‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期为π,对称轴为x=π‎6‎‎+‎kπ‎2‎(k∈Z).(6分)‎ ‎(2)∵x∈‎0,‎π‎2‎,∴π‎6‎≤2x+π‎6‎‎≤‎‎7π‎6‎,(8分)‎ 则当2x+π‎6‎‎=‎π‎2‎,即x=π‎6‎时,f(x)取得最大值1,(9分)‎ 当2x+π‎6‎‎=‎‎7π‎6‎,即x=π‎2‎时,f(x)取得最小值-‎1‎‎2‎,(10分)‎ ‎∴f(x)的取值范围是‎-‎1‎‎2‎,1‎.(12分)‎ ‎3.(本小题满分12分)(2015黑龙江哈尔滨第六中学二模,文17,三角函数的定义域、值域、最值,解答题)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且‎2b-ca‎=‎cosCcosA.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)求函数y=‎3‎sin B+sinC-‎π‎6‎的值域.‎ 解:(1)∵‎2b-ca‎=‎cosCcosA,‎ ‎∴(2sin B-sin C)cos A=sin Acos C.‎ ‎∴2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A ‎=sin(A+C)=sin B.‎ ‎∵sin B≠0,∴cos A=‎1‎‎2‎.‎ ‎∵A为锐角,∴A=π‎3‎.(6分)‎ ‎(2)∵A=π‎3‎,∴C=‎2π‎3‎-B.‎ ‎∴y=‎3‎sin B+sin‎2π‎3‎‎-B-‎π‎6‎ ‎=‎3‎sin B+cos B=2sinB+‎π‎6‎.(8分)‎ ‎∵△ABC为锐角三角形,∴00,②‎ 因为φ∈(0,2π),由①②可得φ=π‎6‎,‎ 所以f(x)=sin‎2x+‎π‎6‎.‎ 由2kπ-π‎2‎≤2x+π‎6‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z),kπ-π‎3‎≤x≤kπ+π‎6‎(k∈Z),故选B.‎ 答案:B ‎3.(2015东北三省四市二联,文13,三角函数的单调性,填空题)函数y=‎1‎‎2‎sin x+‎3‎‎2‎cos xx∈‎‎0,‎π‎2‎的单调递增区间是　　　　　. ‎ 解析:化简解析式后结合正弦函数的图象求解.‎ y=‎1‎‎2‎sin x+‎3‎‎2‎cos x=sinx+‎π‎3‎,x∈‎0,‎π‎2‎的单调递增区间即为0≤x+π‎3‎‎≤‎π‎2‎与x∈‎0,‎π‎2‎的交集,所以单调递增区间为‎0,‎π‎6‎.‎ 答案:‎‎0,‎π‎6‎ ‎4.(本小题满分12分)(2015吉林省吉林市二调,文17,三角函数的单调性,解答题)已知f(x)=‎3‎‎2‎sin 2x+cos2x-‎3‎‎2‎.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;‎ ‎(2)当x∈‎0,‎π‎2‎时,方程f(x)-m=0有实数解,求实数m的取值范围.‎ 解:(1)∵f(x)=‎3‎‎2‎sin 2x+cos2x-‎3‎‎2‎,‎ ‎∴f(x)=‎3‎‎2‎sin 2x+cos2x+1‎‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎.‎ ‎∴f(x)=‎3‎‎2‎sin 2x+‎1‎‎2‎cos 2x-1=sin‎2x+‎π‎6‎-1.(3分)‎ ‎∴最小正周期T=‎2π‎2‎=π.(4分)‎ 令2kπ-π‎2‎≤2x+π‎6‎≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,‎ 则x∈‎-π‎3‎+kπ,π‎6‎+kπ,k∈Z.‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为 ‎-π‎3‎+kπ,π‎6‎+kπ‎,k∈Z.(6分)‎ ‎(2)∵x∈‎0,‎π‎2‎,∴2x+π‎6‎‎∈‎π‎6‎‎,‎‎7π‎6‎.(8分)‎ ‎∴f(x)=sin‎2x+‎π‎6‎-1∈‎-‎3‎‎2‎,0‎.(10分)‎ 又方程f(x)-m=0有实数解,∴m∈‎-‎3‎‎2‎,0‎.(12分)‎ ‎5.(本小题满分12分)(2015辽宁重点中学协作体模拟,文17,三角函数的单调性,解答题)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)ω>0,0<φ<‎π‎2‎的最小正周期为π,点‎5π‎24‎‎,0‎为函数f(x)的图象的一个对称中心.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对应边,若f‎-‎A‎2‎‎=‎‎2‎,a=3,求b+c的最大值.‎ 解:(1)∵f(x)的最小正周期T=π,∴ω=2.‎ ‎∵‎5π‎24‎‎,0‎为f(x)的图象的对称中心,‎ ‎∴2×‎5π‎24‎+φ=kπ+π‎2‎(k∈Z)且0<φ<π‎2‎.‎ ‎∴φ=π‎12‎.∴f(x)=2cos‎2x+‎π‎12‎.(4分)‎ 令2kπ-π≤2x+π‎12‎≤2kπ,则kπ-‎13π‎24‎≤x≤kπ-π‎24‎.‎ 故函数f(x)的单调递增区间为kπ-‎13π‎24‎,kπ-‎π‎24‎,k∈Z.(6分)‎ ‎(2)∵f‎-‎A‎2‎=2cosA-‎π‎12‎‎=‎‎2‎,‎ ‎∴cosA-‎π‎12‎‎=‎‎2‎‎2‎.‎ ‎∵-π‎12‎0,|φ|<‎π‎2‎的部分图象如图所示,则y=fx+‎π‎6‎取得最小值时x的集合为(　　)‎ A.‎xx=kπ-π‎6‎,k∈Z B.‎xx=kπ-π‎3‎,k∈Z C.‎xx=2kπ-π‎6‎,k∈Z D.‎xx=2kπ-π‎3‎,k∈Z 解析:依题意得T=‎2πω=4‎7π‎12‎‎-‎π‎3‎=π,ω=2,fπ‎3‎=cosφ+‎π‎6‎=1.‎ 又|φ|<π‎2‎,因此φ=-π‎6‎.‎ 当fx+‎π‎6‎=cos‎2x-‎π‎3‎取得最小值时,‎ ‎2x-π‎3‎=2kπ-π,k∈Z,即x=kπ-π‎3‎,k∈Z,故选B.‎ 答案:B ‎5.(2015江西三校联考,文9,三角函数的图象与变换,选择题)已知角φ的终边经过点P(-4,3),函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π‎2‎,则fπ‎4‎的值为(　　)‎ A.‎3‎‎5‎ B.‎4‎‎5‎ C.-‎3‎‎5‎ D.-‎‎4‎‎5‎ 解析:依题意得T=‎2πω=2×π‎2‎,ω=2,‎ fπ‎4‎=sinπ‎2‎‎+φ=cos φ=-‎4‎‎5‎,故选D.‎ 答案:D ‎6.(2015东北三省四市一联,文7,三角函数的图象与变换,选择题)将函数f(x)=cos 2x的图象向右平移π‎4‎个单位后得到函数g(x),则g(x)具有性质(　　)‎ A.最大值为1,图象关于直线x=π‎2‎对称 B.在‎0,‎π‎4‎上单调递增,为奇函数 C.在‎-‎3π‎8‎,‎π‎8‎上单调递增,为偶函数 D.周期为π,图象关于点‎3π‎8‎‎,0‎对称 解析:依题意,g(x)=cos‎2‎x-‎π‎4‎=cos‎2x-‎π‎2‎=sin 2x,‎ 故函数g(x)图象的对称轴为x=π‎4‎‎+‎kπ‎2‎(k∈Z),故A错误;‎ 因为g(-x)=-sin 2x=-g(x),故函数g(x)为奇函数,函数g(x)在‎-‎3π‎8‎,-‎π‎4‎上单调递减,‎ 在‎-π‎4‎,‎π‎4‎上单调递增,故B正确,C错误;‎ 因为g‎3π‎8‎=sin‎3π‎4‎‎=‎‎2‎‎2‎≠0,故D错误.‎ 综上所述,选B.‎ 答案:B ‎7.(2015河北石家庄一模,文6,三角函数的图象与变换,选择题)函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为π‎2‎,则fπ‎6‎的值是(　　)‎ A.-‎3‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎3‎ D.1‎ 解析:因为f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为π‎2‎,‎ 所以函数f(x)的最小正周期为π‎2‎‎,πω=‎π‎2‎,ω=2,‎ 则f(x)=tan 2x,fπ‎6‎=tanπ‎3‎‎=‎‎3‎,故选C.‎ 答案:C ‎8.(2015甘肃兰州实战,文10,三角函数的图象与变换,选择题)定义运算:a‎1‎‎　‎a‎2‎a‎3‎‎　‎a‎4‎=a1a4-a2a3,若将函数f(x)=‎3‎‎　sinx‎1　cosx的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得图象关于y轴对称,则m的最小值是(　　)‎ A.‎5π‎6‎ B.π‎8‎ C.π‎3‎ D.‎‎2π‎3‎ 解析:将函数f(x)=‎3‎cos x-sin x=2cosx+‎π‎6‎的图象向左平移m个单位长度后得到的曲线y=2cosx+m+‎π‎6‎的图象关于y轴对称,‎ 于是有m+π‎6‎=kπ,即m=kπ-π‎6‎,其中k∈Z.‎ 因此正数m的最小值是‎5π‎6‎,故选A.‎ 答案:A ‎9.(2015贵州贵阳高三适应性检测考试(二),文4,三角函数的图象与变换,选择题)函数f(x)=sinx-‎π‎3‎的图象的一条对称轴方程为(　　)‎ A.x=π‎3‎ B.x=‎π‎6‎ C.x=-π‎3‎ D.x=-‎π‎6‎ 解析:当x=-π‎6‎时,x-π‎3‎=-π‎2‎,f(x)取最小值,所以x=-π‎6‎是其一条对称轴,故选D.‎ 答案:D ‎10.(2015东北三省三校二联,文9,三角函数的图象与变换,选择题)将函数f(x)=‎3‎cos2x‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎sin x-‎3‎‎2‎的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的‎1‎‎2‎,再将所得图象向右平移π‎3‎个单位长度得到函数g(x),则函数g(x)的解析式为(　　)‎ A.g(x)=cosx‎2‎ B.g(x)=-sin 2x C.g(x)=sin‎2x-‎π‎3‎ D.g(x)=sinx‎2‎‎+‎π‎6‎ 解析:依题意得f(x)=‎3‎‎(1+cosx)‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎sin x-‎3‎‎2‎=sinx+‎π‎3‎,‎ 将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的‎1‎‎2‎,得到曲线f(2x)=sin‎2x+‎π‎3‎,‎ 再将所得曲线向右平移π‎3‎个单位长度,得到g(x)=sin‎2x-‎π‎3‎+‎π‎3‎=sin‎2x-‎π‎3‎,故选C.‎ 答案:C ‎11.(2015江西南昌一模,文10,三角函数的图象与变换,选择题)如图,M(xM,yM),N(xN,yN)分别是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与两条直线l1:y=m,l2:y=-m(A≥m≥0)的两个交点,记S=|xN-xM|,则S(m)的图象大致是(　　)‎ 解析:利用排除法求解.‎ 由题意可得sin(ωxM+φ)=sin(-ωxN-φ),‎ 则结合图象可得(ωxM+φ)+(-ωxN-φ)=π+2kπ,‎ 所以S(m)=|xM-xN|=π+2kπω是一个与m无关的常数函数,故选C.‎ 答案:C ‎12.‎ ‎(2015江西赣州摸底考试,文11,三角函数的图象与变换,选择题)如图是函数f(x)=Asin(2x+φ)‎A>0,|φ|≤‎π‎2‎ 图象的一部分,对不同的x1,x2∈[a,b],若f(x1)=f(x2),有f(x1+x2)=‎3‎,则φ的值为(　　)‎ A.π‎12‎ B.‎π‎6‎ C.π‎4‎ D.‎π‎3‎ 解析:由图象易知A=2,则由图象知fa+b‎2‎=2,‎ 即2sin(a+b+φ)=2,‎ 所以sin(a+b+φ)=1.‎ 所以a+b+φ=2kπ+π‎2‎,‎ 即a+b=2kπ+π‎2‎-φ(k∈Z).‎ 又因为f(x1)=f(x2),所以由三角函数的对称性知x1+x2=a+b,‎ 于是由f(x1+x2)=‎3‎,得f(a+b)=‎3‎,‎ 即2sin[2(a+b)+φ]=‎3‎,‎ 所以2sin‎2‎2kπ+π‎2‎-φ+φ‎=‎‎3‎.‎ 所以sin φ=‎3‎‎2‎.‎ 所以φ=π‎3‎.故选D.‎ 答案:D ‎13.(2015河北石家庄一检,文15,三角函数的图象与变换,填空题)已知函数f(x)=‎3‎sin 2x+cos 2x,若f(x-φ)的图象关于y轴对称‎0<φ<‎π‎2‎,则φ=　　　　　. ‎ 解析:由题意得f(x)=2sin‎2x+‎π‎6‎,‎ 则f(x-φ)=2sin‎2x+π‎6‎-2φ,‎ 因为其图象关于y轴对称,‎ 所以π‎6‎-2φ=π‎2‎+kπ,k∈Z.‎ 又因为0<φ<π‎2‎,所以φ=π‎3‎.‎ 答案:‎π‎3‎ ‎15.(2015山西太原模拟(一),文6,三角函数的图象与变换,选择题)已知函数f(x)=sinωx+‎π‎4‎(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)的图象(　　)‎ A.关于直线x=π‎4‎对称 B.关于直线x=π‎8‎对称 C.关于点π‎4‎‎,0‎对称 D.关于点π‎8‎‎,0‎对称 解析:结合三角函数图象求解.‎ 由函数f(x)=sinωx+‎π‎4‎,ω>0的最小正周期是π得‎2πω=π,ω=2,‎ 则f(x)=sin‎2x+‎π‎4‎,fπ‎4‎=sinπ‎2‎‎+‎π‎4‎‎=‎‎2‎‎2‎,排除A,C;‎ fπ‎8‎=sinπ‎2‎=1,所以f(x)的图象关于直线x=π‎8‎对称,故选B.‎ 答案:B ‎16.(2015河南郑州第二次质量检测,文5,三角函数的图象与变换,选择题)将函数f(x)=cos x-‎3‎sin x(x∈R)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,则a的最小值是(　　)‎ A.π‎12‎ B.π‎6‎ C.π‎3‎ D.‎‎5π‎6‎ 解析:将函数f(x)=-2sinx-‎π‎6‎的图象向左平移a个单位后得到的曲线y=-2sinx+a-‎π‎6‎关于原点对称,于是有a-π‎6‎=kπ,即a=kπ+π‎6‎,其中k∈Z,因此正数a的最小值是π‎6‎,故选B.‎ 答案:B ‎17.(2015河南高考适应性测试,文7,三角函数的图象与变换,选择题)把函数y=2sin x图象上各点的横坐标缩短为原来的‎1‎‎2‎,然后把所得的图象再向右平移π‎6‎个单位,则所得图象对应的函数解析式为(　　)‎ A.y=2sin‎1‎‎2‎x+‎π‎6‎ B.y=2sin‎2x-‎π‎3‎ C.y=2sin‎1‎‎2‎x-‎π‎3‎ D.y=2sin‎2x+‎π‎3‎ 解析:函数y=2sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的‎1‎‎2‎得到函数y=2sin 2x的图象,‎ 将函数y=2sin 2x的图象向右平移π‎6‎个单位得到函数y=2sin 2x-‎π‎6‎=2sin‎2x-‎π‎3‎.故选B.‎ 答案:B ‎18.(2015河南适应性模拟练习,文4,三角函数的图象与变换,选择题)在‎2kπ+π‎2‎,2kπ+π,k∈Z上存在零点的函数是(　　)‎ A.y=sin 2x B.y=cos 2x C.y=tan 2x D.y=sin2x 解析:当x∈‎2kπ+π‎2‎,2kπ+π时,sin 2x<0,sin2x>0恒成立,‎ 若tan 2x=0,则2x=kπ,x=kπ‎2‎,‎ 所以y=tan 2x在x∈‎2kπ+π‎2‎,2kπ+π上不存在零点,‎ 当x=2kπ+‎3π‎4‎时,cos 2x=0,故选B.‎ 答案:B ‎19.(2015河南六市一联,文8,三角函数的图象与变换,选择题)将奇函数f(x)=Asin(ωx+φ)‎A≠0,ω>0,-π‎2‎<φ<‎π‎2‎ 的图象向左平移π‎6‎个单位得到的图象关于原点对称,则ω的值可以为(　　)‎ A.6 B.3 C.4 D.2‎ 解析:利用三角函数图象变换求解.‎ 由函数y=Asin(ωx+φ),-π‎2‎<φ<π‎2‎是奇函数,‎ 得φ=0,则y=Asin ωx,ω>0向左平移π‎6‎个单位得到y=Asinωx+‎π‎6‎=Asinωx+‎πω‎6‎,ω>0.‎ 其图象关于原点对称,所以πω‎6‎=kπ,k∈N*,ω=6k,k∈N*,‎ 当k=1时,ω=6,故选A.‎ 答案:A ‎20.(2015河南平顶山、许昌、新乡二调,文9,三角函数的图象与变换,选择题)函数f(x)=sinωx+‎π‎3‎(ω>0)的图象的相邻两条对称轴间的距离是π‎2‎.若将函数f(x)图象向右平移π‎6‎个单位,得到函数g(x)的解析式为(　　)‎ A.g(x)=sin‎4x+‎π‎6‎ B.g(x)=sin‎4x-‎π‎3‎ C.g(x)=sin‎2x+‎π‎6‎ D.g(x)=sin 2x 解析:利用图象变换法则求解.‎ 由题意可得函数f(x)的最小正周期为T=π=‎2πω,‎ 所以ω=2.‎ 将f(x)=sin‎2x+‎π‎3‎向右平移π‎6‎个单位后即得g(x)=sin‎2x-‎π‎6‎+‎π‎3‎=sin 2x的图象,故选D.‎ 答案:D ‎21.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文4,三角函数的图象与变换,选择题)函数f(x)=sin‎2x+‎π‎3‎所对应的图象向左平移π‎4‎个单位后的图象与y轴距离最近的对称轴方程为(　　)‎ A.x=π‎3‎ B.x=-‎π‎6‎ C.x=-π‎24‎ D.x=‎‎11π‎24‎ 解析:依题意,当2x+π‎3‎=kπ,即x=kπ‎2‎‎-‎π‎6‎,k∈Z时,y=fx+‎π‎4‎=cos‎2x+‎π‎3‎取得最值,‎ 因此,所求的直线方程是x=-π‎6‎,故选B.‎ 答案:B ‎22.(2015辽宁东北育才学校五模,文10,三角函数的图象与变换,选择题)将函数y=sin‎2x+‎π‎6‎的图象向左平移π‎6‎个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是(　　)‎ A.y=2cos2x B.y=2sin2x C.y=1+sin‎2x+‎π‎3‎ D.y=cos 2x 解析:将函数y=sin‎2x+‎π‎6‎的图象向左平移π‎6‎个单位,得到函数y=sin‎2x+‎π‎6‎+‎π‎6‎=cos 2x的图象,‎ 再向上平移1个单位,得到函数y=cos 2x+1的图象.‎ 因为y=cos 2x+1=2cos2x,故选A.‎ 答案:A ‎23.(2015宁夏银川二中一模,文7,三角函数的图象与变换,选择题)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<‎π‎2‎的最小正周期是π且满足f(-x)=f(x),则(　　)‎ A.f(x)在‎0,‎π‎2‎上单调递增 B.f(x)在π‎4‎‎,‎‎3π‎4‎上单调递减 C.f(x)在‎0,‎π‎2‎上单调递减 D.f(x)在π‎4‎‎,‎‎3π‎4‎上单调递增 解析:依题意,f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)‎ ‎=‎2‎sinωx+φ+‎π‎4‎,‎ 故‎2πω=π,ω=2,f(x)=‎2‎sin‎2x+φ+‎π‎4‎.‎ 又函数为偶函数,且|φ|<π‎2‎,‎ 故φ=π‎4‎,f(x)=‎2‎sin‎2x+‎π‎2‎‎=‎‎2‎cos 2x,‎ 故函数f(x)在‎0,‎π‎2‎上单调递减,故选C.‎ 答案:C ‎24.(2015吉林长春质量监测(二),文9,三角函数的图象与变换,选择题)已知函数f(x)=‎3‎‎2‎sin 2x+‎1‎‎2‎cos 2x,若其图象是由y=sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位得到的,则φ的最小值为(　　)‎ A.π‎6‎ B.‎5π‎6‎ C.π‎12‎ D.‎‎5π‎12‎ 解析:f(x)=sin‎2x+‎π‎6‎,函数y=sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位后的解析式为y=sin(2x+2φ),‎ 从而φ=π‎12‎+kπ(k∈N),有φ的最小值为π‎12‎,故选C.‎ 答案:C ‎25.(2015广西柳州3月模拟,文5,三角函数的图象与性质,选择题)设g(x)的图象是将函数f(x)=cos 2x向左平移π‎3‎个单位得到的,则gπ‎6‎等于(　　)‎ A.1 B.-‎1‎‎2‎ C.0 D.-1‎ 解析:依题意得g(x)=fx+‎π‎3‎,gπ‎6‎=fπ‎6‎‎+‎π‎3‎=fπ‎2‎=cos π=-1,故选D.‎ 答案:D ‎27.(2015贵州适应性考试,文7,三角函数的图象与变换,选择题)函数y=sin 2x-cos 2x的一条对称轴为(　　)‎ A.x=π‎4‎ B.x=-‎π‎4‎ C.x=π‎8‎ D.x=-‎π‎8‎ 解析:函数y=‎2‎sin‎2x-‎π‎4‎,令2x-π‎4‎‎=‎π‎2‎+kπ,k∈Z,则其对称轴为x=‎3π‎8‎‎+‎kπ‎2‎,k∈Z,当k=-1时,x=-π‎8‎,故选D.‎ 答案:D ‎54‎ 函数y=Asin(ωx+φ)图象及性质的应用 ‎1.(2015河南郑州第三次质量检测,文9,函数y=Asin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)若函数f(x)=2sinπ‎6‎x+‎π‎3‎ ‎(-20)图象的相邻的两条对称轴之间的距离为π‎2‎.‎ ‎(1)求函数f(x)在‎0,‎π‎2‎上的值域;‎ ‎(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1,且f(C)=0,求三边长之比a∶b∶c.‎ 解:(1)∵函数f(x)=sinωx-‎π‎3‎图象的相邻的两条对称轴之间的距离为π‎2‎.‎ ‎∴‎1‎‎2‎‎·‎2πω=‎π‎2‎.∴ω=2,即f(x)=sin‎2x-‎π‎3‎.‎ 当0≤x≤π‎2‎时,-π‎3‎≤2x-π‎3‎‎≤‎‎2π‎3‎.‎ 故当x=0时,f(x)min=-‎3‎‎2‎;‎ 当x=‎5π‎12‎时,f(x)max=1,故所求值域为‎-‎3‎‎2‎,1‎.(6分)‎ ‎(2)∵sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1,‎ ‎∴sin B(sin A+sin C)=2sin2B.‎ 但sin B≠0,sin A+sin C=2sin B,‎ 由正弦定理得a+c=2b.‎ ‎∵f(C)=0,∴sin‎2C-‎π‎3‎=0.‎ 又00,x∈R,f(x)=a·b-‎1‎‎2‎,且f(x)的最小正周期是π,设△ABC三个角A,B,C的对边分别为a,b,c.‎ ‎(1)求ω的值;‎ ‎(2)若c=‎7‎,f(C)=‎1‎‎2‎,sin B=3sin A,求a,b的值.‎ 解:(1)f(x)=a·b-‎1‎‎2‎‎=‎‎3‎sin ωxcos ωx+cos2ωx-‎‎1‎‎2‎ ‎=‎3‎‎2‎sin 2ωx+‎1‎‎2‎cos 2ωx ‎=sin‎2ωx+‎π‎6‎,‎ 由T=‎2π‎2ω‎=‎πω=π得ω=1.(6分)‎ ‎(2)∵f(C)=sin‎2C+‎π‎6‎‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴2C+π‎6‎‎=‎π‎6‎(舍去)或2C+π‎6‎‎=‎‎5π‎6‎.∴C=π‎3‎.‎ 由余弦定理知7=a2+b2-2abcosπ‎3‎,‎ 即a2+b2-ab=7.①‎ ‎∵sin B=3sin A,∴由正弦定理得b=3a.②‎ 由①②解得a=1,b=3.(12分)‎ ‎43.(本小题满分12分)(2015广西桂林、防城港一联,文17,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题)如图所示的四边形ABCD中,已知AB⊥AD,∠ABC=120°,∠ACD=60°,AD=27,设∠ACB=θ,C点到AD的距离为h.‎ ‎(1)求h(用θ表示);‎ ‎(2)求AB+BC的最大值.‎ 解:(1)由已知得∠ADC=360°-(90°+120°+60°+θ)=90°-θ.(1分)‎ 在△ACD中,ADsin∠ACD‎=‎ACsin∠ADC,(3分)‎ ‎∴AC=‎27cosθsin60°‎=18‎3‎cos θ.(4分)‎ 又∠CAD=30°+θ,且0°<θ<60°,‎ ‎∴h=AC·sin∠CAD=18‎3‎cos θsin(30°+θ)(0°<θ<60°).(6分)‎ ‎(2)在△ABC中,AB=ACsinθsin120°‎=18sin 2θ,(7分)‎ BC=ACsin(60°-θ)‎sin120°‎=36cos θsin(60°-θ)‎ ‎=9‎3‎+9‎3‎cos 2θ-9sin 2θ,(8分)‎ ‎∴AB+BC=9‎3‎+9‎3‎cos 2θ+9sin 2θ=9‎3‎+18sin(2θ+60°).(10分)‎ ‎∵0°<θ<60°,(11分)‎ ‎∴当θ=15°时,AB+BC取得最大值9‎3‎+18.(12分)‎ ‎44.(本小题满分12分)(2015辽宁东北育才学校五模,文17,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题)已知△ABC是斜三角形,内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c.已知csin A=‎3‎acos C.‎ ‎(1)求角C;‎ ‎(2)若c=‎21‎,且sin C+sin(B-A)=5sin 2A,求△ABC的面积.‎ 解:(1)由正弦定理asinA‎=‎csinC得csin A=asin C,‎ ‎∵csin A=‎3‎acos C.∴asin C=‎3‎acos C.‎ ‎∴tan C=sinCcosC‎=‎‎3‎.‎ ‎∵C∈(0,π),∴C=π‎3‎.(6分)‎ ‎(2)∵sin C+sin(B-A)=5sin 2A,C=π‎3‎,‎ 且sin C=sin(A+B),‎ ‎∴sin(A+B)+sin(B-A)=5sin 2A.‎ ‎∴2sin Bcos A=2×5sin Acos A.‎ ‎∵△ABC为斜三角形,∴cos A≠0.‎ ‎∴sin B=5sin A.‎ 由正弦定理可知b=5a,①‎ 由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C得21=a2+b2-2ab×‎1‎‎2‎.②‎ 由①②解得a=1,b=5,‎ ‎∴S△ABC=‎1‎‎2‎absin C=‎1‎‎2‎×1×5×‎3‎‎2‎‎=‎‎5‎‎3‎‎4‎.(12分)‎ ‎45.(本小题满分12分)(2015黑龙江哈尔滨第三中学二模,文17,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B+‎3‎acos B=‎3‎c.‎ ‎(1)求A的大小;‎ ‎(2)若c=3b,求tan C的值.‎ 解:(1)由asin B+‎3‎acos B=‎3‎c得 sin Asin B+‎3‎sin Acos B=‎3‎sin C,(2分)‎ sin Asin B+‎3‎sin Acos B=‎3‎sin(A+B),‎ sin Asin B=‎3‎cos Asin B,(4分)‎ tan A=‎3‎,A=π‎3‎.(6分)‎ ‎(2)a2=b2+c2-2bccos A=7b2,(8分)‎ cos C=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab=-‎1‎‎2‎‎7‎,(10分)‎ sin C=‎3‎‎3‎‎2‎‎7‎,tan C=-3‎3‎.(12分)‎ ‎46.(2015黑龙江哈尔滨第六中学二模,文16,利用正弦定理、余弦定理解三角形,填空题)在△ABC中,2sin2A‎2‎‎=‎‎3‎sin A,sin(B-C)=2cos Bsin C,则ACAB=　　　　　. ‎ 解析:因为2sin2A‎2‎‎=‎‎3‎sin A,‎ 所以2sin2A‎2‎=2‎3‎sinA‎2‎cosA‎2‎,tanA‎2‎‎=‎‎3‎,A∈(0,π),‎ 解得A=‎2π‎3‎.‎ 由sin(B-C)=2cos Bsin C,得sin Bcos C-cos Bsin C=2cos Bsin C,sin Bcos C=3cos Bsin C,‎ 由正弦定理和余弦定理得b·a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab=3c·a‎2‎‎+c‎2‎-‎b‎2‎‎2ac.‎ 整理得a2+2c2=2b2.‎ 又因为a2=b2+c2-2bc‎-‎‎1‎‎2‎,‎ 所以a2=b2+c2+bc,‎ 消去a2得b2-bc-3c2=0,‎ 所以bc‎=‎‎1+‎‎13‎‎2‎.‎ 答案:‎‎1+‎‎13‎‎2‎ ‎47.(2015宁夏银川二中一模,文10,利用正弦定理、余弦定理解三角形,选择题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2+c2-a2=‎3‎bc,且b=‎3‎a,则下列关系一定不成立的是(　　)‎ A.a=c B.b=c C.2a=c D.a2+b2=c2‎ 解析:因为b2+c2-a2=‎3‎bc,‎ 故cos A=b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc‎=‎‎3‎‎2‎,故A=30°,‎ 又b=‎3‎a,故sin B=‎3‎sin A=‎3‎‎2‎,‎ 故B=60°或B=120°.‎ 当B=60°时,C=90°,‎ 此时△ABC为直角三角形,故a2+b2=c2,且2a=c;‎ 当B=120°时,C=30°,此时△ABC为等腰三角形,故a=c.‎ 综上所述,b=c不成立,故选B.‎ 答案:B ‎48.(本小题满分12分)(2015贵州八校二联,文17,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(a+b,sin A-sin C),向量n=(c,sin A-sin B),且m∥n.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)设BC的中点为D,且AD=‎3‎,求a+2c的最大值及此时△ABC的面积.‎ 解:(1)因为m∥n,故有(a+b)(sin A-sin B)-c(sin A-sin C)=0,‎ 由正弦定理可得(a+b)(a-b)-c(a-c)=0,‎ 即a2+c2-b2=ac,‎ 由余弦定理可知cos B=a‎2‎‎+c‎2‎-‎b‎2‎‎2ac‎=ac‎2ac=‎‎1‎‎2‎,‎ 因为B∈(0,π),所以B=π‎3‎.(5分)‎ ‎(2)设∠BAD=θ,则在△BAD中,‎ 由B=π‎3‎可知θ∈‎0,‎‎2π‎3‎.‎ 由正弦定理及AD=‎3‎有BDsinθ=ABsin‎2π‎3‎‎-θ=‎ADsinπ‎3‎=2,‎ 所以BD=2sin θ,AB=2sin‎2π‎3‎‎-θ‎=‎‎3‎cos θ+sin θ,(7分)‎ 所以a=2BD=4sin θ,c=AB=‎3‎cos θ+sin θ,‎ 从而a+2c=2‎3‎cos θ+6sin θ=4‎3‎sinθ+‎π‎6‎.(8分)‎ 由θ∈‎0,‎‎2π‎3‎可知θ+π‎6‎‎∈‎π‎6‎‎,‎‎5π‎6‎,‎ 所以当θ+π‎6‎‎=‎π‎2‎.‎ 即θ=π‎3‎时,a+2c取得最大值4‎3‎.(10分)‎ 此时a=2‎3‎,c=‎3‎,所以S=‎1‎‎2‎acsin B=‎3‎‎3‎‎2‎.(12分)‎